Интегральные представления в кольце Текст научной статьи по специальности «Математика»

ИЗВЕСТИЯ

ПЕНЗЕНСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО ПЕДАГОГИЧЕСКОГО УНИВЕРСИТЕТА имени В. Г. БЕЛИНСКОГО ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ И ТЕХНИЧЕСКИЕ НАУКИ № 13 (17) 2009

IZVESTIA

PENZENSKOGO GOSUDARSTVENNOGO PEDAGOGICHESKOGO UNIVERSITETA imeni V. G. BELINSKOGO PHYSICAL, MATHEMATICAL AND TECHNICAL SCIENCES № 13 (17) 2009

УДК 517.55

ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ В КОЛЬЦЕ

© о. Э. ЯРЕМКО

Пензенский государственный педагогический университет им. В. Г. Белинского, кафедра математического анализа e-mail: [email protected]

Яремко О. Э. - Интегральные представления в кольце // Известия ПГПУ им. В. Г. Белинского. 2009. № 13 (17). С.42-45. - В статье предложены новые интегральные представления для функций комплексной переменной в кольце. Изучены свойства оператора La :

La [f ] = « f + ltZkfk = g (Z).

k=1

В явном виде построен оператор обратный к оператору La .

Ключевые слова: интегральные представления, оператор, обратный оператор.

Yaremko O. E. - Integrated representations in a ring // Izv. Penz. gos. pedagog. univ. im.i V. G. Belinskogo. 2009.

№ 13 (17). P. 42-45. - In article new integrated representations for functions of a complex variable in a ring are offered.

Were to study properties of the operator La :

La [f ] = a f + lLZkfk = g (Z).

k=1

The operator return to the operator La is in an explicit form constructed.

Keywords: integrated representations, the operator, the return operator.

В работе И. И. Баврина [1] введен оператор La :

La [f ] = а f + ltZkfk = g (Z) (1)

k=1

Обратный к оператору La имеет вид

1

f (Z )=j>-1g (£ Z )d£ (2)

Формула справедлива только при а > 0.

Здесь будет предложена другая формула для обратного оператора La .

Теорема 1. Для всех значений а кроме целых отрицательных уравнение (1) безусловно разрешимо в классе функций аналитических в полной круговой области D С Cn, для значений а отличных от целого справедлива формула:

f (z Ь ^¿77 D“"g ( ze-) dw.

для а целого неотрицательного натуральном справедлива формула:

f (^ (ze'r) dW,

наконец, для целого отрицательного значения а уравнение (1), вообще говоря, неразрешимо, для того чтобы оно было разрешимо необходимо и достаточно, чтобы функция g (z ) удовлетворяла условию

j02*e,avrg (zew) dy = 0,

при этом решение выражается формулой

Р-а (и) - произвольный однородный полином степени -а . Доказательство. В случае а отличного от целого имеем:

i г2ж

_ 1 ЛО

4 [/(-)] = 1 ”е'"' (“* + е''2£' (-**' ))

= Г( ( е“"« (-Ч

!_(е«2^ (-е»-у е'-'« ( > )) = « (-).

£ ~2па 1

Для целого неотрицательного а имеем:

ь«[ / (2 )]=(^)+' (**))

= ¿¡X е(“% ¿4' =(2е-)|ОЧ;'«“^ (ге”)1^)^

= 2« “-’ц ( те' 2')-/02'е “*'в ( ге*).у} = в (г ).

Для вычисления интеграла | егач/g^ze 1^^у/ применим замену переменного £ = вг¥, а затем теорему Коши:

(2^}1у = - = 0, С ={д:\д\ = 1}.

1 С1

Изучим случай целого отрицательного а . Докажем необходимость условия разрешимости. Вычислим интеграл

{о2>^ (2^) йу = Г а/ (2^) + £ 2к/1 (2в^)! йу =

1 £2'( е- /■ (2е*'));_ ^ = 1 ( е-'./■ ( ^))

= 0.

Также как в случае целого неотрицательного а доказывается, что при выполнении условия разрешимости будет выполнено равенство: Ьа / (и) = g (и). Осталось доказать, что общее решение однородного уравнения

Ьа [/ (2)] = 0 имеет вид: / (2) = Р-а (2) .

В самом деле, т.к. выполнено условие

Е^//=-а /,

к=1

то функция / (и)— однородная степени -а . Ввиду единственности разложения функции / (х) в ряд однородных полиномов, получаем что / (и)- однородный полином степени -а .

Распространим операторный метод на случай кольца.

Теорема 2. Пусть функция Ч = /(и) - аналитическая в кольце Г < < 1, и обе функции Ь[/ ] Ь [/ ]

непрерывны в Г < < 1, тогда справедлива формула:

г (2 у-=-ЪI [ тЬ ^ ^(? я^ - -Ъ / ^ тЪ }-[ г (?)] *д'г А 2*1

С

Сг ={$ '■ к| = Г} ’ Ьг [ f ] = aгf + 21 (2)’1 = 1’2

операторы Ь-, Ь- определены в теореме 1.

о

ИЗВЕСТИЯ ПГПУ • Физико-математические и технические науки • № 13 (17) 2009 г.

Доказательство. Из условия следует, что функция А1 [/ ] г < |и| < 1

в г < И < 1. Формула Коши для кольца г < И < 1 принимает вид:

А[ / (и )]=2П71 А[/ (?)] ^ - 2П7Ц Г-?£'[ / (?)] ^ •г < И <1

Ц ^ сг ^

1 Г 1

Отсюда получим:

Аналогично, имеем равенство:

/(ш) = ^1А- — А[/(?)]^IА-

2п 7 * с - и -1 2п 7 *

1

с- И 1

А [ У (с )] "с,г < И <1

7(и)=2П71А-’ С1! А [/(с)]<#с -2П7ЦА Г-И А[/(с)],г<И<1.

Первое слагаемое правовой части каждой из двух последних формул дает правильную часть лорановского разложения функции / (и ) . Ввиду единственности такого разложения имеем равенство:

П71А" [ Г-И ^[/ (с)] "с = 2П71А-' гЪЬ [/ (с)] *.

2п 7,

С1 ^

отсюда немедленно находим, что

- 21-1 А1 — А[/(? )] "с = -2-1 А2‘

2п 7 * с - и -п I ",

с- И 1

.с- И

А [ / (с )] "с .

Формула доказана.

Распространим формулу на случай функция Н = / (и) - аналитическая в кольце г < |и| < 1, и обе функции А[ / ] а- [/ ] заданы на внутренних окружностях кольца: С. и С. , соответственно.

Теорема 3. Пусть функция Н = / (и ) - аналитическая в кольце г < |и| < 1, и непрерывна в замкнутом кольце г < и < 1, тогда справедлива формула:

/ (и )=2П71»* е" I е’г / (с ^+2П71»*е" 11е'7/^

с 2п 7 •'0

,г < и < 1.

Доказательство. Рассмотрим последовательность функций

1 Гм £ Г £с /■/ \"с 1 ' е I е с /(с4 Ъ '

2п7 •)0

По теореме коши в обоих внутренних интегралах контур интегрирования можно перенести на окружности С1, Сг , соответственно. Так, что

/Ы (и ) =----[ е 6 [ е с / (с )— +-------I е

-п 7 3° 3 ^'с 2п 7 -10 С

рЫ Г 1 £— , ч |,

71» е" I / И/(с)"с,г < N <1

, г < И < 1.

С с С-

Меняя порядок интегралов в каждом слагаемом, и вычисляя внутренний интеграл по переменной £ , получим:

-^- I

2п 71

- NI 1-^

1 е 1 И

с- И с- И

/ (с Ус, г < и < 1.

Осуществим предельный переход при N ^ * . Имеем оценки:

- ^ ^1--^ 1

1 г 7 ( ^ ^

С1 1)аъ

<

ТчТ17 ^-1

(Ч г1)

аналогично,

f (?) dg

<-

1 re

\f МП M

2n C \z\ - r

здесь M = m ax| f ( z )|.

Из приведенных оценок следует, что слагаемые

J.

2п

7 i

C

S - z

- N 1-1 re { z

f (c d ’ 2П7 C —f (c )dc

r < z < 1

оба стремятся к нулю, причем сходимость будет равномерной по z в любом замкнутом подкольце r1 < z < r2. И, значит, lim fN (z ) = f (z ).

N ^"

Обобщением доказанного интегрального представления служит

Теорема 4. Пусть функция w = f (z)- аналитическая в кольце r < |z| < 1, и обе функции L[f ] L [f ] непрерывны в замкнутом кольце r < z < 1, тогда справедлива формула:

z

s—

С

f (z)= 2п7i"e" i L"‘ e'C Кf ^)]^ + ^i."e" i L=

dg 1

С 2niJ.

Доказательство. Рассмотрим последовательность функций

f.(-')=2П7i.V i А-[e ^]l[f (c)] f + ¿7i.V iL-‘

[z ) =------1 e

2n iJ0

Ci

Также как и в теореме 3, имеем:

1 е«

—e z z

l2 [f (c)] dc ’r < N <1.

L2 [f (c )]dc ’r < И < 1

i L-1 L2 [f (c )]dc = i L-1

1 Sc —e z z

L1 [f (c)] dc.

В результате получаем:

L [ fN(z )]=2П7 J"e~E i^ [f (c)] IcT+2П7 i"e" i^ ^ [f (c)]dc ’r < z <1.

На основании теоремы 3 имеем:

Nm L [ fN(z )]=L [f (z)].

В силу теоремы Вейерштрасса [1] имеем:

lim" fN(z )=f (z >

Следствие. В теоремах 3 и 4 числа r1, r2 могут быть равными.

список ЛИТЕРАТУРЫ

1. Баврин И.И. Операторный метод в комплексном анализе. М.: Прометей, 1991. 200 с.

2. Лаврентьев М.А., Шабат Б.В. Методы теории функций комплексного переменного. М.: Наука, 1973. 736 с.

N1-А

N 1-А

N1--

e