Решение задачи о структуре температурного поля бесконечного кусочнооднородного стержня с использованием пакета Matlab Текст научной статьи по специальности «Математика»

ИЗВЕСТИЯ

ПЕНЗЕНСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО ПЕДАГОГИЧЕСКОГО УНИВЕРСИТЕТА имени В. Г. БЕЛИНСКОГО ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ И ТЕХНИЧЕСКИЕ НАУКИ № 13 (17) 2009

IZVESTIA

PENZENSKOGO GOSUDARSTVENNOGO PEDAGOGICHESKOGO UNIVERSITETA imeni V. G. BELINSKOGO PHYSICAL, MATHEMATICAL AND TECHNICAL SCIENCES № 13 (17) 2009

УДК 517.946

РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ О СТРУКТУРЕ ТЕМПЕРАТУРНОГО ПОЛЯ БЕСКОНЕЧНОГО КУСОЧНО-ОДНОРОДНОГО СТЕРЖНЯ С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ ПАКЕТА MATLAB

© н. н. ЯРЕМКО*, А. В. ВЕЗДЕНЕВА**

Пензенский государственный педагогический университет им. В. Г. Белинского,

* кафедра математического анализа,

** кафедра прикладной математики и информатики e-mail: *[email protected], **[email protected]

Яремко Н. Н., Везденева А. В. .- Решение задачи о структуре температурного поля бесконечного кусочно-однородного стержня с использованием пакета Matlab // Известия ПГПУ им. В.Г. Белинского. 2009.

№ 13 (17). С. 46-49.- В статье найдено аналитическое решение прямой задачи теплопроводности на кусочно-однородной действительной оси. Рассмотрен закон выравнивания температур двух полубесконечных тел из разных материалов с различными внутренними коэффициентами и отношением коэффициентов теплопроводности к = 2 . Авторы использовали возможности Symbolic Math Toolbox из пакета Matlab.

Ключевые слова: задача теплопроводности, условия сопряжения, пакет Matlab.

Yaremko N. N., Vezdeneva A. V. - The decision of the problem on structure of the temperature field of the infinite piece-homogeous pivot with use of package matlab// Izv. Penz. gos. pedagog. univ. im. V.G. Belinskogo. 2009.

№ 13 (17). P. 46-49. - The analytical decision of a direct problem of heat conductivity is found in article on a piece-homogeneous real axis. The law of alignment of temperatures of two semi-infinite bodies from different materials with various internal factors and the relation of factors of heat conductivity is considered. Authors used possibilities Symbolic Math Toolbox from package Matlab.

Key words: problem of heat conductivity, interface condition, package Matlab.

Задача о структуре температурного поля бесконечного кусочно-однородного стержня математически приводит к конструкции ограниченного на множестве:

D+ =(0,х)х I,, I, ={x: x e(-<»,0)u(0,да)} решения сепаратной матричной системы из двух уравнений параболического типа:

д д 2 ^

Аэ7“э7р^x)=0 (^x)eD+, j=1,2 (1)

где Aj > 0,

по начальным условиям:

по краевым условиям: и условиям сопряжения:

Uj(1,x) L=gj(x ^x е /i (2)

U.I = 0, U2 = 0 (3)

1 х=-да у 2 х=да ' '

U, = U,, kdx (и, )= dx (и,) x=0, (4)

- (и, )=-

-ХУ У -X

х = 0, к = 1,2; т = 1,2,

здесь Ц.(^х) - неизвестная вектор-функция, ^(х) - заданная вектор-функция. В образах Лапласа получаем задачу о конструкции ограниченного на множестве 14 решения сепаратной матричной системы обыкновенных дифференциальных уравнений

d U *

- Aj • PU*J = -gj (x)> gj (x) = Aj • gj (x)> j = !>2 (5)

по краевым условиям

u;+1| = о, u;| = о (6)

1х=да 1х=-да

и условиям идеального контакта в точках стыка

и;= и;, kd (U*) = dx U*), x = 0, (7)

Ведем компоненты собственных функций рассматриваемой краевой задачи следующим образом, функцию Ф1 определим равенством:

ф1 (x, p )= eA^p;

функцию ф2, определим с помощью условия:

Ф1 = ф2, к—(ф1 ) = — (ф2), x = о, (8)

dx dx

Для решения указанной задачи применим пакет Symbolic Math Тоо1Ьох,см.[2] Приведем соответствующую командную строку, решающую в символьном виде задачу Коши:

>>[f2]=dsolve(‘D2f2-q2A2*f2=0’,’f2(0)=1,Df2(0)=K*q1’);

Решение задачи Коши возвращает функция pretty:

>> pretty(f2)

(-q2 + K q1) exp(-q2 t) (K q1 + q2) exp(q2 t)

>> - 1/2 -------------------------+ 1/2

q2 q2

Для функций фрф2, для удобства использовано обозначение /1,/2 соответственно, кроме того используется по умолчанию переменная t вместо х. Применяя стандартную математическую запись, последнюю формулу преобразуем к виду:

ф _ (-/ + Ч ) ^„х , (к/ + ^2 ) еЧ2х

2 2/2

Аналогично, функция у2 определяется условием у 2 (х, р )_ е~/г*, функция у1 определяются последовательно по индукции с помощью условия:

¥ 1 _¥ 2, к-^х (¥ 1)_ Хх (¥ 2), х _ 0, (9)

Аналогично разобранному случаю получим выражение

¥ ( /2 + к/1 )/х , (к/1 + /2 )е-/1х .

1 2к/1 2к/1

Далее матрицы Ок определены соотношениями:

( Ь Ь /—ЧЛ

Q

(5 Тр )=

к = 1,2.

■ ( М ) ¥ к ( ^ )

В работе [1] установлен следующий результат.

Ограниченное на множестве 11 решение сепаратной системы (5)-(7) имеет вид

0 да

и; (р, х)_ | я*1 (р, х,% )ГХ @ щ +| н;,2 (р, х,% )/2 @ щ, ; _ 1,2. (10)

0

В формулах (10) участвуют функции Н ;*1, Н ;*2 - образы функций влияния, для которых справедливы со-

1

,2

отношения:

Н*2 = —ч>1 (xV2 (#), x < 0,0 <£

ф2

H2* 1 =—— iy2 (x,p)^2 (£), 0 < x, % < 0,

ИЗВЕСТИЯ ПГПУ • Физико-математические и технические науки • № 13 (17) 2009 г.

при к = s

<Р\ (ХУ/ (#)> Х <#< °

Ни =

н;а =

- — Щ (X)у>1 (#), #< X < ° ю1

?2 (Х У2 (#) > Х <#< °

(02

¥2 (ХМ (#)> #< Х < °

(02

Здесь ю1 =- — - kq1,ю2 =-^2 - kq1. к

Возвращаясь в формулах (10) к оригиналам, получим решение задачи (1)-(4) в виде:

о

Т (,х)= | Я.д х,%)/ @УЪ +{Я .,2 (,х,%)./2 @)^,. = 1,2. (11)

о

Пример. Рассматриваются два полубесконечных тела из разных материалов с внутренними коэффициентами Д = 1, А2 = 2 и отношением коэффициентов теплопроводности к = — = 2. Одно из тел нагрето до температуры

к2

100, а другое имеет температуру, равную 0. Тела приводятся в контакт своими плоскими границами начиная с момента времени / = 0. Найти закон выравнивания температур.

Решение задачи в образах Лапласа находим по формуле (10):

ТТ, е^х-100 100

и2 =-------------+-----

2Р Р

и* е-2^рх -100 1 —

1 2 р

Выполним теперь обратное преобразование Лапласа и получим решение поставленной задачи:

и2 =-50 - ег/с ^ ^ +100, Т1 = 50 - ег/с ^-^ ^.

Построим график полученного решения при разных значениях t: t=1/10, t=1, t=2. Сначала нужно вычислить каждую из двух ветвей, т.е. получить две пары массивов х1, у и х2, у2 а затем объединить значения абсцисс в вектор х а значения ординат в вектор у и вывести график функции задаваемой парой массивов х и у.

Представим соответствующие команды для построения графиков:

>> х1=-5:0.01:0;

А=50*ег&(-х1*(1/10).л(-1/2));

g1=50*erfc(-x1*(20).A(-1/2));

h1=50*eгfc(-x1*(50).л(-1/2));

х2=0:0.01:5;

f2=100-50*erfc(1/2*x2*(1/10).л(-1/2)); g2=100-50*erfc(1/2*x2*(20).л(-1/2));' h2=100-50*erfc(1/2*x2*(50).л(-1/2)); х=[х1 х2];

±=[±1 f2]; в=Ев1 g2]; h=[h1 h2]; plot(x,f,x,g,x,h)

В результате получим рис.1.

Рисунок 1

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Ленюк М.П. Интегральное преобразование Фурье на кусочно-однородной полупрямой / / Изв. вузов. Математика. 1989. Т 4. С.14-18.

2. И.Ануфриев, А. Смирнов, Е.Смирнова. МАТЬАВ 7. СПб: БХВ- Петербург, 2005.