4ЁРДАМЧИ МАТРИЦАЛАРНИ КИРИТИШ ВА УЛАРНИНГ ЭЛЕМЕНТЛАРИНИ АНЩЛАШ УСУЛЛАРИ
Масъуджон Хикматиллаевич Эшмуродов
Самарканд давлат архитектура-курилиш университети, катта укитувчиси
m.eshmurodov@samdaqi.edu.uz
АННОТАЦИЯ
Ихтиёрий чизикли чегаравий шартларга эга масалани Дирихле масаласига келтириш йули билан тугри чизиклар методини куллаш усули ишлаб чикилган. Изланаётган функциянинг кийматлари чегараларда берилган деб фараз килиб, Дирихле масаласини ечиш амалга оширилади. Функциянинг фараз килинган кийматларини чегара тугунларида функциянинг янги топилган кийматлари билан чегара шартларининг якинлашувларига мувофик равишда мослаштириш оркали изланаётган функцияларнинг чегаралардаги хакикий кийматлари топилади. Кейин улар тенглама ва битта координата учун чегаравий шартлар якинлашиши иккинчи тартибини таъминлаган холда тугри чизиклар усулини амалга оширишда фойдаланилди.
Калит сузлар: Чекли айирмалар усули, Иссиклик узатиш, Дирихле масаласи, Хос сонлар ва векторлар.
du ^2
= AU + F (1) тенглама хадларига вектор-устун шаклини бериш
учун уч диагоналли матрицани купайтма куринишида ифодалаймиз. A = VЛV(2) ни унгдан V
га купайтириб VA = VЛ тенгликни оламиз. Тенгликнинг чап ва унг кисмларидаги ифодаларнинг s -устунларини хисоблаймиз. Натижани очиш
(-2-As -2a0h)Vq,s + 2Vi,s = О,
vp-i,s +(-2-As)vp,s + vp+i,s = 0 агаР P =1N-1 (3)
>-is +(-2 -As )VN,s = 0
тенгламалар системасини беради. (3) система ечимнинг нотривиаллик шарти D'n+1 (As) = 0 билан тулдирилади. Бу ерда
January, 2023
209
DN+\ (As ) =
-2 - As - 2a0h 1 0
2 0 0 ... 0 0 -2 -As 1 0 ... 0 0 1 -2 -A 1 ... 0 0
0 0 0
N+1
0 0 0 0 ... 1 -2-A 1
0 0 0 0 ... 0 1 -2-A
0 <|A| < 4 деб фараз килиб, -2 -As = 2 cos 0S белгилаш киритилади. У холда детерминант куйидаги куринишни олади:
D'n+1 (в) = (2cos6>s - 2a0h)Dn (0s ) - 2Dn- (в ). (4)
Бу ерда биз
Dn (в ) =
2 cos ds 1 0
0 0
1
2 cos 0s 1
0 0
0 1
2 cos в.
0 0
0 0 0
0 0 0
1 2cos#„
0
1
0 0 0
1
2 cos в.
sin (n + i)0s
sin^
n
ёрдамчи детерминантдан фойдаландик. sin 6s ф 0 шартида (4) шакл алмаштиришлардан сунг (p(6s) = 0 куринишни олади. Бу ерда
p(6s ) = sin(N + 2)6s - 2ahsin(N + l)6s - sinN6s. (5)
Ушбу функция 6S = 0 ва 6S = л да ноль кийматга эга ва (0; л) ораликда эса каррали илдизга эга эмас (2.1-расм). 6S= 0 ва 65=л чегаралардан 8 («1) кичик масофада функция мос равишда <р(8) = 28(1 -a0l) ва
<р(л-3) = (-1)N+12S(1 + a0l) кийматларга эга.
Х,исоблашларда одатда N +1 жуфт киймат деб олинади. У холда <р(л -ó)> 0, яъни <(в) функциянинг графиги в = л да усувчи. al < 1 ва в0 = 0
да хам функциянинг графиги усувчи Бундан келиб чикадики, бу шартларда <р(в) = 0 тенгламанинг ечимлари сони жуфт булиб, хисоб-китоблар курсатганидек, барча в3 илдизлар (5) тенгламадан аникланади.
January, 2023
210
3
0
-1
-2
-3
1-расм. (р{в) функциянинг N = 9 ва (Xq нинг турли кийматларидаги графиклари
<р(в) функциянинг l = 1, N = 9 даги графиклари, a0h комплекснинг кийматлари усганда манфий кийматдан бошлаб тенгламанинг биринчи в0 илдизи чапга силжийди ва а01 = 1 да в = 0 билан мос тушади. Шу муносабат билан, а01 = 1 да в0 = 0 илдиз кабул килинади. Мос равишда, cos в0 = 1 ва Л0 = -4. Х,исоблашлар шуни курсатдики, al > 1 да <(в} = 0 тенгламанинг биринчи илдизи в0 йуколади, яъни биз фойдаланган алмаштириш уз маъносини йукотади, чунки 0 < < 4 шарт бажарилмайди.
Шуни таъкидлаш керакки, тугри чизиклар усулида учинчи жинсли чегаравий шартларнинг узига хос хусусияти хос сонларни аниклашда сонли усулдан фойдаланиш хисобланади. Яъни, агар иккинчи жинсли аралаш ёки бир хил чегаравий шартларда а коэффициент, албатта, чекли-айирмали тенглама унг кисмида пайдо булса, у холда учинчи турдаги чегара шартларда у утиш матрицасининг узида иштирок этади ва бу хусусий кийматлар учун масалани ечишда сонли усулдан фойдаланишни шартлайди.
Бошка томондан, биринчи ва иккинчи жинсли чегаравий шартларнинг аралаш ёки бир хил чегаравий шартларида -2 - As = 2 cos в3 алмаштириш утиш матрицасининг барча хос кийматларини аналитик усулда аниклашни таъминлайди, у холда учинчи жинсли чегара шартларнинг маълум холларида
January, 2023
2
1
3
211
0 <|A| < 4 шарт бажарилмаганлиги сабабли илдиз йуколади. Лекин бу хос
кийматлар масаласини ечишнинг тригонометрик усулидан воз кечиш учун сабаб эмас.
Шундай килиб, аввал тригонометрик тенгламани (0; ж) ораликда ечамиз. Буни унг учидан, яъни в = ж дан бошлаш маъкулрок. вр = ж (унг) ва в1 = ж - А (чап) чегаралари булган кесмани ажратамиз ва бу ерда, масалан, А = ж /1000. Шартли равишда ({вр )> 0 деб кабул киламиз. (р{в1) ни хисоблаймиз ва
(р{в1 )({вр)<0 шартнинг бажарилишини текширамиз. Агар у бажарилмаса в1 ва вр сифатида кабул килинадиган в1 - А ва вр - А янги чегараларга эга кейинги кесмага утамиз, (р{вр) кийматни эса (р{в1) билан алмаштирамиз. Яна
(р{в1) ни хдсоблаймиз ва (р{в1 )({вр )< 0 шартнинг бажарилишини текширамиз.
Ва шундай жараённи шарт бажарилмагунча давом эттирамиз. Шарт бажарилганда, тенгламанинг k -чи илдизи тегишлилик кесмасининг куйи
чегараси сифатида в1 ни хотирада саклаймиз, (р{вр) ишорасини узгартирамиз. Ва ({в) функция ишорасининг узгариши буладиган кейинги кесмани кидиришни давом эттирамиз. Ушбу жараён в^= 0 га етгунча давом этади.
Натижада ({в) функция уз киймати ишорасини узгартирадиган барча
кесмалар ажратилади. Ундан кейин дихатомия усулидан фойдаланиб, хар бир илдизнинг кийматларини керакли аникликда топамиз.
Ушбу ечиш усулини куллаш al < 1 холда N +1 хос кийматларни ва al > 1 холда эса N та илдизларни топиш имконини беради. al = 1 холида, юкорида айтиб утилганидек, биз еовв0 = 1 ва Л0 =-4 деб кабул киламиз. al > 1 холида эса cosв0 шартли кийматни Виет теоремаси [26] асосида аниклаймиз. D'N+1 детерминантни c = 2 - As буйича ёйиш
— c + axc +... + aj\jC + a
купхадга олиб келади.
N +1 нинг турли хил кийматлари учун ёйилма коэффициентларининг кийматларини хисоблаймиз, бу ерда биз c = 2 cos в8 ва / = 2a0h белгилашдан фойдаланамиз:
D'= c-/,
January, 2023
212
D2 =
с-ß 2 1 с
= с2-ßc - 2,
D
с-ß 2 0 1 с 1
0
1 с
cD2 - D1 = с (с2 - ßc - 2)-(с-ß) = с3 - ßc2 - 3с + ß
d; =
с-ß 2 0 0
1 0
с 1 0 1 с 1
0 0 1 с
= cD3- D2
= с (с3 -ßc2 - 3с + ß)-( с2 -ßc - 2 ) = с4 -ßc3 - 4с2 + 2ßc + 2, 5= cD4- D3= с (с4-ßc3 - 4с2 + 2ßc + 2)-(с3 - ßc2 - 3с + ß) =
D
= с5 -ßc4 -5с + 3ßc2 + 5с-ß, ...
Умуман олганда, куйидаги конуният кузатилади. Биринчидан, тенгламадаги cN хад коэффициенти a = -ß. Виет теоремаси ва киритилган
N N
белгилашларга кура X cs =2a0h га, X cos 6S =a0h га эга буламиз. Бундан
s=0 s=0
N N
cos в0 = a0h - X cos Qs ва Ä0 = -2 - 2a0h + 2 X cos 9s ларни топиш мумкин.
s=1 s=1
Иккинчидан, купхдднинг озод хади куйидаги куринишга эга:
-2a0h, агар N +1 = 4m +1,
a
N+1 =(-1)N+1 П 2coses =
s=0
N
-2, агар N +1 = 4m + 2, 2a0h, агар N +1 = 4m + 3, 2, агар N +1 = 4m.
Ундан al > 1 да хос кийматларни топиш натижаларини текшириш учун фойдаланиш мумкин.
Шундай килиб, al < 1 да А функция утиш матрицасининг барча хос кийматлари характеристик тенгламанинг тригонометрик куринишидан сонли усул билан топилади.
al = 1 да утиш матрицасининг биринчи хос киймати Áq = -4 каби аникланди, колган хос кийматлар характеристик тенгламанинг тригонометрик ифодасидан топилди.
January, 2023
213
А функция утиш матрицасининг биринчи хос кийматини аниклаш учун биз характеристик тенгламанинг купхддли куриниши ва Виет теоремасидан фойдаландик, колган хос кийматлар эса характеристик тенгламанинг тригонометрик ифодасини сонли ечиш оркали аникладик.
REFERENCES
1. Хужаев Ж.И. Алгоритм расчета трехмерного температурного поля хлопка-сырца // Вестник ТашГТУ. - Ташкент, 2014. - № 3 (87). - С. 36-39.
2. КМ Шаимов, МХ Эшмуродов, ИК Хужаев. ЧИСЛЕННЫЙ МЕТОД РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ О ДВИЖУЩИХСЯ ТОЧЕЧНЫХ ИСТОЧНИКАХ ТЕПЛА ВНУТРИ ОБЛАСТИ ТЕПЛООБМЕНА//ТУИТ имени М.ал-Хоразми -Проблемы вычислительной и прикладной математики, Ташкент, 2020.-№1(25).-С. 59-68.
3. M Kh Eshmurodov, K M Shaimov, I Khujaev and J Khujaev. Method of lines for solving linear equations of mathematical physics with the third and first types boundary conditions/Journal of Physics: Conference Series 2131, 2021. -P.1-10.
4. М.Х. Эшмуродов, К.М. Шаимов. ИХТИЁРИЙ ЧИЗИКЛИ ЧЕГАРАВИЙ ШАРТЛАР УЧУН ПАРАБОЛИК ТЕНГЛАМАНИ ЕЧИШДА ТУГРИ ЧИЗИКЛАР УСУЛИНИ КУЛЛАШ АЛГОРИТМИ//Academic Research in Educational Sciences Volume 3 | Issue 11 | 2022. Б. 124-133.
5. М.Х. Эшмуродов. ТУГРИ БУРЧАКЛИ СОХДДА ИССИКЛИК ТУЛКИНЛАРИ ТАРКАЛИШИ МАСАЛАНИ ЕЧИШ. Academic Research in Educational Sciences Volume 4 | Issue 1 | 2023. Б. 111-115.
6. I. Khujaev, J Khujaev, M Eshmurodov and K Shaimov. Differential-difference method to solve problems of hydrodynamics. Journal of Physics: Conference Series 1333. 2019. -P. 1-8.
January, 2023 Multidisciplinary Scientific Journal
214
