9ИХТИЁРИЙ ЧИЗЩЛИ ЧЕГАРАВИЙ ШАРТЛАР УЧУН ПАРАБОЛИК
ТЕНГЛАМАНИ ЕЧИШДА ТУГРИ ЧИЗЩЛАР УСУЛИНИ КУЛЛАШ
АЛГОРИТМИ
М. Х. Эшмуродов К. М. Шаимов
Самарканд давлат архитектура-курилиш университети, катта укитувчилари
АННОТАЦИЯ
Ихтиёрий чизикли чегаравий шартларга эга масалани Дирихле масаласига келтириш йули билан тугри чизиклар методини куллаш усули ишлаб чикилган. Изланаётган функциянинг кийматлари чегараларда берилган деб фараз килиб, Дирихле масаласини ечиш амалга оширилади. Функциянинг фараз килинган кийматларини чегара тугунларида функциянинг янги топилган кийматлари билан чегара шартларининг якинлашувларига мувофик равишда мослаштириш оркали изланаётган функцияларнинг чегаралардаги хдаикдй кийматлари топилади. Кейин улар тенглама ва битта координата учун чегаравий шартлар якинлашиши иккинчи тартибини таъминлаган холда тугри чизиклар усулини амалга оширишда фойдаланилди.
Калит сузлар: Чекли айирмалар усули, Иссиклик узатиш, Дирихле масаласи, Хос сонлар ва векторлар.
КИРИШ
Математик физиканинг битта ва куп улчовли тенгламаларини сонли ечиш учун ишлатиладиган чекли-айирмалар усулининг мавжуд булган куплаб модификациялари такрибий усуллардир. Бир томондан, бу тенглик ва чегаравий шартларининг маълум бир аниклик тартибида якинлашиши билан боглик. Иккинчи томондан, чекли айирмали тенгламаларнинг узини ечиш такрибий характерга эга, чунки ажратиш, узгарувчан йуналишлар, предиктор-корректор ва бошка усулларлар аник ечимни емас, балки унга бирор якинлашишни беради.
АДАБИЁТЛАР ТАХДИЛИ ВА МЕТОДОЛОГИЯ
Тузилган чекли-айирмали тенгламаларни ечиш доирасида тугри чизиклар усули самаралирок булиб, бу чекли-айирмали тенгламаларни машина хисоблашлар аниклиги доирасида ечимнинг аниклигини таъминлайди. В.Н. Фаддеева [1] ва С.
November, 2022
124
Каримбердиева [2]нинг ишларида турли хил чегаравий шартларда эллиптик, параболик ва гиперболик типдаги икки ва уч улчовли тенгламаларни ечиш учун тугри чизиклар усулини куллаш алгоритмини таклиф килишди. Афсуски, уларда факат Дирихле масаласини ечиш учун ишлатиладиган ёрдамчи матрицалар келтирилган ва бошка чегаравий шартлар учун бу матрицалар хакида маълумот йук. Ёрдамчи матрицалар - фундаментал ва диагонал матрицалар - дифференциал оператордан чекли-айирмали операторга утишнинг хос векторлари ва учдиагонал матрицаси сонларидан иборат.
Ушбу илмий хисобот муаллифларининг айрим ишларида биринчи ва иккинчи турдаги аралаш чегаравий шартлар учун ёрдамчи матрицалар хосил килинган.
Параболик тенгламанинг Дирихле масаласи учун хос киймат ва вектор масаласини ечиш алгоритми ишда[3] келтирилган. Хос кийматлар учун куш тенгсизлик -4 <AS< 0 уринли эканлиги исботланган.
Чекли айирмали тенгламаларига утиш матрицасининг хос кийматлари
с \
Л = -2
1 + cos
2 s +1 2 ( N +1)
л
шаклда аникланган ва хусусии векторлар
элементлари топилган, бу ерда 0 ва N +1 кесманинг четки тугунлари номерлари.
Биз чегаравий шартларининг бошка комбинациялари учун тугри чизиклар усулини куллаш буйича ишни давом эттириш мумкин. Х,ар сафар тузилган утиш матрицаларига мувофик янги ва янги ёрдамчи матрицалар тузилади. Савол тугилади: чизикли чегаравий шартларининг ихтиёрий комбинациясида масалаларни ечиш учун ягона алгоритмни куриш мумкинми? Куйида ушбу саволга ижобий жавоб берилган ва параболик тенглама масалаларини ечишда Дирихле масаласи учун ёрдамчи матрицалар ва иккинчи аниклик тартиби билан тенглама ва турли чегаравий шартларини якинлашишини амалга ошириш усуллари келтирилган.
Алгоритм тавсифини чалкаштириб юбормаслик учун усулни куллаш объекти сифатида бир улчовли бир жинсли булмаган параболик тенглама кабул килинади, асосий омиллар эса классик иссиклик узатиш назарияси доирасида изохланади. Усулнинг мохияти куйидагича. Дастлаб изланаётган функциянинг чегаравий кийматлари берилган деб фараз килиш билан масала ечилади. Кейинчалик изланаётган функциянинг фараз килинган чегаравий ва янги топилган чегаравий кийматлари уртасидаги узаро богланишлар чегаравий шартларига мувофик тузилади.
November, 2022
125
Ymöy MyHOcaöaraapgaH ^npnxne Macanacn gonpacngarH Tyrpn nronKgap ycynn önnaH aManra omupunaguraH ^yH^HAHHHr nerapaBHH KuHMaraapn aHnKnaHagu Ycyn TeHraaMa Ba nerapaBHH mapraap HH3HKgu öynraHga xaM Ky^^aHunumu
MyMKHH.
HccuKguK y3aram TeHraaMacn
dT 2 dT — = a a—T
dt dx2
2
+
f ( x, t)
maKnga Kaöyn Ku-KHagn, 6y epga a - MarepnanHnHr ypTana hcchk^hk yTKa3um кoэ$$нцнeнтн; f (x, t) - MarepnanHnHr 3^^™ Ba connmrapMa nccnKgnK cnrEMn
öyHMHa KenTnpnnraH t BaKTga x KecnMga ehkm Ba TamKu nccnKgnK MaHSanapKHnHr yMyMMH KyBBaTM.
Ero xapopar KuHMaraapn nerapanapga öepnnraH geö $apa3 Ku-aMro
T ( 0, t) = Mo (t),
T (l, t ) = ß( t)
^npnxne Macanacn my Tap3ga KyHKnagn. fflapTHMHr yHr TOMOHngara M0 (t) Ba ß (t) ^yH^nanap öomKa nerapaBMH mapraapn ynyH KuHMaraapn KeñnH
aHMKgaHagnraH ronameTraH MKKgopnap xucoönaHagn. TeKMC Typ
l ^
=
x = ih, i = 0,1,...,N,N +1; h =
N +1 y
ui (t) Ba f (t) Typ ^yH^nanapn Kapum-agn.
Xucoönam coxacn naH^apacnHKHr KHKn TyryHnapnga TeHraaMa x KOopgnHaracn Gyanna nKKKHnn Tapraö aHnKgnK aкннnamтнpнnagн [30]:
du
n+1
dt h
a Í n+1 rs n+1 . n+1 \ - _rn+1 = 12 (ui-1 - 2ui + ui+1)+f
n+1
.n+1
EyHgañ xonga nerapa TyryHnapnga $apa3 KunnHraH ß0 Ba ß nerapaBKH
mapraapn aManra omapanagn:
M.n+1 n2
du1 a ( n+1 o n+1 . n+1 \ - r
= 7J(ß -2u1 + Un ) + f
n+1
du
n+1
N
dt h
dt h
a ' n+1
u
(u
N-1
2u
n+1
N
n+1
+ ß ) + fN
n+1
N
November, 2022
126
TaKguM eranraH gн$$epeнцнaп-aннpмaпн TeHraaManapgaH ÖH3
dU = ^ AU + F dt h '
KypuHumgaru мaтрнцa TeHraaMaHH Ty3aMH3,
(1.1.1)
6y epga U = (unx +1.
n+1
u
n+1 N-1'
u
n+1
N
A =
a„
pq
N
-2100 1 -2 10 0 1 -2 1
0 0 0 0 0 0 0 0
00 00 00
1 -2 1
01
2
N
By epga ronaHaeTraHnap Ba мaтрнцa эпeмeнтпaрн HHgeKcnapu 1 gaH N rana y3rapagu, WKopugaru "*" öenru MaTpu^HH TpaHcnoHupnarn aManuHH Sungupagu.
TeHraaMa (1.1.1) hh anoxuga ronaraeTraHnapra HucöaTaH aBTOHOM TeHraaManapra yramra hmkoh öepaguraH maKnga TaKguM этнпнmн 3apyp. MaTepuannapra [2] Mypo^aaT KunannuK Ba
A = BAB
geö Kaöyn KunaMH3, 6y epga B ^neMeffraapu
y
-1
Ä =(-1)'+PJ^sm ^SP-
s'p V ' VN +1 N +1
napgaH uöopaT A ra yxmam ^yHgaMeHTan мaтpнцa;
A -
эпeмeнтпapн
r
A =-2
1 + cos-
7TS
N +1 y
napgaH uöopaT guaroHan мaтpнцa; B_1 - эпeмeнтпapн b- = b napgaH uöopaT B ra TecKapu мaтpнцa.
bh3 (3.1.1) TeHraaMaHHHr HKKana tomohhhh nangaH B ra KynarnupaMro Ba
ddB^L = 4 B -' AU+B - ■ F dt h
TeHrnuKHH onaMH3.
bh3 aHru BeKTop-ycTyHHH KupuraMro
November, 2022
127
B U = BU = U = (u, Uu^-i' u^) =
N
N
N
N
u
p p
Z b1,pUp ' Z b2, pup '•••' Z bN-1' pup ' Z bN, ^ p=1 p=1 p=1 p=1
a = BABöynraHH ynyH
B"1 au = b'BaB'U = (b "B) A( b ~lu) = AU
Y xonga TeHraaMa
dU=4 au+f dt h2 '
KypuHHfflHH onagu öy epga
F = B-1F = BF = (f2,..., fN-1' fN)* =
(1.1.2)
r r bu V v
rn+1 . a , n+1 I . 7 fn+1.1 I rn+1 . U >
f1 +Ü1 Mn l + X b1'rfr + b1' N I fN Vl
N-1
2
a n+1
Í
b2,1
/-n+1 . a ,,n+1
f + TT V0
A
h"
N-1
{
+ Z b2,rfrn+1 + b2,N
bN-U f1n+1 + V +Z bN- f + bN-1' N fn+1 + a
V " y r=2 V h
r=2
N-1
/-n+1 . a ,,n+1 / N + TT V
\
h 2
2
a n+1
b
N '1
f „2 I N-1 /-
/«+1 + _ vn+1 + V b fn+1 + b 1 + ¿j2 v +z ^^'rfr + bN'N
7 r=2
7
2
/n+1 i ^ , ,n+1
fN + , 2 V
v h 77
(1.1.2) gaH ut ra HHeöaTaH anoxuga ogguñ TeHraaMaHH a^paTum MyMKHH:
du, a2 „ _ —
t-=TT au +f.
(1.1.3)
dt h
Ymöy TeHraaMa ynyH öomnaHFHH mapT öynuö U = B lU = BU TeHraHKKa Kypa
N
= Z b. u°
Z-f 1' p p ,
p=1
TeHrauK xu3MaT KH^agu, öy epga u °p = T (ph'0) öepunraH MacanaHHHr öomnaHFHH
mapTugaH HÖopaT.
TeHraaMa (1.1.3) hh cohhh ycyn önnaH enaMro. BaKT öyHHna aKHHnamnmHHHr hkkhhhh TapTHÖ aHHKgnrHHH TamKHn
November, 2022
v
128
Kunum MyMKHH. BaeHHHHr cogganuru ynyH öu3 opKara KañTum cxeMacugaH
$oñganaHaMH3 Ba BaKT öyHuna MKopu HHgeKcnapHu KupuTaMH3:
2
—n+1 —n
u. - u
a
n+1 , rn+1
T„
=-, wn+1+f
ByHgaH
h
n+1
-n+1_ U +^nfj ui =
" Tn r, 2 ;
T a Ái
= d U+f)
hh TonaMH3. By epga
öenrunamHH KupuTguK.
h
± = 1/
1 —na
h2 1
U
BU
(u
N
i Mr, i
n+1 . n+1
n+1 n+1 •5 UN-15 UN
NN —n+1
u
p p
v p=1
N
N
—n +1 2, pUp '•••'
—n+1
yN, pUp
J
i i b
p = 1 p =1 p =1
OopMynagaH ^onganaHuö, aHru BaKT ynyH H3naHaeTraH xapopar ^yH^uacura TecKapu yTumHH aManra omupaMH3.
3Hgu 6h3 H3naHaeTraH ^h^hahh nerapagaru $apa3 KunuHraH KHHMarnapu öunaH ^yHKCuaHHHr geBop TyryHnapuga aHru TonunraH KHHMarnapu opacugaru öoraHKHHKHH ypHaTaMH3, atHH nerapaBHH mapTnapuHH aManra omupaMH3.
bh3hh H3naHaeTraH xpcunacu KaMuga öuira nerapa mapTga
KaraamaguraH xpnaraap KH3HKTHpagu. Ba yMyMaH onraHga, H3naHaeTraHHHHr nerapa KHHMara öunaH öupra, HeKnu-anupManu TeHrnaMaga uKKura KymHH TyryHnapgaru ^yH^ua KUHMaraapu umTupoK этгaн xpnga aKUHnamumHUHr HKKHHHH TapTuöura эгa öynraH HyHanrapunraH xocunanap aManra omupunraH geö Kaöyn KunaMH3.
YMyMHH xpnga, x = 0 mapT Kaöyn KunuHagu
x = l ga эca
n+1 „ n+1 . n n+1 .
j = a0 u + Pq u2 + " :
n+1 „ n+1 . n n+1 . /1 j = ®iuN + ßiuN-1 +
(1.1.4)
(1.1.5)
Kaöyn KunuHagu, ynap hkkhhhh TapTuönu aHHKnuK öunaH nerapaBHH mapTnapuHHHr aKHHnamumuHH H^oganañgu.
November, 2022
129
3xTHMon a0, ß0' d0, a i' ß' a¡ кoэ$$нцнeнтпapнннг KUHMaraapn BaKTra ÖoFHHK ÖynHmH MyMKHH.
TyFpH HH3HKgap ycynH önnaH TonnnraH Ba u1' u2' uN-1 Ba uN HHHr KHHMaTnapHHH KyHngarnna ohhö öepaMH3
u
N N
—n+1
u
'p p
N _
Zb d (un + t fn+1)
/ > i' p p \ p nJ p J p=1
n+1=Z b
p=1
N N _
= Zb d un + t Zb d fn+\
/ > i' p p p n / i i' p pJp p=1 p=1
By epga
_ ( 2 \ N-1 f 2
~fn + 1 L _f n + 1 ^ ,,n + 1 X"1 7 />n + 1 .7 /> n + 1 . a ,,t
fp = bp'1 f1 + TTVo +Zbp'rfr + bp'N fN + T2 Vl
V " y r=2 V h
y
ffly MyHocaöaT önnaH
N
N
n+1
u
Zb d un + t Z b d
i'p p p n / ¡ i ,p p
p=1
p=1
bp', if"+1+a2 vT^
V
h2
+
y
N-1
+Z b fn+1+b
p 'N
r=2
- „n+1 M
V
fn+1, a n+1
f N + TT Vl h
2 N
■Zb-' pbpßp+vrha Zb' pbp' Wp +
y
2 N
p=1
p=1
N
N N
+Zb d u" +t ZZb b d r+\
/ ¡ i' p p p n / ¡ / ¡i' p pr pJr p=1 p=1 r=1
Ymöy Typ ^yH^HACHHHHr KHHMaTnapHHH moc KenagnraH HHgeKcnapga nerapaBHH mapraap AKUHnamnmnapra Ky^Mro. BHPHHHH mapTgaH
n +1 _ »»n+1 I ii"+1J-, I
V0 = V0 a0 + Vl b0 + ^0 •
Kennö HHKagn. By epga
a =
Tna
2 N
0 = ,2 Z(aA p + ß0b2' p ) bp1dp ' b0 = Mr Z(a0b1p + ß0b2' p ) bpNdp '
p=1
.2 N
p=1
November, 2022
130
N N N
C = Z {aA p + M, P ) dpK + Tn Z Z p + M, p ) bPrdpfr+X + ■ p=1
p=1 r=1
öenrunamnapgaH ^oñganaHraHMro
Ero hkkhhhh mapT öunaH x,aM myHgan hohh 6a«:apaMro Ba
Mi = Mo a+Mi hi+c,
TeHraHKHH onaMro, 6y epga:
-2 N
a,
Z (^hN,p + ßlhN-1,p ) hp 1dp , hl = ^r Z (^hN,p + ßlhN-1,p ) hp,Nd
2 N
i2 l N,p -1,p) p ,1 p' l i2
h p=1 h p=1
N
NN
C = Z (^hN, p + AhN -1, p ) dpK +?n Z Z (^hN, p + ßlhN-1, p ) hp Afn + ■
p =1 p=1 r=1
^Hru onuHraH HKKHTa nrouKgu TeHrnaManapgaH cucreMa Ty3aMro '(1- ao )Mon+1 - hM = Co,
-alM,n+1 + (1-h, )M,n+' = c, ■ (116)
Ymöy CHCTeMa acocun мaтpнцaсннннг geTepMuHaHTu
A = (l- ao )(1- hl)-alho Honra TeHr öynMaraH KuHMarra эгa geö $apa3 KunaMro. Y xpnga ronaHaeTraH ^yH^u^HuHr nerapaBHH KuHMaraapu ynyH
1
Mo +1= 1 [(1 - h ) Co + hoC
n+1
M =
A
aCo +(1 - ao ) C
napra эгa öynaMro.
H3naHaeTraH ^yH^u^HuHr TonunraH nerapaBHH KuHMarnapura $aKar ^yHgaMeHTan Ba guaroHan мaтpнцanapнннг MatnyM эneмeнтnapн, myHHHrgeK öepunraH MacanaHHHr nerapaBHH mapTnapu эneмeнтnapн Kupagu. Ynap nerapaBHH mapTnapuHH KOHgupagunap. OaKaT nerapaBHH mapTnapuHHHr
aKHHnamumugaH cxo, ßo, 0o, a¡, ß, a¡ кoэ$$нцнeнтnapнннг KuHMaraapuHu
aHHKnam Konagu.
KnaccuK uccuKnuK y3arum Hasapuacuga TypraHnu Typgaru nerapaBun mapra geö aranaguraH Ba öup BaKTHuHr y3uga ukkuhhu Ba ynuHnu Typgaru mapTnapHu yMyMnamTupaguraH nerapaBun mapTra TyxTanaMro
= ^ T (t) - T ( o, t)]+^o R (t) ,
November, 2022
131
= Ъ [Toc (t)-T(l,t)] + ftR (t)
2
dx
Бу ерда 2 - материалнинг уртача иссиклик утказувчанлик коэффициенти;
Ъ - материал ва харорати Toc (t) деб кабул килинган атроф-мухит уртасидаги
иссиклик узатиш коеффициенти; ^ - нурли энергия материалининг ютилиш
коеффициенти; R (t) - нурли энергия интенсивлиги. Охирги учта курсаткич
чегараларнинг хар бирига мос равишда индекслар билан белгиланган. Биринчи шартни
Ji [ (t)"T (0' t Я+f R (t)
куринишда ёзамиз ва унга иккинчи тартидаги аниклик билан якинлашишни куллаймиз
Q ,,и+1 /( n+1 n+1 р
3Ио — 4U1 + U2 _ Ъ0 / rpn+1 n +A bO nn+1
= T (С—M+1 )+f Кn
2h 2 oc 0 ' 2 2h2 тенгламани купайтирамиз ва ухшаш хадларни ихчамлаймиз
(32 + 2h%o) M0+1 = 42<+1 — 2u2+ + 2h (ЪТ/1 + ^ RT1)
Бу ерда биз аввал кабул килинган шартнинг (3.1.4) шаклига утамиз, унинг учун коэффициентларнинг кийматларини аникладик:
а, _ 42 2 в jh (Ъог:;1+bort1)
^ 32 + 2h4' 32 + 2h4' 0 32 + 2h%0 '
Йуналтирилган хосилаларнинг иккинчи шартга шунга ухшаш кулланилиши чекли - айирмали тенгламага олиб келади
Q ..n+1 Л n+1 . n+1 £
3И[ — 4UN + UN—1 _ Ъ. (jrn+1 _ и+1 ) _ j^n+1 2h 2^ocMl } 2 l Махражлардан халос булиш ва ухшаш хадларни ихчамлаш шартнинг коэффициентлари кийматларига олиб келади (1.1.5):
42 2 л 2h (ЪТГ1 +giR;+1)
а. =-, Д=--, в =—---.
1 32 + 2h¿ 32 + 2h% l 32 + 2h%
Туртинчи турдаги чегара шарти учун чегаравий шартлар учун энг катта
хажмдаги хисоблашлар холи учун биз M^1 ва Mi+l лар шакилланишининг бир вариантини келтирдик. Чегаравий шартларнинг бошка комбинацияларида коэффициентлар учун
November, 2022
132
формулалар кискаради. Масалан, агар х = 0 да биринчи турдаги шарт берилган булса, у холда биринчи тенглама (1.1.6) тенгламалар системасидан тушиб колади ва хоказо. Шуни инобатга олган холда, маълум бир чегаравий
масаласини ечишда (1.1.6) системанинг ¡¡о+1 ва ¡¡¡+х ларга нисбатан ечимларини такрорлаш максадга мувофикдир, бу эса хисоблаш вактининг кискаришига олиб келади.
REFERENCES
1. Фаддеева В.Н. Метод прямых в применении к некоторым краевым задачам. -Тр. МИ АН СССР, 1949, том 28. - С. 73-103. (Из Общероссийского математического портала Math-Net).
2. Каримбердиева С. Численные методы решения дифференциально-разностных уравнений в параллелепипеде, шаре и цилиндре. - Ташкент: Фан, 1983. - 112 с.
3. Хужаев И.К., Хужаев Ж.И., Равшанов З.Н. Аналитическое решение задачи о собственных значениях и векторах матрицы перехода из параболического уравнения к конечноразностным уравнениям при решении задачи Дирихле // Узбекский журнал информатики и энергетики, 2017, №2. - С. 12-19.
November, 2022 Multidisciplinary Scientific Journal
133
