2ТУГРИ БУРЧАКЛИ СОХДДА ИССЩЛИК ТУЛЦИНЛАРИ ТАР^АЛИШИ МАСАЛАНИ ЕЧИШ
М. Х. Эшмуродов
Самарканд давлат архитектура-курилиш университети, катта укитувчиси
m.eshmurodov@samdaqi.edu.uz
АННОТАЦИЯ
Тугри бурчакли сохада иссиклик тулкинлари таркалиши масалани ечишда жисмнинг иссиклик утказувчанлик коэффициенти, зичлиги ва келтирилган иссиклик сигими узгармас кийматларга эга деб каралади. Масалани ечишда тугри чизиклар усулидан фойдаланилади. Бу усулнинг асосий ютуги машинанинг яхлитлаш доирасида чекли айирмали тенгламаларнинг аник ечимини олишдир.
Ушбу макола доирасида биз тугри бурчакли соха чегарасида харорат кескин сакраб узгариши масаласини караймиз.
Иссиклик узатиш масалаларида умумлашган функциялардан фойдаланиш хам сифатий, хам микдорий натижаларни олиш имконини беради.
Калит сузлар: Чекли айирмалар усули, Иссиклик узатиш, Иссиклик сигими, Фундаментал матрица.
КИРИШ
Математик физиканинг битта ва куп улчовли тенгламаларини сонли ечиш учун ишлатиладиган чекли-айирмалар усулининг мавжуд булган куплаб модификациялари такрибий усуллардир. Бир томондан, бу тенглик ва чегаравий шартларининг маълум бир аниклик тартибида якинлашиши билан боглик. Иккинчи томондан, чекли айирмали тенгламаларнинг узини ечиш такрибий характерга эга, чунки ажратиш, узгарувчан йуналишлар, предиктор-корректор ва бошка усулларлар аник ечимни емас, балки унга бирор якинлашишни беради.
Хдрорат катта градиентининг куп маротаба такрорланиши каттик жисмнинг маълум кисмларида колдик деформациянинг тупланишига олиб келади. Натижада, биринчи навбатда ёриклар пайдо булади, кейин эса жисм яхлитлигини йукотади. ^аттик жисм механикасида бу жараён мураккаб математик модель доирасида урганилади, бунда деформация тензори маълум компонентлар билан бир каторда жисмнинг иссикликдан кенгайиши омилини хисобга олган холда
January, 2023
111
тузилади. Ушбу макола доирасида биз тугри бурчакли соха чегарасида харорат кескин сакраб узгариши масаласини караймиз.
АДАБИЁТЛАР ТА^ЛИЛИ ВА МЕТОДОЛОГИЯ
Иссиклик узатиш масалаларида умумлашган функциялардан фойдаланиш хам сифатий, хам микдорий натижаларни олиш имконини беради. Маколанинг материалини баён этишда бундай функция сифатида £ нисбий-ортикча хароратдан фойдаланилган, координаталар эса lx кисмнинг узунлигини жалб килган холда улчовсиз шаклга келтирилган. Шу муносабат билан, хисоблашларда (lx, /,) улчамлари булган тугри туртбурчак (1, l) улчамлари
билан олинади. Жисмнинг иссиклик утказувчанлик коэффициенти, зичлиги ва келтирилган иссиклик сигими узгармас кийматларга эга.
Иссиклик узатиш тенгламасининг томонларини а2 иссиклик таркалиш коэффициенти ва lx узунлик масштабига булишда куйидаги тенглама хосил булади:
д£ д2£ д2£ ,„ ч
— = ^т + ^т + f( x, У, t), dt dx2 дУ
Бу ерда £( x, y, t) - нисбий-ортикча харорат; f'(x, y, t) - материалнинг
иссиклик утказиш коэффициенти буйича келтирилган хисоблаш сохасидаги иссиклик манбаи/ютилиши куввати; t - иссиклик утказиш коэффициентининг
реал вактга купайтмаси, м2 улчовга эга.
Бошлангич шарт булиб £( x, y,0) = £° (x, y), чегаравий шартлар булиб
£(0y,t) = ^xo(У), £(1,У"t) = Mxi(У), £(x,°t) = Myо(x), £(x,l,t) = ^у1 (x) хизмат килади.
Чегаравий ва бошлангич шартлар нолга тенг ёки нолга тенг булмаслиги мумкин. Аммо бизни жисмдаги юкори иссиклик кучланишлари билан ажралиб турадиган иссиклик тулкинлари кизиктиради.
Масалани ечиш учун тугри чизиклар усулидан фойдаланилади. hx, hy, т
кадамлар ва i = 0..Nx +1, j = 0..Ny +1, n = 0..Nt индекслар билан координаталар
ва вакт буйича текис тур киритилади.
Тенгламани х уки буйлаб иккинчи тартибли аникликдаги схема билан аппроксимациялаб,
January, 2023
112
5Z
dt h
-Л.
матрицали тенглама тузилади, бу ерда
-2100 1 -2 10
1 (x) d 2Z..
= -1 A( x >Z;+-j + F,
2j
A(x)
0 1 -2 1
0 0 0 0 0 0 0 0
5У
0 0 0
0 0 0
0 0 0
1 -2 1
0 1 -2
N
Zj ' ^2,j >•••> ^-1,j, ^Nx,j) ,
F =
«+1
« + Uií
j
fu +
h
rtn rtn r
J2,j .•••. JN..-1, i. Jl
N ,j
+
X
U.n+1 ^ Uv +1, i
x ,J hi
(1)
(2)
ни чапдан
= ( f1,j, f2,j ,•••, fNx-1,j, fNx,j
Ушбу матрица тенгламасидан битта тенгламани ажратиб олиш учун (1)
7sp
\
2
-sinN +1 N +1
элементлари булган Bx фундаментал
матрицанинг тескари матрицасидан иборат Л^ матрица хос векторлари элементлари булган B"1 матрицага купайтирамиз. = BxAxB~l ни хдсобга олган холда, бу ерда Ax - элементлари матрица хос кийматлари
Áx) = -2
1 + cos-
7S
Nx +1 у
дан иборат диагонал матрицани ифодалайди, матрица
тенглама куйидаги куринишга эга булади:
d Zj 1 — d Zj —
= -^kzí +—j+F
5t h
5y¿
í >
бу ерда Zj = Bx-1Z . = BxZ ., Fj = B-lFj = BxFt.
x j x г J x j Охирги матрица тенгламадан
dir
j
dt h
i 2 ' Ь/,/^ _ 2 ^Ji
dy2
January, 2023
T
113
TeHrnaMa a^paranagu.
Ymöy TeHraaManapHHHr nerapaBHH mapraapu öynuö y3rapTHpHnraH
N.. , s . .. N..
,0 _ hi 0 ~~
Ä.o = = t Ä.v +i = C,v +i = £ +i nerapaBHH niapraap
y p=1 y
y
p=1
xH3Mar KHnagu.
ro^opnga 6aeH KunHHraH npo^gypaHH By Ba Ay мaтpнцanapн epgaMHga Taicpopjiaö, ajioxnga TeHrjiaManapra KejiaMro:
dt h2 ' J h2 j
X y
By epgaH 6h3 BaKT Syfiuna xpcunaHHHr gucKpeT H^ogacura yTaMH3 Ba AHru KHpHTHjiraH (})yHL[HiijiapHHHr KHHMaTjiapHHH TonaMH3:
Q
n+1
C" +t fn+l
h i
hi
(3)
^Ha KupuranraH ^yH^ua ynyH öomnaHFHn mapTHH maKnnaHTHpum
Nx Nv
C°/ = Z bj]) Z bfqCp q (j)opMyjia öyHHHa, HHCÖHH-opTHKHa xapopaTra TecKapn
p =1 ' q =1
Nx Ny
yraiii = £ b}xJ £ öyHHHa aManra OHinpHjiagH.
p=1 ' q=1
TaKguM этнпгaн Marepuan acocuga gacTyp Ty3ungH Ba xucoönarn Ta^puöacu yTKa3HngH. Xucoönarn Ta^puöacHHHHr 6at3H Harn^anapura TyxTanuö yTaMH3. 1-Macana cu^araga
e°(x,y) = o, ßxo{y) = 0 j(y) = 0 Myo(X) = 0 ßyi(X) =1
nerapaBHH mapraap öynraH xphhh KapaHMH3. ^hh, t = 0 gaH öomnaö y = 1 nerapaga 1 xapopar ypHarnnagH. BornnaHFun xapopar Ba öom^a nerapanapgaru xapopar Honra TeHr.
Eh geBopnapgaru Hont nerapaBHH mapraapu uccuKnuK TynKHHHHHHr ong
w v> II II
KHCMHHH acTa-ceKHH Topamupagu Ba WKopu xapoparnHHr y3ura xoc "THnnapu" hh xpcun KHnagu. By oMun juy0 (x) = 1, jyl (x) = 1 ga KapaMa-Kaprnu TapKanaguraH
TynKHHnapHHHr TapKanurnuga aHHKpoK H^oganaHagu.
fflyHra yxmam xuco6-KHTo6nap xapoparHHHr x = 0 nerapagaru KHHMarn Ba y = 1 nerapanap öunaH öofhhk öynraH x,on ynyH xaM aManra ornupungu.
January, 2023
1
114
Натижаларнинг кичик вакт кадамида тескари тулкинларни куриш мумкин.
Х,исоблаш натижаларини хисоблаш сохасида изотермалар куринишида такдим этиш юкори иссиклик кучланиш сохаларини ажратиб курсатиш имконини беради. Улар изочизикларнинг куюклашиши билан характерланади.
ХУЛОСА
Хулоса килиб шуни таъкидлаймизки, апроксимация аниклиги
O^ т + h1 + hy j. Уни ошириш мумкин. Аммо бу усулнинг асосий ютуги
машинанинг яхлитлаш доирасида чекли айирмали тенгламаларнинг аник ечишини олишдир.
Усул эллиптик ва гиперболик тенгламаларга кулланилиши мумкин.
и+1
/
Эллиптик теиглама учуй (3) ечим С- =——--——-, гиперболик
^ ^ W t] / h2 + tyj / h2
' х 1 V
уп . _ гп+1
- . ¿с.. — С . . + Т /. .
и+1 7 ; Т/ ; 7 YiJ Ii
теиглама учун эса с =--г----—г куринишни олади, яъни усул
1 -т(№ /h2 + ty) /h2) ур д,
п\' x J у /
кенг кулланиш сохасига эга. REFERENCES
1. Каримбердиева С. Численные методы решения дифференциально-разностных уравнений в параллелепипеде, шаре и цилиндре. - Ташкент: Фан, 1983. - 112 с.
2. Будак Б.М., Самарский А.А., Тихонов А.Н. Сборник задач по математической физики. - М.: Наука, 1972. - 688 с.
3. Хужаев И.К., Хужаев Ж.И., Равшанов З.Н. Численно-аналитические методы решения задач на собственные числа и вектора для метода прямых на прямоугольных областях // Проблемы вычислительной и прикладной математики. - Ташкент, 2017. - №4(10). - С. 76-83.
4. Равшанов Н., Шарипов Д.К. Модель и численный алгоритм для прогнозирования процесса распространения вредных веществ в атмосфере. -Проблемы информатики и энергетики, Ташкент. 2011, №4. - С. 3-10.
5. Каримов И.К., Хужаев И.К., Хужаев Ж.И. Применение метода прямых при решении одномерного уравнения параболического типа при граничных условиях первого и второго родов // Вестник КРАУНЦ. Физ.-мат. науки. 2018. № 1(21). C. 78-92. DOI: 10.18454/2079-6641-2018-21-1-78-92
January, 2023
115
