Явный вид решения задачи Коши для уравнения движения грунтовых вод со свободной поверхностью Текст научной статьи по специальности «Математика»

ISSN 2074-1863 Уфимский математический журнал. Том 3. № 2 (2011). С. 81-86.

УДК 517.95+517.986.7

ЯВНЫЙ ВИД РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ КОШИ ДЛЯ УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ ГРУНТОВЫХ ВОД СО СВОБОДНОЙ ПОВЕРХНОСТЬЮ

Х.Г. УМАРОВ

Аннотация. Для линейного дифференциального уравнения в частных производных, моделирующего эволюцию свободной поверхности фильтрующейся жидкости

\ut — A 2ut = aA2u — + f,

где u(x,y,t) — искомая функция, характеризующая напор жидкости, f = f(x,y,t)

— заданная функция, учитывающая внешнее воздействие на фильтрационный поток,

А2 = дХг + -щр — дифференциальный оператор Лапласа, \,а,@ — положительные постоянные зависящие от свойств водоносного грунта, получен явный вид решения задачи Коши в пространстве Lp(R2), 1 < p < +го, сведением рассматриваемой задачи фильтрации к решению абстрактной задачи Коши в банаховом пространстве. По временной переменной t решение соответствующего однородного уравнения удовлетворяет полугрупповому свойству. Из полученной оценки решения задачи Коши в пространстве Lp(R2), 1 < p < +го, следует непрерывная зависимость решения от начального данного на любом конечном временном отрезке.

Ключевые слова: свободная поверхность фильтрующейся жидкости, сильно непрерывные полугруппы операторов.

Рассмотрим в области (x,y) £ R2, 0 < t ^ T < +то, линейное дифференциальное уравнение в частных производных, моделирующее эволюцию свободной фильтрующейся жидкости [1]

(XI — Д2 )ut = аА2П — в Д2« + f, (1)

где u = u(x,y,t) — искомая функция, характеризующая напор жидкости; f = f (x,y,t)

— заданная функция, учитывающая внешнее воздействие на фильтрационный поток: инфильтрацию, испарение, перетоки из нижележащего прослоя и т.д.; Д2 = д2/дх2 + д2/ду2

— дифференциальный оператор Лапласа; I — тождественный оператор; X, а, в — положительные постоянные зависящие от свойств грунта.

В работе [2] приведено решение начально-краевой задачи в ограниченной области для уравнения (1). Различные прямые и обратные начально-краевые задачи, для уравнения обобщающего уравнение (1), исследовались многими авторами (см., например, [3] и приведенную там библиографию).

Наша цель — получить для уравнения (1) явный вид решения задачи Коши1 в R2. Будем предполагать, что начальное данное <^:

u|t=o = <P(x,У), (2)

Kh.G. Umaroy, Explicit solution of the Cauchy problem to the equation for groundwater motion with a free surface.

© Умаров Х.Г. 2011.

Поступила 11 января 2011 г.

1 Явный вид решения задачи Коши, первой начально-краевой задачи в полупространстве и смешанной задачи в пространственном слое, в предположении анизотропии среды, получен в [4].

свободный член f и искомое решение и уравнения (1), для всех значений «параметра» — временной переменной Ь Е [0.Т], по «пространственным» переменным (х.у) Е Я2 принадлежат банахову пространству Ьр(Я2), 1 < р < +то.

В пространстве Ьр(Я2), оператор Лапласа Д2, с областью определения

0(Д2) = [ф Е Ьр(Я2) : Д2ф Е Ьр(Я2)}, является производящим оператором сжимающей

сильно непрерывной полугруппы и(Ь; А2) класса С0 ([5], с. 58; [6], с. 228):

и(Ь; Д2)ф(х, у) = 4Л1Л в-((х-& +<у-пт«<ф(£, пШ Л;. (3)

В2

тип которой равен нулю, при этом область определения оператора Лапласа является пространством Соболева: ГР(Д2) = Ш^(Я2). Положительная полуось принадлежит резольвентному множеству оператора Д2 и для резольвенты (XI — Д2)-1, X > 0, справедливы оценка

|| (Х 1 — Д2)-1ф(х. У)\\ьр(В2) ^ X\\Ф(Х. У)\К(В2) (4)

и представление

г+ГО

(XI — Д2)-1ф(х,у) = е~х*и(Ь; Д2)ф(х.у)сИ. (5)

Jo

Наличие в точке X > 0 резольвенты (XI — Д2)-1 позволяет существенно преобразовать уравнение (1), разрешив его относительно производной по времени и представив в виде уравнения «параболического типа». Именно, полагая и = (XI — Д2)-1ь, приходим к уравнению:

V =(а1 — в Д2)Д2^1 — Д2)-1у + f. (6)

Линейный замкнутый оператор (а I — в Д2)Д2(XI — Д2)-1 = (XI — Д2)-1 (а1 — в Д2)Д2 определен на функциях ф из Ьр(Я2), для которых существуют обобщенные производные Д2ф и Д2ф, и его можно продолжить до оператора А + В, где А = в Д2, В = —(а — в X)[I — X (XI — Д2)-1], определенного на пространстве Соболева Шр2(Я2).

Таким образом, приходим к абстрактному дифференциальному уравнению первого порядка, обобщающему уравнение (6) в банаховом пространстве Ьр(Я2),

у г = (А + В )у + ^Ь), (7)

где у = у(Ь) : Ь ^ у(х.у.Ь) — искомая, а f(t) : Ь ^ f (х.у.Ь) — заданная функции, опереде-ленные для Ь Е [0.Т] и со значениями в Ьр(Я2). Для уравнения (7) начальное условие (2)

в ЬР(Я2) перепишется в виде

уіі=о = Ф,

здесь ф = (XI — А2)ір(х,у) — элемент пространства ЬР(Я ).

Оператор А = в А2, Т>(А) = Ш^(Я2), является производящим оператором сжимающей сильно непрерывной полугруппы и(і; А) класса С0:

и (і; А) = и (і; в А2 ) = и (в і; А2). (9)

Возмущающий оператор В = — (а — в Х)[1 — Х(Х1 — А2)-1], 'Р(В) = ЬР(Я2), линеен

и ограничен на всем пространстве, поэтому является производящим оператором сильно

непрерывной полугруппы (более того - группы) класса С0 : и (і; В) = ^ +=°0 к Вк, для которой справедливы представление

и (і; В ) = е-(а-вх)іи ((а — вХ)Хі; (XI — А2)-1) =

= е-1«-е»1 £ (а - вХ)кХкік(ХІ —А2)-к (10)

к=0

и оценка \\и(і; В)И « е->а-в»‘||(Х I — А2)-1||к.

Следовательно, используя оценку (4) резольвенты оператора Лапласа, выводим: 1) если а — вX > 0, то полугруппа и(Ь; В) является сжимающей: \\и(Ь; В)\\ ^ 1; 2) если а — вX < 0, то справедлива оценка нормы \\и(Ь; В)\\ ^ е2\а-вх^.

Дифференциальный оператор —XI + Д2, X > 0, является производящим оператором сильно непрерывной полугруппы класса С0, норма которой экспоненциально убывает: и(Ь; —XI + Д2) = е~хьи(Ь; Д2), поэтому, используя формулу ([5], с. 150) для отрицательных степеней производящего оператора полугруппы с отрицательным типом, найдём, для последующего использования, выражение для степеней резольвенты:

(ХІ — А2)

к

1

вк-1е-Хзи(в; А2)&в, Х > 0, к =1, 2,

(к — 1)!

:іі)

Применяя соотношения (11), продолжим преобразование степенного ряда в (10): 1) если а — в X > 0, то

и (і; В )ф = е

— е-(а-вХ)^

(а — вХ)кХкік , , . х,

к=

вк-1 е-Х,и(в; А2)фб,в

е

-(а-0Х)і

ф + / (а — вХ)Хі І е-Х,І1 (2/ (а — вХ)Хві) и (в; А2)ф —=

где Ь^) = ^Щк+1)'----модифицированная функция Бесселя ([7], с. 729), а ф — про-

извольный элемент пространства Ьр(Я2);

2) если а — в Х < 0, то

и (і; В )ф = е-(а-вХ)іх

х

ф—/а—щхг / е-х- £(—1)к {%!Ті)2к" и (в; ам —в

-(а-вХ)і)

_,-Х ,

0 к=0

уГ*

&в

ф — /\а—вХ\ХЛ у е Хэ31 ^2/\а — вХІХві^ и (в; А2)ф 0

где 3]_(г) = ^-1щк+1)\ +-функция Бесселя ([8], с.727). Теперь, вводя обозначение

I \ Ь(2л/(а — вX)Xst). если а — вX > 0.

Ст т (а. в. X. S.t) - \ г--------;---

1 y — J1(2yf\а—]вX\XSt). если а — вX< 0.

представление для полугруппы, порождаемой оператором В, можно записать в виде

12)

и(і; В)ф = е

__ e — (a—вХ)t

&в

ф + у/\а — вХ\Хі е Х'вС1^ (а,в,Х,в,і)и(в; А2)ф -—=

3 Vв

;із)

Из полученных представлений (9) и (13) соответственно полугрупп и (і; А) и и (і; В) через полугруппу (3), порождаемую оператором Лапласа А2, следует их коммутирование.

При возмущении производящего оператора А сильно непрерывной полугруппы и (і; А) класса С0 линейным ограниченным оператором В, оператор А + В с областью определения Т>(А + В) = Т>(А), также порождает ([8], с. 403) сильно непрерывную полугруппу и (і; А + В) класса С0, при этом возмущённая полугруппа определяется разложением в ряд: и (і; А + В )ф = ик (і)ф, і > 0, где и0(і)ф = и (і; А)ф и

ик (і)ф = /о и (і — в; А)Вик-1(в)ф ^з, к > 0, для произвольного элемента ф банахова пространства, причём ряд абсолютно сходится, равномерно по і в любом конечном интервале положительной полуоси.

В нашем случае, возмущающий линейный ограниченный оператор В коммутирует с полугруппой, порождаемой возмущаемым оператором А : В и (і; А)ф = и (і; А)Вф, так как этим свойством обладает резольвента (Л/ — А)-1 и полугруппа и (і; А), для любого производящего оператора А сильно непрерывной полугруппы класса С0. Отсюда следует, что ик (і)ф = |г Вки (і; А)ф = |г и (і; А)Вк ф, и, значит, представление для полугруппы, порождаемой оператором А + В:

и (і; А + В )ф = и (і; А) и (і; В)ф = и (і; В )и (і; А)ф = е-(а-вл)і

и (в і; Л2)ф +

/Ле

в^С^ (а, в, Л, 5, і)и(в + в і; Л2)ф —

V 5

:і4)

и оценка нормы

||и(£;А + В)|| « 11и(*; А)|1 ■ 11и(*;В)1| « {< 0. (15)

Для того чтобы задача Коши для однородного уравнения, соответствующего (7), была равномерно корректной ([5], с. 64), необходимо и достаточно, чтобы оператор А + В был производящим оператором полугруппы класса С0, при этом решение задачи Коши для однородного уравнения даётся формулой у = и(£; А + В)ф, если начальное данное ф из условия (8) принадлежит области определения оператора А + В. Если свободный член К£) уравнения (7) удовлетворяет одному из двух условий ([5], с. 166): 1) значения ^¿) принадлежат области определения оператора А + В и функция (А + В)^£) непрерывна по норме банахова пространства или 2) функция ^¿) непрерывно дифференцируема по норме банахова пространства, то формула

£

у= и(£; А + В)ф + У и(£ — т; А + В)^т)^т (16)

о

даёт решение задачи Коши (7), (8).

Принадлежность элемента ф множеству Р(А + В) наверняка будет следовать из принадлежности как начального данного <^, так и функций Д2^ и Д^ пространству ¿Р(Д2). Соответственно, для выполнения выше приведённых требований к свободному члену f достаточно, чтобы выполнялись следующие условия: 1) функции / и Д2/ по переменным (ж, у) для всех £ Е [0,Т] принадлежат пространству ¿Р(Д2), причём функция Д2/ непрерывна по переменной £ по норме пространства ¿Р(Д2), или 2) функция / непрерывно дифференцируема по переменной £ по норме банахова пространства ¿Р(Д2).

Предполагая выполнение всех этих требований и действуя на обе части соотношения (16) оператором (Л/ — Д2)_1, выводим формулу для решения уравнения (1)

£

и = и (£; А + В)^(ж,у) + [ и (т; А + В)(Л/ — Д2)_1/(ж, у, £ — т)^т, (17)

для которого, в силу соотношений (15), справедлива оценка

11и(ж,У,£)11 ^ Шх,У)\\ьр{к2) +

£

+Л/\/(ж,у,т)1кр(^т если а — вЛ " 0;

о

11и(ж,у,£)1кр(Д2) ^ е21а-вл1£\^(ж,у)\Ьр(Д2) +

+ Л / е2|а“вл|тII/(х,у,т)\ьр(д2)йт, если а — вЛ < 0.

(18)

Теперь, используя представления (14) и (5) соответственно полугруппы и(£; А + В) и резольвенты (Л / — Д2)_1 через полугруппу, порождаемую оператором Лапласа Д2, из формулы (17) имеем

и(х,у,і) = е-(а-вЛ)*

и(ві; Л2)^(х,У) +

+\/|а — вЛ|Лі / е Л5С^1 (а,в, Л, 5,і)и(в + ві; Л2)ф(х,у)—=

V5

о

г

+

+/е о

-(а-вЛ)т

е Лг и (г + вт; Л2)/(х, у, і — т )^т + а/ |а — вЛ|Лт х

о

х J е Л5С^1 (а, в, Л,5,т) е Лг и (г + 5 + вт; Л2)/(х,у, і — т )^г

оо Наконец, применяя представление (3) полугруппы, порождаемой оператором Лапласа, получаем явный вид решения задачи Коши для уравнения движения грунтовых вод со свободной поверхностью

1

и(х,у,і) = - е-(а-вЛ)*

п

е ?2 п2<^(х + 2у/вЇ£>У + ^\/віп)^С^П+

д2

а

— вЛ|Лі / е-Л5С^1 (а, в, Л, 5, і) —

./о V 5

X

х ууе- -п *<х+21ДТ«;,у+2ч/?+№)<№

д2

+

1

ГІ

+- е-(а-вЛ)т ^т

е Лг ^гх

о

п 3 о

х JJ е-?2-^2 / (х + 2^г + вт^,У + 2^ г + втп,і — т )^^^п+

д2

Г* + ^

а

— вЛ|Л^ / е-Л5С^1 (а, в, Л, 5, т) — е-Лг^гх

х уу е-«2-п2/(.+Vг+5+^+Vг+5+втп, * -т)<№

д2

о

о

Таким образом, имеет место

Теорема. Пусть в задаче Коши (1), (2) для уравнения движения грунтовых вод со свободной поверхностью решение u(x,y,t) ищется в пространстве Lp(R2), 1 < p < +то; начальное данное <^(x,y) и функции Д2^(ж,у), Д^^, y) принадлежат пространству Соболева Wp(R2); свободный член f (x, y, t) удовлетворяет одному из двух условий: 1) функция f (x,y,t) по переменным (x,y) для всех t G [0,T] принадлежит пространству Соболева Wp2(R2); причём функция Д2f (x,y,t) непрерывна по переменной t по норме пространства Lp(R2), или 2) функция f (x,y,t) непрерывно дифференцируема по переменной t G [0,T] по норме пространства Lp(R2), тогда единственное решение этой задачи даётся формулой (19) и для него справедлива оценка (18).

Замечание. Отметим, что 1) по переменной t решение однородного уравнения, соответствующего (1), удовлетворяет полугрупповому свойству; 2) из оценки (18) следует непрерывная зависимость решения от начального данного на любом конечном временном отрезке, причем если а — в А > 0, то норма решения однородного уравнения не более нормы начального данного на всем временном отрезке рассмотрения, если же а — в А < 0, то 'решение может расти как е2|а-вЛ|*.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Дзекцер Е.С. Обобщение уравнения движения грунтовых вод со свободной поверхностью // ДАН СССР, 1972. Т. 202, № 5. C. 1031-1033.

2. Свиридюк Г.А. К общей теории полугрупп операторов // Успехи матем. наук, 1994. Т. 49, № 4. C. 47-74.

3. Свиридюк Г.А., Загребина С.А. Задача Шоуолтера-Сидорова как феномен уравнений соболевского типа // Известия Иркутского гос. ун-та. Серия «Математика», 2010. Т. 3, № 1. C. 104-125.

4. Умаров Х.Г. Явный вид решения уравнения движения грунтовых вод со свободной поверхностью / Чеченский гос. ун-т. - Грозный, 2010. - 26 с. - Деп. в ВИНИТИ 24.05.10 N304-B2010.

5. Крейн С.Г. Линейные дифференциальные уравнения в банаховом пространстве. М.: Наука, 1987. 464 с.

6. Трибель Х. Теория интерполяции, функциональные пространства, дифференциальные операторы. М.: Мир, 1980. 664 с.

7. Прудников А.П., Брычков Ю.А., Маричев О.И. Интегралы и ряды. Специальные функции. -М.: Наука, 1983. 752 с.

8. Хилле Э., Филлипс Р.С. Функциональный анализ и полугруппы. М.: ИЛ, 1962. 829 с.

Хасан Галсанович Умаров,

Чеченский государственный университет, ул. Шерипова, 32,

364907, г. Грозный, Россия E-mail: [email protected]