Явный вид решения смешанной задачи в анизотропном полупространстве для уравнения Баренблатта - Желтова - Кочиной Текст научной статьи по специальности «Химические технологии»

Владикавказский математический журнал 2013, Том 15, Выпуск 1, С. 51-64

УДК 517.958:532.546, 517.986.7

ЯВНЫЙ ВИД РЕШЕНИЯ СМЕШАННОЙ ЗАДАЧИ В АНИЗОТРОПНОМ ПОЛУПРОСТРАНСТВЕ ДЛЯ УРАВНЕНИЯ БАРЕНБЛАТТА - ЖЕЛТОВА - КОЧИНОЙ

Х. Г. Умаров

Посвящается А. Г. Кусраеву в связи с его юбилеем

Для модельного представления Баренблатта — Желтова — Кочиной фильтрации жидкости в трещиновато-пористой породе найден явный вид решения смешанной задачи в анизотропном полупространстве с ярко выраженной горизонтальной проницаемостью сведением рассматриваемой задачи фильтрации к исследованию абстрактной начально-краевой задачи в банаховом пространстве.

Ключевые слова: фильтрация жидкости, трещиновато-пористая порода, сильно непрерывная полугруппа операторов.

1. Введение

Основные положения и уравнения теории нестационарной фильтрации в трещиновато-пористых пластах сформулированы в работе Г. И. Баренблатта, Ю. П. Желтова и И. Н. Кочиной [1], а затем развиты многими авторами [2-4]. Исследование течения однородной слабосжимаемой жидкости в таких средах приводит [3, гл. 3, §4] к системе дифференциальных уравнений в частных производных

£ 257 (^) + «(Р—1) = 0, (1)

ы=1 7 ' I1)

Ь ^ + о^-Ы + ф2_р1) = о,

где а, Ь, с — положительные постоянные, зависящие от геометрических характеристик пласта и свойств фильтрующейся жидкости; кц — тензор проницаемости, определяемый структурой системы трещин; р» = р» (ж1 ,Х2,Хз,Ь), I = 1, 2, — искомые давления в трещинах и пористых блоках соответственно.

Для нефтяных пластов-коллекторов часто характерна анизотропия, связанная либо с естественной слоистостью осадочных пород, либо с развитой системой параллельных микротрещин, вызванных напряжениями в горной породе. Если анизотропия пласта связана с естественной слоистостью, то [3, с. 12-13]

кц = к22 = ко » к = кзз, кц = 0,1 = (2)

© 2013 Умаров Х. Г.

т. е. проницаемость ко вдоль слоев значительно больше, чем проницаемость к в перпендикулярном направлении, и поэтому направление фильтрационного потока в основном «горизонтальное» [5, с. 323].

В системе дифференциальных уравнений в частных производных (1) перейдем к традиционным обозначениям xi = x, x2 = y, x3 = z. Тогда в случае анизотропного пласта (2) система (1) перепишется в виде

dpi ко dAXtyp1 к d3pi ско Л , ck 02pi

1 - Ax,y pi + ■

дЬ аЬ дЬ аЬ дг2дЬ аЬ ' аЬ дг2 '

ко л к д2рх

Р2 = Рх--Ах,урх---—2 ,

ас 1 а дг2

где Ах>у = д2/дх2 + д2/ду2 — дифференциальный оператор Лапласа по переменным х, у.

Обозначая ио = ко/(аЬ), и = к/(аЬ), х0 = ско/(аЬ), х = ск/(аЬ) и пренебрегая в первом

уравнении системы изменением по времени фильтрационного потока в «вертикальном»

д3 р1

направлении, т. е. слагаемым и , выводим уравнение для определения давления в трещинах анизотропного коллектора (2):

дрх дАх,у Рх . д2 рх

Ж - - ХоАх>УРх = ■ (3)

В анизотропном трещиновато-пористом коллекторе (2) исследуем фильтрационный поток вблизи одной из границ пласта, например, подошвы, в течение достаточно малого промежутка времени, так что влияние других границ, составленных из охватывающих залежь непроницаемых горных пород, в том числе кровли, еще не сказалось или же несущественно. Тогда искомое распределение давления рх = рх (х,у,г,Ь) = и(х,у,г,Ь)

—з

в коллекторе — полупространстве Ж+ = {(х, у, г) : г ^ 0} будет определяться начальным значением давления в момент Ь = 0 вскрытия залежи:

р\\г=о = и\=о = р(х,у,г), (х, у, г) е Ж+, (4)

и краевым условием на границе пласта г = 0:

рх\г=о = и\=о = у(х,у,ь), (х,у) е ж2, ь е]о,т[, о <т < (5)

где число Т ограничивает временной промежуток рассмотрения процесса фильтрации. Начальное р и краевое у данные согласованы между собой: р(х,у, 0) = у(х,у, 0), (х,у) е ж2.

Решением смешанной задачи Коши (3)—(5) будем называть функцию и(х,у,г,Ь),

_з

непрерывную при (х,у,г) е Ж+, Ь е [0,Т[, для которой входящие в уравнение частные и смешанные производные непрерывны в области (х,у,г) е Ж + = {(х,у,г) : г> 0}, Ь е ]0,Т [; и(х,у,г,Ь) удовлетворяет уравнению (3) при (х,у,г) е Ж+, Ь е }0,Т [, и для нее выполнены начальное (4) и краевое (5) условия.

Функции и = и(х,у, г,Ь), р = р(х,у,г) и у = у(х,у,Ь) для всех значений «параметров» (г, Ь) : г,Ь ^ 0 по «пространственным» переменным (х, у) е Ж2 будем предполагать принадлежащими банахову пространству Ь»(Ж2), 1 ^ р < функций / = /(х, у) с интегрируемой по

Ж2

р-ой степенью абсолютной величины, норма которого определяется формулой ||/\\Ьр (К2 ) = (ЦШ2 \/(х,у)\» (Iх (1у) 1/Р .

В банаховом пространстве ЬР(Ж2), 1 ^ р < оператор Лапласа Аху = А с областью определения О (А) = {/ е ЬР(Ж2): обобщенная производная А/ е Ьр (Ж2)} является

производящим оператором сжимающей сильно непрерывной, более того, аналитической полугруппы и(*; А) класса Со [6, с. 261], [7, с. 58], представляющейся сингулярным интегралом

(ж - £)2 + (у - п)21

и (*;А)/(ж,у) = 4Л^|у ехр

4*

/ (е,п) (6)

(А/ - А)"п/(ж, у) = I ехр(-А*) Г-1 и(*; А) /(ж, у) п = 1,2,... (8)

Положительная полуось принадлежит [6, п. 1.1.2] резольвентному множеству оператора Лапласа и для резольвенты (А/ - А)-1, где / — тождественный оператор, справедлива оценка

||(А/ - А)-1/(ж,у)||мк2) < А II/(х,У)Уьр), А > 0, /(ж,у) £ £Р(М2), (7) и представление степеней [8, с. 664]

1

(п -1)!

о

Введем в рассмотрение два линейных оператора, действующих в банаховом пространстве £Р(М2):

В = х-1(/ - ШоА), Я(В) = ДА),

и

А = хош"1 [/ - (/ - шА)-1], ДА) = £Р(М2). Тогда уравнение (3) перепишется в виде абстрактного дифференциального уравнения, не разрешенного относительно производной по времени:

В(и + Аи) = и^, (ж, у, г) £ Ж+, * £ ]0,Т[. (9)

Оператор -В является производящим оператором сильно непрерывной полугруппы и(*; -В), * ^ 0, класса Со, которая представляется в виде

и(*; -В) = ехр ^ - Х)^^ ' (1°)

Так как полугруппа, порождаемая оператором Лапласа, является сжимающей, то тип полугруппы и(*; -В) не более -1/х, т. е. норма и(*; -В) экспоненциально убывает: ||и(*; -В) || < ехр(-*/х), * ^ 0.

Ограниченный оператор -А порождает сильно непрерывную полугруппу, более того, группу, класса Со, определяемую степенным рядом и(*; -А) = ^ ( к * А*, который абсолютно сходится равномерно по * в любом конечном интервале положительной полуоси. Для полугруппы и(*; -А) справедливо представление

и(*; -А) = ехр ( - ^ Л и (/ - шоА)"Л = ехр ( - Л £ (/ - шоА)"*,

\ ^^ \шо у V к!

откуда, используя (7), получаем ||и(*; -А)|| ^ ехр ( - Х0 * + Х0 * ||(/ - шоА) ||) ^ 1, т. е. полугруппа и(*; - А) является сжимающей, а, используя (8), для любого элемента / из £р(М2) выводим представление

___ -

ехр(-в) йз

и(*;-А)/ = ехр( - Хо * Шо

где /1(в) = ^+=о к!(*1+1)! (в/2)2к+1 — модифицированная функция Бесселя.

Из формул (10), (11) следует перестановочность полугрупп и(■; —В) и и(■; — А). Таким образом, рассматриваемая задача фильтрации может быть сведена к решению начально-краевой задачи (4), (5) для дифференциального уравнения (9) в банаховом пространстве ЬР(Ж2), 1 ^ р <

В статье решается начально-краевая задача для дифференциального уравнения, обобщающего (9) в произвольном банаховом пространстве. Затем, конкретизируя банахово пространство и действующие в нем операторы — коэффициенты уравнения, из решения и абстрактной смешанной задачи и оценки нормы \\и\\ получается решение р\ рассматриваемой анизотропной задачи фильтрации и его оценка.

2. Постановка абстрактной смешанной задачи

В банаховом пространстве Е рассмотрим однородное дифференциальное уравнение с постоянными операторными коэффициентами1

В(щ + Аи) = ихх, г € = {г> 0}, Ь € ]0,Т[, (12)

где операторы —В, —А являются производящими операторами коммутирующих сильно непрерывных полугрупп класса Со, причем тип полугруппы и(т; —В) отрицательный: \\и(т; —В)\\ < Мехр(—вт), в> 0; \\и(т; —А)\\ < Nехр(ат), т ^ 0.

Решение уравнения (12) ищется непрерывным при (г,Ь) € М+ х [0,Т[= {г ^ 0} х [0,Т[ и непрерывно дифференцируемым при (г,Ь) € М+ х]0,Т[ по переменной Ь один раз, а по переменной г два раза. Кроме того, предполагается, что значения решения и принадлежат области определения О (А) оператора А, причем функция и ^ + Аи принимает значения из множества О (В).

Смешанной задачей для уравнения (12) будем считать, как и в классическом случае, задачу нахождения решения, удовлетворяющего соответственно начальному и граничному условиям

и\=0 = ф), г € Ё+, (13)

и\= = у(1), Ь € [0,Т[, (14)

где р(г), у(Ь) — заданные функции со значениями в банаховом пространстве Е, для которых выполнено естественное условие согласования ^>(0) = у(0).

3. Фундаментальное оператор-решение

Фундаментальным оператор-решением абстрактного дифференциального уравнения (12) назовем операторнозначную функцию

С((,т; г,Ь) =

1

V — т)

и (Ь — т; —А)

и\ М; —^ — и(М; —В

4(Ь — т У

4(Ь — т)'

В1/2, (15)

где (, г € М+, 0 ^ т < Ь, а положительная дробная степень оператора В определяется по формуле [10, с. 358]

В " е =

Г—)

У [и(-; —В) е — е] , 0 <и< 1, е € Б (В).

(16)

1 Неоднородное уравнение рассмотрено в [9].

1

Непосредственно из определения (15) следует: (I) оценка нормы

^п/ М(М + 1)^||В1/2е||

|С(С,т; ^ ---ехр

2^/- т)

- т) - в

(г - С)2

4(* - т)]

е £ ДВ1/2);

(II) С((,т; г,*)е ^ 0, е £ ДВ1/2), при т = г или ( ^ 0; или ( = г, т ^ * - 0;

(III) представление

С(С, т; г, *)е = и~ т;-А) и (; / и(5; -В)В3/2е

V- т) \4(* - т)

для элементов е £ Я(В 3/2) и оценка нормы

||С(С,т; М)е|| /

МЖ ||В 3/2 е|| - т)

1 - ехр I - в

* — т

ехр

- т) - в

(г - С)2 4(* - т)

; (17)

(IV) функция д = С(С,т; г,*)е, где е £ Е = ДА) П ДВ1/2А) П ДВ5/2), по переменным (£, т) удовлетворяет уравнению В (^ - Ад) + =0, а по переменным (г, ¿) — уравнению (12); при этом справедлива оценка нормы частной производной

дд д(

МЖ ||В3/2е|| 4-П(* - т)3/2

|г - С | + М |г + (| ехр - в

*С

* — т

ехр

- т) - в

(г - С)2 4(* - т) ]

(18)

(V) для всех элементов е £ Е выполняется равенство

*2//(*-т)]

В1/2 / С(С,т; М)В-1/2е^ = —= и(* - т;-А)В1/2 / и(в; -В) е-5 ] ] V5

(19)

откуда в силу формулы [11, с. 297] для отрицательных дробных степеней оператора В

В =

Г(*)

J в^-1 и (в; -В) ¿в, 0,

(2°)

вытекает предельное соотношение

11ш В1/2 / С((,т; г,*)В-1/2= е. т^í"о }

(21)

1

4. Теоремы существования и единственности решения

Сначала рассмотрим теорему единственности.

Теорема 1. Пусть решение и(г,*) смешанной задачи (12)-(14) удовлетворяет условиям ||и(г, || / А(*) ехр(^2), (г, £ Ж+ х [0, Т[; |||| / ^ТТГ ехр(^2) + ^, 2 < 6 < 1,

(г, г) € М+х]0,Т[, 0 < ц < 4Т, где Х(Ь), Х^Ь), Ь € [0,Т[, - непрерывные функции. Тогда в каждой точке (г, Ь) € М+х]0, Т[ имеет место формула

'(г-Ь)=ши №—А)В 1/21

Щ ; —^ — и(Ш+Ж: —В

4Ь

4Ь

Ф) <к

В1/2 ! и(Ь — т; —А) и(; —в)»(т) ^

(22)

А(1 — т)

(Ь — т )3/2'

< Пусть (г,Ь) — произвольная фиксированная точка из полуполосы Ж+х]0, Т[ на плоскости ((,т), а в — достаточно большое число: в > тах{г, 1/г, 1/Ь}. Внутри полуполосы выделим прямоугольник {(С,т) : 1/в ^ ( ^ в, 1/в ^ т ^ Ь — 1/в} и рассмотрим в нем тождество

' д2С((, т; г,Ь)

д(2

+ В

дС(С,т; г,Ь) дт

С(С,т; г, Ь)В-5/2 { ^^ — В

— АС((,т; г,Ь) ди((,т)

|в-5/2и((,т)

дт

+ Аи((,т)

(23)

= 0,

где 0(г,1; (,т) — фундаментальное оператор-решение (15).

Проинтегрируем обе части тождества (23) по выделенному прямоугольнику, предварительно представив левую часть (23) в виде дивергенции. Тогда получим

г-1/в

1/8

Ос(в, т; г, Ь)В-3/2и(в, т) — С(в, т; г, Ь)В-3/2ис(в, т)

(1т

г-1/8

+ У ,т; г,^В-3/2и^в,^) (т +/С^Ь — 1; г,^В-1/2и^^,Ь — ^ (( (24)

1/8 1/8

8 ^1/8

= ! в; г, ^ В-1/2и(с, ^ (( + I «с(в,т; г,Лв-3/2и(\,т\(т.

1/8

1/8

Используя неравенства (18), (17), оценим первый интеграл (обозначив его 31) из левой части (24):

<

М (М + 1)N х ехр ( а(Ь — т) — в

г-1/8

1/8

(г — в)2\ (т

М в + М^)ехр ^ + ||В-11| ™

^ — ту < М(М + тах^ехр^)}

х < -— тах | 4Т т€[о,*|

Х(т) + М^Г1

в

ехр

М

+ —тах $(т) ехр — в

ввй т6[0^| 1

(г — в)2

4Т

8

б'

Аналогично, используя (17) и очевидное неравенство 1 - ехр(-у) / у, у ^ 0, и обозначая V = тах{1/2; 6}, оценим норму второго интеграла /2 из левой части (24):

МЖг Г ( (г - 1/в)^ [т-1/2А1 (т)ехр^2) + в5#(т)] ^т

||/21 / т;—^ ехр - т) - в- 1

2s^n

1/s

4(t - т)

(t - т)3/2

MNzmax{1; exp(at)} [Л , . , 2. „, /" / „ (z — 1/s)2 \ , ^- i ' ^ >' max Ai (т) exp(qs2) + #(тЯ exp - ß ^--!—>- r dr.

s1 Vп T6[o,ip J \ 4 J

iM

Из полученных оценок норм интегралов Ji, J2 следует, что Ji, J2 ^ 0 при s ^ Далее, используя формулы (19)-(21), покажем, что

s

lim J3 = lim - i; z,nß-1/24(,t - ^J dZ = B-1/2u(z,t).

s^+те s^+те J у S / \ s/

1/s

Действительно, для любого сколь угодно малого числа е > 0 имеем II J3 - B-1/2u(z,t)|| =

+

sz2 /4

U ^S; B-1/2u(z, t) - B-1/2u(z, t)

/4

ufi; -Л _L f U(r; -B)u(z,t) - B-1/2u(z,t)

\S / Vn J Vr

dz

1/s

1

s

1/s r r

+ /

J 0 J s

Z, t--) - u(z, t)

J+J W^t- i;z,^B-1/2u(z,t)dZ

os

<

u(s;-А) -1

B-1/2 u(z,t)

MN w . / a 2 \ / . „ . dr

+--pr A(t)exp—+ qz exp(-ßr) —

\/п Vs /,/

MN

п

exp (a | < 2, П max u(

ЬЛ Vß KK V

+A(t - s) exp(

+ exp

ß

/ + / (exp

2qz

sz2/4

< 2 „ 1А , ,

u( z - Z, t--J - u(z, t)

a 4 . 2qz

ß — qZ -

(УЙ^z+z+ж-с)

s qZ + Vßs - 4qz + -

s ßs - 4q

X| / + f + J + / IX

4s0 v^(s-z)/2

2 n

s л/ßs - 4q

dZ + A(t) exp(qz2)

v "u V 0 W "V/" + \ \

J + J +J+ J jx{ exp(qZ2) + exp [ - ß (z^ + Z )2]} d^ < е

— гул _ЛЛ ^^^^ /Ti /0 / X

для всех достаточно больших чисел s0, s: s0 < s.

2

В интегралах из правой части (24) можно переходить к пределу при в ^

limj ф1; В-^(с,

_ TT ( + ; — A

lim

J

1/s

f

A) u

J 0 L

(z - Z )2 - B\-U( ((Z+ZLВ

4t

4t

V(Z)dZ,

2,/П

ä / К1,T; z,')B-1/2ud >T)dZ

1/s

t

Ju(t - T;-A) U^jt-T). -B)»(T) dT

(t - t)3/2'

Отметим, что в последнем случае подынтегральная функция при Ь = т особенностей не имеет, более того, обращается в нуль.

Таким образом, переходя в (24) к пределу при в ^ получим

/(г-/-)'2 \ /(у + г)'2 \

Ф) (К

В-1/2и(^=ши (t;-A)!

U\ ; -в) - u( (J+ZZ; -В

4t

+

Vn

t

ju (t - t ;-A) u( w-T); -b)^(T )

4t

dT

(t - t)3/2 '

откуда и следует формула (22). >

Теорема 2. Пусть значения начального данного <p(z) и краевого условия y(t) принадлежат множеству E и справедливы оценки норм непрерывных функций \\AB 1/2<p(z) ||, \\B5/2ф)\\ < Kexp(hz2), K = const, z £ R+, 0 < h< 4T; \\AB1/2y(t)\\, \\B5/2y(t)\\ < X(t), t £ [0, T[, где X(t) — непрерывная функция. Тогда решение u(z, t) смешанной задачи (12)—(14) в каждой точке (z,t) £ R+x]0, T[ дается формулой (22) и для него справедлива оценка нормы

M 3 Nat

\u(z,t)W < ß2

Xt (M + lt)K ( ßh 2 +--^ i i ^ exp I —-тг^ z2

(25)

_2^ß Vß - 4hT ' \ß - 4hT где at = max{1; exp(at)}, Xt = maxT6[0,i] X(t).

< Покажем, что норма функции u(z,t), определяемой формулой (22), удовлетворяет оценке (25). Имеем

,(z - СГ

Wu(z,t)W < MN i

p /

/ X(t) exp a(t -

J 0 \

В-

Vi

exp hZ2 - ß-

4t

dZ

dT

M 3 Nat

4(t - t)J(t - t)3/2 ß2 jn

<

(M + 1)Kexp (hz2

x J exp

—oo

- (ß - 4hT)r2 + 4zhVTr

dr + zXt J exp ( - ßz2s2) ds 0

s

Откуда, используя значения табличных интегралов в правой части последнего неравенства, получим (25).

Проверим, что функция (22) удовлетворяет уравнению (12). Для этого в силу свойства (IV) фундаментального оператор-решения достаточно показать, что частные производные функции и (г, можно вычислять при помощи дифференцирования под знаком интеграла. А это следует из следующих трех оценок норм частных производных:

1)

и(*; -А)

2^

г + СиГ (г:!«!„( (£-<22 ^ в

2*

+

У и- т; -А)и

4(* - т)

4*

; -в

2*

4*

в 3/2<ж к

В1/2^(т) -

2(* - т)

В 3/2 ^(т)

йт

- т)3/2

/ ^* ^ — I ехр(Л(2) й(

(г+/)2/(4*) 2 / М

(26)

I *

о

(г- )2 / (4*)

\2в -в

+ у/5 ) ехр(вв) йв

+ МА / (М + г2 ^

в в 2т

о

)ехр(- в 4т)

г2\ йт

3/2

В первом слагаемом из фигурной скобки в правой части неравенства (26) поменяем порядок интегрирования и оценим внутренний интеграл; во втором — выполним замену т = г2/(4в) и увеличим отрезок интегрирования до полуоси:

|и*|| /

МЖаЛ 2МА* / /М

-П I У

о

К / /М

+^У и+2в| ехр

о

У (М +2^ ехр(-вв)

Л(г + 2-5т)2 - вв

йв -в

йв

Используя неравенства

J ехр(-ав2 + 26в) йв /

2т ехр(Ь2/а) а(т+1)/2

Г +

2 \ т/2-

где а > 0, т — натуральное число, получаем

4К

|иг|| / МЖа*

+

8

1 +

дЛ*(в - 4ЛТ)

8г2 Л2Т I —

М

7

(1 + 2гЛУЛгТ)

в - 4ЛТ V в - 4ЛТ V в - 4ЛТ

ехр

в^г2

в - 4ЛТ

+

2М (М + 1)А*

2)

||и* + Аи|| =

и(¡;-А) У

и, ^в^-иГ(£±с)!в

4*

4*

в 1/2<ж) й(

и

г

2

2

г

г

1

8>/п«2

и(*;-А) у

(г - С)2и

(г - С)2

4*

-В - (г + ()2и

(г + С )2

4*

В

в 3/2<ж) й(

+

^ /и ((- т;-А) и ( 4СТ-7);-В)В 3/2 м(т) ^

йт 5/2

о

3г

4—П

I и- т;-А) и(^^; -в)в1/2^т)

4(* - т):

< 3М2(М + 1)Жа*А* + 8МЖК

(* - т)

2в7/2

3М/ 1 4Л2Тг2 \ х < —| - + --— \ +

1

в \2 в - 4ЛТУ в - 4ЛТ

3 +

*(в - 4ЛТ)3/2 64 Л4 Т2г4

(в - 4ЛТ)2

ехр а +

вЛг2

в - 4ЛТ

3) Частично используя оценки из пункта 2), имеем

....., „ Х|| МЖК I ехр (аЬ) I ^

|игг|| = ||В(и* + Аи)|| ¡-ъ I ехр(Л(2) й(

(г+/)2/(4*)

ехр(-вв) йв

+ ехр

-г/(2 ■)

гМЖа* А*

- вг2 + Л(г + 2г^)

о

г2 йг J ехр

г/(2 V*)

(г-С)2/(4*)

- вг2 + Л(2глА - г*)2

г2 йг

<

5МЖК

г2 г2 йт 3М

тУехч- в +— /ехр

оо

Ы - в£)

г2 йт

8Л2Тг2 \

*(в - 4ЛТ)3/2 ^ + ехрГ +

вЛг

2

+

т5/2

3М (М + 1)Жа* А*

г2в5/2

Осталось показать, что функция (22) удовлетворяет начальному (13) и краевому (14) условиям. Обозначим через и^(г,*) и им(г,*) соответственно первое и второе слагаемые в формуле (22): и(г,*) = и^(г,*) + им(г,*). Выполнение начального условия (13) следует из следующих оценок: ||им(г, *) | < а*А* /г+д4*) ехр(-вв)^ и (используем формулу (19))

|и^(г,- <р(г)|| =

+ и (*;-А)

г2/(4*)

+

и (*;-А) 2—

и(*; -А)р(г) - р(г) —= / и (в; -В )В1/2 ^(г) — - р(г)

В1/2) - В 1/2^(г) й(

^ ^ ; - ^ ; -В

< ||и(*;-А)р(г) - ^>(г) || +

и (*;-А) —п I и (в; -В )В1/2 <^(г)

г2/(4*)

йв —з

1

г

+

1

—п

и (Ь; —А) !

и (г2; —В) — и г + — ; —В

—г/{2уД)

уД

Вх/2 \р(г + 2г\Д) — <р(г)

(г

Первые два слагаемых в правой части последнего неравенства стремятся к нулю при Ь ^ 0+, т. е. являются бесконечно малыми величинами о(Ь) при Ь ^ 0+. Таким образом, для всех достаточно малых Ь > 0 и любого г € М+, разбивая область интегрирования на части и оценивая подынтегральные функции, имеем

\и(г, Ь) — р(г)\\ ^ \\и^(г, ^У + \\и^(г, Ь) — ф)\\

< о(Ь) +

М3 (М + 1)Nat

J ехр ( — вг2) В1/2р(г + 2гуД) — В1/2ф)

< о(Ь) +

—г/{2уД)

М3(М + П

(г у/т

в 2,/п

тах

в кКгс

В1/2 ф + 2г—) — В1/2ф)

— го

+2К(г + 2гуД )ехр(Нг2 И + ехр — (в — 4НТ) г2 + 4кфТ 1г1

(г\ <£,

го

где £ — сколь угодно малое, а го — достаточно большое положительные числа.

Выполнение краевого условия (14) следует из того, что функции и^(г, Ь) и и^ (г, Ь) — у(Ь) стремятся к нулю при г ^ 0+. Действительно,

<

\\и<р(г, г)\\ =

М 2 NKat в —пЬ

1

2у/Л1

и (Ь ; —А) I I и (в; —В)В3/2 ф) (в

0 {г—С)2/{41)

- /р X '

{2уД +г V«ехр [ — (в — 4НТ)в + 4Нгл/Тв](в

0 г2/{М)

и для всех достаточно малых г > 0 и любого €]0, Т[

\и(г, г) — ф\\ < \\и1р(г, г)\\ +

г/(2^1)

+

г/{2^Д)

и[ а^2 ; —А] —1

и (в2; —В) В1/2 ф (в

и (в2; —В) В1/2 ф (в

+

п

/ и(¿2; —А)и(в2; —в)

в1/2Л Ь — ¿И — в 1/2 ф

(в

г/{2уД)

Первые два слагаемых в правой части неравенства представляют собой бесконечно малую величину о(Ь) при г ^ 0+, а в остальных интегралах разбиваем область интегриро-

2

х

2

вания на части и оцениваем подынтегральные функции

l/so

(z, i) - ^(i)|| < o(i) + 2max{N +71+ 1} ||B 1/2^(i) || / exp ( - es2) ds

Vn J

0

+ — max

в sg[l/so,so]

И ¿2; -¿)b1/2mi) - B1/2^(i)

+

Vn

z

N exp ( ais2' +1

M3N f / l/So B 1/2M(i)|| У exp ( - es2) ds + Mp"- aM AM / + / ) exP ( - es2) ds

so ^ ^ 0 so '

+ — max в s6[1/so,so]

B3/2/x(i - ¿) - B3/2M(i)

< e,

где е — сколь угодно малое, а во — достаточно большое положительные числа. >

5. Оценка и явный вид решения анизотропной задачи фильтрации

Для того чтобы из формулы (22) решения абстрактной краевой задачи (12)-(14) вывести явный вид решения первой краевой задачи (3)-(5), кроме представлений (10), (11) полугрупп, порождаемых операторами -В, -А, необходимо иметь представление дробной степени оператора В. Используя формулу (16), при /(ж, у) £ ДДху) имеем

B1/2 f (»•») = 27? J

f (x, y) - exp ( - - ^ Ь0 Т; Дж,у ) f (ж, y)

X

V X

dT

T3/2 •

(27)

Пусть для Ко = const, z ^ 0, i £ [0, T[, m = 0, 3, выполнены условия

Mx,y,z)||Lp(R2) < K0 exP , |AmmyM(x,y,i)|Lp(R2) < A0(i), (28)

дга v

где положительная постоянная Л удовлетворяет неравенству 4ЛТ% < 1, и А о (*) — непрерывная функция. Тогда выполнены условия теоремы 2, например, с постоянной К = Х0Х +(3+а,°) К0 и непрерывной функцией А(*) = х°х +(1+а,°) А0 (*), и значит по формуле (22) можно выписать решение и(ж, у, г,*) задачи (3)-(5), для которого справедлива оценка

u

(x,y,z,i)||Lp(R2) < [X0X2 + (1 + ^0)3]

max A(i) +--. exp

т6[0,t] V1 - 4hix

hz2 \

1 - 4hixJ

• (29)

Чтобы компактнее записать реализацию формулы (22) в рассматриваемом случае, введем обозначения параметрического множества точек Рр на плоскости (ж, у):

Р = (ж,у) + 2(£,п)^+ , Рс° = Рс|я=о, Р0 = Рс|г=о, Р0° = Р|з=0,г=0

и вспомогательные функции

Ф(Рехр(-£2 - п2) , г) й£йп

+

__

yji J exp(-s2) 2s i^ds^y exp(-£2 - n2) ,z) d£dn

u

2

x

+

Ъ(Р-с,г,т) = Ц ехр—2 — п2) цр,г — т) (-(п

ж2

_ _

—Г^Ь*/ ехр(—в2) ^^ву/^^) (в Ц ехр(—-2 — П2) — т) (-(п,

где £ = г/(2у/т). Через Ф(ро,г,Ь) и ,г,т) обозначим функции, получающиеся

из Ф(Р^,г,Ь) и ) заменой координат на соответствующие координаты точ-

0.

ки . Тогда из соотношения (22), записанного в виде

и(х, у, г, Ь) = —= В1/2

I и (Ь; —А) и (С2; —В) <р(х,у,г + 2С,—)

—г/{2уД)

У и (Ь; —А) и (С2; —В) <р(х, у, —г + 2С,—) (С

г/{2лД)

г 2

+ и (г — т; —А) и( ^ г— т); —В^у(х,у,т) (т 0

используя представления (10), (11) и (27), выводим формулу для определения давления жидкости в трещинах пласта:

J ехр ^ — (С

—г/{2^)

-?Ф(ро,г + 2С—, г) — ехр ( — ^Ш^г + 2(—г, г) +Т ( \

х у—--^^-(г — У ех^ — х)(К

0 г/{2^) (30)

-?Ф(ро, —г + 2( —г, г) — ехр ( — г) Ф(РС, —г + 2( —, г) )

х у --(г\

о '

г } хот г2 \ (т Г *(Р°Гг,т) — ехр ( — х)Ъ(рг,г,т)

ехр . . _3/2 ..3/2 (т-

4п2 У \ ш0 4тх/ т3/2 У г3/2

о о

Таким образом, имеет место

Теорема 3. Пусть выполнены условия (28). Тогда единственное решение начально-краевой задачи (3)-(5) — давление р1 (х,у,г, Ь) в трещинах анизотропного коллектора (2) — дается в явном виде формулой (30) и для него справедлива оценка (29).

Литература

1. Баренблатт Г. И., Желтов Ю. П., Кочина И. Н. Об основных представлениях теории фильтрации однородных жидкостей в трещиноватых породах // Прикладная матеатика и механика.—1960.— Т. 24, вып. 5.—С. 852-864.

2. Развитие исследований по теории фильтрации в СССР (1917-1967) / Отв. ред. П. Я. Кочина.—М.: Наука, 1969.—546 с.

3. Баренблатт Г. И., Ентов В. М., Рыжик В. М. Движение жидкостей и газов в природных пластах.— М.: Недра, 1984.—211 с.

4. Басниев К. С., Кочина И. Н., Максимов В. М. Подземная гидромеханика.—М.: Недра, 1993.—416 с.

5. Полубаринова-Кочина П. Я. Теория движения грунтовых вод.—М.: Наука, 1977.—664 с.

6. Butzer R. Z., Berens H. Semi-Groups of Operators and Approximation.—Berlin: Springer, 1967.—318 p.

7. Крейн С. Г. Линейные дифференциальные уравнения в банаховом пространстве.—М.: Наука, 1967.—464 с.

8. Данфорд Н., Шварц Дж. Т. Линейные операторы. Общая теория.—М.: Изд-во иностр. лит., 1962.—896 с.

9. Умаров Х. Г. Смешанная задача в банаховом пространстве для аналога уравнения диффузии, не разрешенного относительно производной по времени // Изв. вузов. Математика.—1992.—№ 4.— С. 100-103.

10. Иосида К. Функциональный анализ.—М.: Мир, 1967.—624 с.

11. Красносельский М. А., Забрейко П. П., Пустыльник Е. И., Соболевский П. Е. Интегральные операторы в пространствах суммируемых функций.—М.: Наука, 1966.—500 с.

Статья поступила 29 июня 2011 г.

УМАРОВ ХАСАН ГАЛСАНОВИЧ Чеченский государственный университет, доцент кафедры дифференциальных уравнений РОССИЯ, 364907, г. Грозный, ул. Шерипова, 32 E-mail: [email protected]

EXPLICIT SOLUTION OF THE MIXED PROBLEM IN AN ANISOTROPIC HALF-SPACE FOR THE BARENBLATT-ZHELTOV-KOCHINA EQUATION

Umarov Kh. G.

For the Barenblatt-Zheltov-Kochina model of filtering liquids in fissured rocks an explicit solution of the mixed problem in anisotropic half-space with pronounced horizontal permeability is found by reduction to some abstract mixed problem in Banach space.

Key words: filtering liquid, fissured rock, strongly continuous semi-group of operators.