Явный вид решения линейного уравнения квазистационарных процессов в полупроводниках Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.95+517.986.7

ЯВНЫЙ ВИД РЕШЕНИЯ ЛИНЕЙНОГО УРАВНЕНИЯ КВАЗИСТАЦИОНАРНЫХ ПРОЦЕССОВ В ПОЛУПРОВОДНИКАХ

© 2012 г. Х.Г. Умаров

Чеченский государственный университет, Chechen State University,

ул. Шерипова, 32, г. Грозный, Чеченская Республика, 364907, Sheripov St., 32, Grozny, Chechen Republic, 364907,

[email protected] mail@ chesu.ru

Для псевдопараболического линейного дифференциального уравнения в частных производных соболевского типа, моделирующего квазистационарные процессы в полупроводниках, получен явный вид решения задачи Коши сведением её к решению абстрактной задачи Коши в банаховом пространстве. Установлено, что по временной переменной решение задачи Коши удовлетворяет полугрупповому свойству и бесконечно дифференцируемо. Из полученной оценки следует непрерывная зависимость решения от начального данного на любом конечном временном отрезке, а из формулы для решения задачи Коши — возможность «восстановления прошлого», а именно возможность по начальному данному определить потенциал электрического поля в момент «отрицательного» времени.

Ключевые слова: квазистационарные процессы в полупроводниках, сильно непрерывные полугруппы операторов.

For the pseudo-parabolic Sobolev type linear differential equation in partial derivatives, modelling quasi-stationary processes in semiconductors, has received the explicit solution of Cauchy problem by solution of abstract Cauchy problem in Banach space. It is established that by time variable the Cauchy problem solution satisfies the semigroup property and is infinitely differentiable. The received estimation of Cauchy problem solution results in continuous dependence of the solution on initial data on any finite time segment, and the formula for Cauchy problem solution results in a possibility of «past restoration» — the possibility on initial data to define a potential of electric field at the moment of «negative» time.

Keywords: quasi-stationary processes in semiconductor, strongly continuous semi groups of operators.

Рассмотрим в области (х, у, г) е Я3, 0 </ <Т <+х, линейное дифференциальное уравнение в частных производных, описывающее квазистационарные процессы в полупроводниках [1, с. 635],

(Ди - и)+аДи +Ри = 0 . (1)

В (1) и = и(х, у, г,/) - искомая функция, характеризующая потенциал электрического поля; Д = д2/дх2 + д2/ду2 + д2/дг2 - дифференциальный оператор Лапласа; а - неотрицательный, ар - произвольный действительный параметр.

В [1] для уравнения (1) исследуется задача Коши и начально-краевая задача Дирихле в ограниченной области через динамические потенциалы простого и двойного слоя. Наша цель - получить для уравнения

(1) явный вид решения задачи Коши в Я3 (явный вид решения задачи Коши, первой начально-краевой задачи в полупространстве и смешанной задачи в пространственном слое в предположении анизотропии среды получен в [2]).

Будем предполагать, что

и\{=0 =Ф(x, У, 2)> (2)

и искомое решение и = и(х, у, 2, /) уравнения (1) для Здесь ф = (1-Д)ср(х, у, 2) - элемент пространства всех значений параметра - временной переменной / е [0,Г], по пространственным переменным

(х, у, 2) е Я3 принадлежат банахову пространству

L„ R

LpR3), 1 <p <+œ .

В L p (r3 ) оператор Лапласа с областью определения d(a) = {y е Lp (r3 ): Ay e Lp (fi3 )j является производящим оператором сжимающей сильно непрерывной полугруппы U(t;A) класса C0 [3, с. 228; 4, с. 58]:

U(t; A)y(x, * z )=-(¿p х

х ш е-И)2+(z-;)2 K4t cj^d;, (3)

r3

причем область определения оператора Лапласа является пространством Соболева. d(a)= Wp (r3 ); положительная полуось X > 0 принадлежит его резольвентному множеству, при этом выполняется оценка

нормы

(XI-Д)"

,-1.

М\

"Lp R

(r3 ):

"Lp R

(r3 ).

X

для степеней резольвенты справедливо представление (к = 1,2,...)

(XI - Д)-к =1Г^г 1 sk-1е~ХиД^ . (4) (к -1)! 0

Наличие в точке X > 0 резольвенты

(XI-Д)-1 позволяет существенно преобразовать уравнение (1), разрешив его относительно производной по времени и представив в виде уравнения параболического типа. Именно произведя замену

= (i — д)

-1

(5)

получим уравнение = ад(1 - д)-1у + р(1 - д)-1у .

Линейный оператор (1-Д)-1Д = Д(1-Д)-1 определен на функциях у из Ьр (я3), для которых существует обобщенная производная ду; его можно продолжить по непрерывности до ограниченного оператора -1 + (I - д)-1 , определенного на всем простран-

стве L

.R3 ).

Уравнение, полученное в результате замены (5), сводится к абстрактному обыкновенному дифференциальному уравнению 1-го порядка в банаховом пространстве Lp (fi3 ):

vt = Av, (6)

где v = v(t) : t ^ v(x, y, z, t) - искомая функция, определенная на отрезке [0,Г] со значениями в Lp (fi3 );

A = (a + p)(l-A)_1 -al, d(a) = Lp (fi3 ). Начальное условие (2) для уравнения (6) перепишется в виде

Vt=0 =Ф • (7)

Задача Коши для дифференциального уравнения (6) с ограниченным по норме операторным коэффициентом ||А|| < 2а + |р| разрешима [3, с. 64] при любом

начальном условии ф из Ьр (я3). Решение дается

Í \ tk и

формулой v = U (t; А)ф = 2 —A ф, в которой ряд

k=0 k!

сходится по норме пространства Lp (fi3 ):

Nkfi')<SÍ лЛ À

Ak ФП /,ч< e

lp r3 )

'Lp R

(r3 ).

Для сильно непрерывной полугруппы (фактически группы) и (/; А) имеет место представление

и (/; А) = е~а'и ((а + р>; (I - Д)-1)=

= e

-at +£ (a + pft

k=0

k

k!

-(I—Д)"

—k

-a+(a+|p|> = e| p t

и оценка нормы ||U (t; A) < e

Поэтому для решения задачи Коши (6), (7) спра-

ведлива оценка v

Lp (r3 )<

< e

11Lp R

(r3 ).

Производя обратную замену и используя перестановочность резольвенты (XI - Д) 1 с полугруппой и (/; А), находим решение исходного уравнения квазистационарных процессов в полупроводниках: и = (I - Д)-1 и (/; А)^ - д)рр(х, у, 2) = = и (/; А)р(х, у, 2 ) =

= e-at +£|a + k=0

и его оценку

(a + p)ktk

k!

(i - Д) ф(х, z )

(8)

\4lp(r3)< \\U(t; аиф11 Lp(r3)< e p|t||ф||Lp(«3). (9)

-k

Применяя (4) для степеней резольвенты (I - Д) продолжим представление (8) решения уравнение (1): 1) если а + р > 0, то

u(x, у, z, t ) = e

Ф(х, у, z )+ £

(a + p)kt k^i (k - l)!k!

J sk-1e~sU(s; Д)ф(х, у, z)ds

о

-al

[ф(х,у,z)^(a + p)t :

= e |ф|х, у, z )^/|a + p)t x

x J e sI1 (^V(a + p)st)u(s; Д)ф(х, у, z о ~

(z/ 2)

2k+1

где j=¿W+ï)

ция Бесселя [5, с. 729];

2) если а + p < 0, то u(x, y, z,t) =

- модифицированная функ-

x

x

I-

ф(х, y, z)^|a + ß|/ J е" 0

-\2k+1

+-(ri)^a+ß0lг!(л)( )ds

х 2 -ттт;—77^-U(s; дфх, y, z)-

k=0

k!(k +1)!

Ts

= е atф(х, y, z

ф(x, y, z )-Vla + ßl t

х J е sJ1 (2y |a +

0

ß st )U (s; Д)ф(х, y, z)

•Js

L +»(- l)k (z/2)2

\2k+1

- функция Бесселя [5,

где ^ с. 727].

Решение (8) уравнения (1) можно записать в виде

м(х, у, г, г) = е~а1 ф(х, у, 2) + + р|г х

/А1

х | е-^^ (а, р, 5,1(5; Д)ф(х, у, г

где G l1 (aß st) = Ч (a + ß)st) f^ a + ß ^0 J1V 'F' ' ; [- J1(2^|a + ßst) aneC a + ß<

а + р> 0, а + р < 0.

Наконец, используя представление (3) полугруппы, порождаемой оператором Лапласа, получаем явный вид решения задачи Коши для уравнения квазистационарных процессов в полупроводниках

и (х, у, г, г) = е-аг [ф(х, у, г)+

Ja + ß|t +,с° -^h / n xds

-—-¡=- J е sGy (a, ß, s, t)—

%4%

Л

■r 2 2,2

х fff х

(10)

ф(х, у, г) принадлежит пространству Соболева Шр (я3 ). Тогда единственное решение задачи Коши

для уравнения квазистационарных процессов в полупроводниках даётся формулой (10) и для него справедлива оценка (9).

Замечание. Отметим, что по переменной г решение задачи Коши удовлетворяет полугрупповому свойству и бесконечно дифференцируемо на отрезке [0,Т]; по переменным (х, у, г) решения для всех г е[0, Т ] принадлежат пространству Соболева

Ш2 (я3 ), и значит, при г е [0, Т]

у решения существу-

ря ., и значит, при г е |

ют частные и смешанные обобщённые производные по переменным (х, у, г) до 2-го порядка включительно, принадлежащие пространству Ьр (я3 ); из (9) следует непрерывная зависимость решения от начального данного ф(х, у, г) на любом конечном временном отрезке; из (8) в силу ограниченности оператора А и, значит, из того, что и (г; А) = егА - группа (поэтому здесь допускается г е ), следует возможность

«восстановления прошлого», а именно по (2) определить потенциал электрического поля м(х, у, г, г) в момент «отрицательного» времени -г.

Литература

х ф(х + у + 2у[5ц, г + 2л/5^)]. Таким образом, имеет место

Теорема. Пусть в задаче Коши (1), (2) решение г(х, у, г,г) ищется в пространстве Ьр (я3), 1 < р < ,

Линейные и нелинейные уравнения соболевского типа / А.Г. Свешников [и др.]. М., 2007. 736 с. Умаров Х.Г. Явный вид решения линейного уравнения квазистационарных процессов в полупроводниках. Грозный, 2010. 29 с. Деп. в ВИНИТИ 24.05.10 № 302-В2010.

Трибель Х. Теория интерполяции, функциональные пространства, дифференциальные операторы. М., 1980. 664 с.

4. Крейн С.Г. Линейные дифференциальные уравнения в

банаховом пространстве. М., 1967. 464 с.

5. Прудников А.П., Брычков Ю.А., Маричев О.И. Интегра-

лы и ряды. Специальные функции. М., 1983. 752 с.

3

Поступила в редакцию

13 сентября 2011 г.

-at

= е

х

х

0

+

0

3

R