О разрешимости задачи Коши для уравнения Кана-Хилларда с вязкостью в пространстве равномерно непрерывных ограниченных функций Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.958, 517.986.7

О РАЗРЕШИМОСТИ ЗАДАЧИ КОШИ ДЛЯ УРАВНЕНИЯ КАНА-ХИЛЛАРДА С ВЯЗКОСТЬЮ В ПРОСТРАНСТВЕ РАВНОМЕРНО НЕПРЕРЫВНЫХ

ОГРАНИЧЕННЫХ ФУНКЦИЙ*

© 2014 г. Х.Г. Умаров

Умаров Хасан Галсанович - кандидат физико-математических наук, доцент, Чеченский государственный университет, ул. Шерипова, 32, г. Грозный, 364907, е-mail: [email protected].

Umarov Khasan Galsanovich - Candidate of Physical and Mathematical Science, Associate Professor, Chechen State University, Sheripov St., 32, Grozny, Chechen Republic, 364907, Russia, e-mail: [email protected].

Для названного в заголовке статьи дифференциального уравнения в частных производных, моделирующего распределение концентрации одной из компонент бинарной смеси, исследуется разрешимость задачи Коши в многомерном евклидовом пространстве сведением к абстрактной задаче Коши в банаховом пространстве. Найден временной отрезок существования классического решения задачи Коши для уравнения Кана-Хилларда с вязкостью в пространстве равномерно непрерывных ограниченных функций и получена оценка нормы этого решения.

Ключевые слова: уравнение Кана-Хилларда с вязкостью, сильно непрерывные полугруппы операторов.

For the partial differential equation named in headline of the article, modeling the distribution of the concentration of one of the two components of binary viscous mixture, solvability of the Cauchy problem in the multidimensional Euclidean space is researched by reducing to the abstract Cauchy problem in Banach space. The period of time of existence of a classical solution of the Cauchy problem is found for the Cahn-Hilliard equation with a viscosity in the space of uniformly bounded continuous functions and an estimate of the solution is acquired.

Keywords: Cahn-Hilliard equation with viscosity, strongly continuous semi-groups of operators.

* Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований, проект № 13-01-00422-а.

Уравнение Кана-Хилларда с вязкостью [1] возникает при моделировании динамики кристаллизации в многокомпонентных сплавах с учетом вязкости: (l - a)vt =-Д(Ду + P(v)-avt), x е Rn , t > 0 , где 0 <a< 1, P(-) - заданная достаточно гладкая функция; Д = 8 2/ 8x2 + — + д 7 сХ 2 - дифференциальный

оператор Лапласа в Rn. Заметим, что при a = 0 получается обычное уравнение Кана-Хилларда, а при a = 1 - нелинейное параболическое уравнение.

В приложениях часто p(s) = 5 - 53, поэтому в качестве модельного рассмотрим нелинейное уравнение (l-a)vt -aAvt =-Д^- Дv + Дv3, xеRn , t > 0 . (1)

Уравнение (1) является полулинейным псевдопараболическим соболевского типа, не разрешенным относительно производной по временной переменной t .

Будем предполагать, что начальная функция р задачи Коши

v|t=0 =р(х), x е Rn , (2)

и искомое классическое решение v = v(x, t) для всех значений временной переменной t > 0 , по пространственной переменной x = (x,...,xn)е Rn принадлежат банахову пространству BUC(Rn) равномерно непрерывных и ограниченных в Rn функций \(x), норма которого |\|BUC = sup\y(x\ .

xeRn

Замыкание оператора Лапласа Д, заданного на подмножестве всех дважды непрерывно дифференцируемых функций из пространства BUC(Rn), частные производные 1-го и 2-го порядка которых принадлежат BUC(Rn), является производящим оператором сжимающей сильно непрерывной (более того - аналитической при t > 0) полугруппы U(t; Д), t > 0, класса C0 [2, с. 76; 3, с. 58; 4, с. 42]

U(t; Д)у(х) = (4М)-n/2 J exp

2

4t

(3)

нения (1) в пространстве ВиС(я") и оценить норму этого решения.

Наличие при л > 0 резольвенты (л/ - д)-1 позволяет разрешить уравнение (1) относительно производной по времени и записать в пространстве ВиС (я") в виде абстрактного полулинейного обыкновенного дифференциального уравнения 1-го порядка

V = Л0У + Р^), — > 0 , (4)

где V = V(—): — ^ v(x,í) - искомая абстрактная функция, определенная для г > 0 и со значениями в пространстве ВиС (я" ); Р(V) - заданный нелинейный оператор, действующий в ВиС (я").

Операторный коэффициент в уравнении (4) - линейный оператор Л0 =-((1 -а)/-аД)-1(Д + /)д, определенный на функциях у(х)<Е ВиС (я"), для которых Ду(х) и Д2у(х) также принадлежат пространству ВиС (я"), и его можно продолжить до оператора

Л + В, где Л = — Д, В = -1 \/-(1 -«Х(1 -а)/-аД)

а

где |х| = х" +-----+ х" ; у = у(х) - элемент пространства ВиС (я"). Положительная полуось л> 0 принадлежит резольвентному множеству оператора Д. Для резольвенты (Л - Д) 1, где / - тождественный оператор, справедливы оценка ||(л/ - Д)-1|| ^ 1/Л и представление степеней (Л/ - Д) к , к = 1,2,..., через полугруппу, порождаемую оператором Лапласа [2; 5, с. 664]

(Л - Д) =-п^г $ /-1ехр(-Л)и(я; Д)сЬ. (к -1)! 0

Наша цель - найти временной отрезок существования классического решения задачи Коши для урав-

областью определения которого является множество б(Л + В) = б(д).

Нелинейный оператор Р(•) из правой части уравнения (4) представляется в виде Р(г)=(1-а)/ -аД)-1 ДQ (у) = -аBQ (у), где б -оператор суперпозиции, действующий в пространстве

ВиС(я"): б(у) = /У(х)), у(х)<Е ВиС (я" ), = s3.

Отметим, что из непрерывной дифференцируемости оператора суперпозиции б [6, с. 406] и ограниченности линейного оператора В следует непрерывная дифференцируемость нелинейного оператора Р в пространстве ВиС (я").

Таким образом, приходим к абстрактному полулинейному дифференциальному уравнению

V, = (л+ьу+Р^), г > 0. (5)

Начальное условие (2) в ВиС (я") перепишется в виде

П=0 = Ф . (6)

Здесь ф = ф(х) - элемент пространства ВиС (я").

Оператор Л , Б(Л) = Б(д) , является производящим оператором сжимающей полугруппы и(—; Л) класса С0 , для которой справедливо представление

и(г; Л) = и(—;-д|= и ; Д ^. (7)

Возмущающий оператор В , б(в) = ВиС (я" ), линеен и ограничен на всём пространстве, поэтому является производящим оператором сильно непрерывной группы класса С0 , для которой справедливы представление

n

R

/

V

U(t; B) = exp|4M-^t; ((l-a)/-aA)-1 1 =

U (t; A + B)|< exp|

t I, t > 0 .

(11)

I+да

= exp| Ii a д=о

и оценка нормы

t ^ (-l)k(l-a)tk

k!a

2k

-((l-a) -aA)-

-k

(8)

< exp

|+g(l-a)ktk

2k

a Jk=о k!a

1 -a)l -aA)-1||

Применяя оценку нормы резольвенты оператора Лапласа а, выводим оценку нормы полугруппы, порождаемой оператором В : |||(/;в)|< ехр^-2-^, / > 0 .

Для произвольного элемента и = и(-) пространства В1С (я"), используя интегральные представления степеней резольвенты а через полугруппу (3), из (8) выводим представление

U (t; b)¥ = expl —

v-

12

V(l -a)t

(9)

Итак, в абстрактном уравнении (5) коэффициент A + 5 является производящим оператором полугруппы (10) класса c0, а функция F(•) есть непрерывно

дифференцируемое отображение из BUC) в

BUC (Rn ).

Из непрерывной дифференцируемости отображения F (•) следует, что F (•) удовлетворяет в BUC ) локальному условию Липшица. Поэтому [6, с. 469; 7, с. 185] для любого элемента Ф пространства BUC(R" ) существует промежуток [о, t*[ такой, что абстрактная задача Коши (5), (6) имеет единственное обобщенное решение V = V(t), t е[о, t*[, т.е. единственное непрерывное решение интегрального уравнения

t

V (t) = U (t; A + В)Ф + \U (t -r; A + B)F (v(r))dr, (12)

при этом если t* < да , то lim||V(t)||

J exp[-(l -a)s]jI — y¡(l -a)st |u(as; A)v—?=

о va J Vs

в котором Jl (•) - функция Бесселя.

Из полученных представлений (7) и (9) соответственно полугрупп U (t; A) и U (t; B) через полугруппу

(3), порождаемую оператором Лапласа, следует их коммутирование.

При возмущении производящего оператора A полугруппы U (t; A) класса С0 линейным ограниченным оператором B оператор A + B с областью определения d(a+b)=d(a) также порождает [5, с. 671] полугруппу U(t;A + B) класса С0, при этом возмущённая полугруппа определяется для произвольного элемента V банахова пространства разложением в ряд

+да

U(t; A + b)v= zuk (t)v , t > 0 , в котором

k=0

U0(t) = U(t;A)v и Uk(t)v = jU(t-s;A)BU ^{s^ds, <exp| Лt Nibucj1 -aN

= да.

Используя оценку (11) полугруппы U(A+B) и учитывая, что для элементов банахова пространства вис (я")

справедлива оценка вис ФИ вис1 И вис, в силу чего с ним можно работать как с алгеброй [8, с. 120], из интегрального уравнения (12) выводим интегральное неравенство 2

IV (t)

BUC

< exp

a

t I ф11

BUC

+

A (t-r)

a

V (r)

BUC

dr

2 r +—J exp

a 0

Откуда следует [9, с. 13] оценка нормы

IV (t)

BUC

II BUC

exp

е I-1

(13)

-12

к > 1, причём ряд абсолютно сходится, равномерно по t в любом конечном интервале положительной полуоси. В рассматриваемом случае возмущающий оператор B коммутирует с полугруппой, порождаемой возмущаемым оператором A . Поэтому л л

Uk (t)v = —BkU (t; A)v = — U (t; A)Bk у/ для произ-к! к!

вольного элемента v пространства BUC(R"), и значит, справедливо представление

U (t; A + B)v = U (t; A)U (t; B)v= (10)

на отрезке [0, t» ] с [0, t * [, где t« = supjt e [0,t»[: expí-4-1|< 1 + -

a

IN

2

BUC .

= U(t; B)U(t;A)v = exp| -L Nu| -; A V-

t

V(1 -a)t

J exp[-(l -a)s]jl| 2y¡(l -a)st|u|as + —; Ajv^

и оценка нормы

Итак, на отрезке [о, ^ ] существует обобщенное решение абстрактной задачи Коши (5), (6), для которого справедлива оценка нормы (13). Это обобщенное решение V (), / е[о,/»], будет классическим решением [7, с. 105; 6, с. 462] задачи Коши (5), (6), если оно непрерывно дифференцируемо в полуинтервале ]о, ^ ], что является следствием [7, с. 187] непрерывной дифференцируемости по Фреше нелинейного оператора ^(•) при условии принадлежности начального данного Ф области определения оператора А + В.

2

2

а

а

а

k

х

a

a

4

2

а

0

1

х

a

а

х

Таким образом, имеет место

Теорема. Пусть в задаче Коши (1), (2) начальная функция <р(х) принадлежит пространству ВиС (я") вместе с функциями Д<(х) и Д2<(х) , тогда при

t e[ü, tj, где t„ <— ln 4

1 +1 —

-2 А

sup \(р(х\

сущест-

вует единственное классическое решение V = у(х, г), (х,г)е я" х\0, —«], этой задачи в пространстве ВиС {я" ), для которого справедлива оценка

exP (

sup |v(x, t) <

(2t/ а2 ) sup |р(х)

xgR"

x^Rn

V

1 — а

exp(

(4^а2)— if sup|p(x)

,X^Rn

Литература

1. Novick-Cohen A. On the viscous Cahn-Hilliard equation // Material Instabilities in Continuum Mechanics and Related Mathematical Problems / ed. J. Ball. Oxford, 1988. P. 329-342.

2. Lunardi A. Analytic Semigroups and Optimal Regularity in Parabolic Problems. Basel, 1995. 424 p.

3. Крейн С.Г. Линейные дифференциальные уравнения в банаховом пространстве. М., 1967. 464 с.

4. Хенри Д. Геометрическая теория полулинейных параболических уравнений. М., 1985. 376 с.

5. Данфорд Н., Шварц Дж.Т. Линейные операторы. Общая теория. М., 1962. 895 c.

6. Красносельский МА., Забрейко П.П., ПустыльникЕ.И., Соболевский П.Е. Интегральные операторы в пространствах суммируемых функций. М., 1966. 500 с.

7. Pazy A. Semigroups of Linear Operators and Applications to Partial Differential Equations // Appl. Math. Sci. 1983. Vol. 44. 279 p.

8. Appell J., Zabreiko P.P. Nonlinear superposition operators // Cambridge Texts in Mathematics. 1990. № 95. 320 p.

9. Dragomir S.S. Some Gronwall Type Inequalities and Applications. Melbourne City, MC, 2002. 193 p.

Поступила в редакцию

11 февраля 2014 г.

2

yxsRn

v

/

2