CC BY
32
УДК 517.95+517.986.7
ЯВНЫЙ ВИД РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ КОШИ ДЛЯ ЛИНЕАРИЗОВАННОЙ СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ ФАЗОВОГО ПОЛЯ
X. Г. Умаров
Чеченский государственный университет,
364907, Россия, Грозный, ул. Шерипова, 32.
E-mail: umarov50@mail.ru
Для линеаризованной системы уравнений фазового поля получен явный вид решения задачи Коши сведением её к абстрактной задаче Коши в банаховом пространстве.
Ключевые слова: линеаризованная система уравнений фазового поля, сильно непрерывные полугруппы операторов в банаховых пространствах.
Рассмотрим в области (х, у: z) (Е М3, t > О, задачу Коши для системы уравнений в частных производных:
(vt = Av-Aw,
\ Aw + (а — 1 )w + v = О,
v\t=o = y{x,y,z), (2)
которая является, с точностью до линейной замены, линеаризацией в нуле квази-стационарной системы уравнений фазового поля [1, с. 24], моделирующей в рамках мезоскопической теории фазовые переходы первого рода. В системе (1) искомые функции v = v(x, у, z, t), w = w(x, у, z, t) характеризуют распределение температуры и параметр порядка; Д = д2/дх2 + д2/ду2 + д2/дг2 — дифференциальный оператор Лапласа в R3; а — постоянная, зависящая от характеристик среды.
В работе [1] система (1) исследуется в ограниченной области методами теории уравнений соболевского типа с относительно секториальными операторами.
Наша цель — получить для системы (1) явный вид решения задачи Коши в R3. Явный вид решения задачи Коши (первой начально-краевой задачи в полупространстве и смешанной задачи в пространственном слое в предположении анизотропии среды) получен в [2].
Будем искать решение системы (1) в банаховом пространстве Lp(R3), 1 < р < +оо. В этом пространстве оператор Лапласа с областью определения Т>(А) = {ф G Lp(R3) : Аф G Lp(R3)} является производящим оператором сжимающей сильно непрерывной (более того — аналитической) полугруппы U(t;A) класса Со [3, с. 228; 4, с. 58]:
и(Р,АУф(х,у,г) = (ШГ3/2 [if (3)
J J JR3
и его область определения является пространством Соболева: Т>(А) = W^(R3).
Исключим из системы (1) одну из неизвестных функций. Для этого восполь-
зуемся тем, что положительная полуось принадлежит резольвентному множеству оператора Лапласа в пространстве Lp(R3): предполагая, что а < 1, из второго уравнения системы (1) выводим
w = ((1 — а)1 — Д) ^v. (4)
Хасан Галсанович Умаров (к.ф.-м.н., доц.), доцент, каф. дифференциальных уравнений.
Подставляя полученное значение w в первое уравнение системы (1), имеем
vt = Av + v — (1 — а)((1 — a)I — Д) 1v. (5)
Таким образом, обозначая в уравнении (5) операторы Д = А с областью определения Т>(А) = Wp(R3) и / — (1 — a) ((1 — a)I — Д) = В с областью определения
Т>(В) = Lp(R3), приходим к абстрактному дифференциальному уравнению первого порядка в банаховом пространстве Lp(R3):
vt = (A + B)V (6)
относительно функции V = V(t) : [0,+оо) Д- Lp(R3) по правилу: для любого t ^ О V(t) = v(x,y, z,t) G Lp(R3). Начальным условием для уравнения (6) будет являться равенство
У\г=о=Ф> (7)
где ф = V(0) = v(x, у, z, 0) = ср(х, у, z) — заданный элемент пространства Lp в соответствии с условием (2).
Оператор В = I — (1 — a) ((1 — а)1 — Д) 1 —линеен и ограничен на всём про-
странстве Lp(R ), поэтому является производящим оператором сильно непрерывной
„„„„„„ п.. тт(+- т„/, — V _
'к=0 к\ '
полугруппы (более того —группы) класса Со: 11(1; В)ф = ^2к^0 ттВкф, для которой
справедливо представление
U(t; В)ф = eJ £ (~1)fctfcfc(,1~a)fc ((1 - o)I - А)~кф,
к=0
где ф — произвольный элемент пространства Lp(WL3). Для полугруппы U(t; В), t ^ 0, справедлива оценка нормы:
+ схэ / Л \ г», г»
||[/(i; В)|| < е‘ ( || ((1 - «)/ - Д)“1 ||Ч e2i.
fc=0
Выражая степени резольвенты ((1 — а)1 — Д) через полугруппу (3), находим представление полугруппы, порождаемой оператором В:
/ + °° , ч (]о
e-^-<y)sjx ^2л/(1 - a)tsj и{з\А)ф-д
где Ji{z) = J2t=0 (~1fc!((fc+i)! + -Функция Бесселя.
Из полученных представлений полугрупп U(t;A) и U(t;B) через полугруппу, порождаемую оператором Лапласа, следует их коммутирование.
При возмущении производящего оператора А сильно непрерывной полугруппы U(t; А) класса Со линейным ограниченным оператором В оператор А-\-В с областью определения Т>(А + В) = Т>(А) также порождает [5, с. 403] сильно непрерывную полугруппу U(t;A-\- В) класса Со, при этом возмущённая полугруппа определяется разложением в ряд:
U(t;A +В)ф = ^2ик{Ь)ф, t > 0,
к=о
где ^
11к{Ь)ф = I U (t — s; A)BUk~i(s^ds, k^l Jo
и 11о^)ф = и(Р,А)ф для произвольного элемента ф банахова пространства, причём ряд абсолютно сходится равномерно по і в любом конечном интервале положительной полуоси.
В нашем случае возмущающий линейный ограниченный оператор В коммутирует с полугруппой, порождаемой возмущаемым оператором А: Вії (і; А)ф = V (і; А)Вф, так как этим свойством обладают резольвента (XI — А)^1 и полугруппа II(і; А) для любого производящего оператора А сильно непрерывной полугруппы класса Со. Отсюда следует, что
= ^Вки^А^ = ^и(і;А)Вкф
и, значит, справедливо следующее представление для полугруппы, порождаемой оператором А + В:
£/(£; А + В)ф = £/(£; А)11 (¿; В)ф = £/(£; В)и(Р, А)ф =
/ + °° , ч Ло "
е-(І-а)в ^ + А)ф-д , (8)
и оценка нормы
(9)
Для того чтобы задача Коши (6), (7) была равномерно корректной [4, с. 64], необходимо и достаточно, чтобы оператор А + В был производящим оператором полугруппы класса Со, при этом решение задачи Коши (6), (7) даётся формулой
V = [І(і; А + В)ф,
(10)
если начальное данное <р принадлежит области определения Т)(А + В).
Принадлежность элемента <р множеству Т)(А + В) будет следовать из принадлежности начального данного <р = <р(х,у,г) пространству Соболева И^М3). Предполагая это выполненным и используя представление (8), выводим из (10) формулу решения задачи Коши для уравнения (5):
у(х,у,г,і) = є*
и(і;А)ір(х,у,г)~
/ + °° , _ч Ло
е_(1_“)871 [2^(1 - и(в + і; А)(р(х,у, г) —
для которого, в силу (9), справедлива оценка
\\у(х,у,г,і)\\Ьр(Кз) < е2і\\ір(х,у, г)\\Ьр(Жз).
, (11)
(12)
Наконец, используя в формуле (11) представление (3) полугруппы, порождаемой оператором Лапласа, получаем явный вид решения задачи Коши (5), (2):
у(х,у,г,і)
1
е « ^ < ір(х + 2\/Ї£, у + 2ч/їг), г + 2л/Ї£)(і£ <к) (¿С-
/+схэ ________ т
е-(і-а)87і (2^(1-а)ів)
-Є-п2-С2
ір(х + 2л/в + у + 2л/в + іг), г + 2л/в + <^7 ¿С
• (13)
Теперь из соотношения (4), используя формулу и оценку резольвенты оператора Лапласа в Lp(R3), получаем явный вид второй искомой функции системы (1):
1 Г + ОО
w(x,y,z,t) = —-¡=é / e-V-^drx
TW71- [Jo
х / / / е-^ <р(х + 2у/г +i£, у + 2у/г + tr], z + 2у/r + t()d£ dr] d(—
J J JR3
/+co r-\-oo _________ 7
e-(l~a)rdr J e~(-1~“-)sJi ^2\/(1 — a)tsj ~/=x x e-^ _7J ip(x + 2\/r + s +i£, y + 2yjr + s + tr), z + 2yjr + s + tÇ)d£ drj dÇ
J J JR3
(14)
и её оценку
e2i
\\w{x/y, z,t)||Lp(R3) < y—\\cp(x,y,z)\\Lp(ß3). (15)
Таким образом, имеет место
Теорема. Предположим, что в системе уравнений фазового поля (1) параметр а удовлетворяет неравенству а < 1 и пусть в задаче Коши (1), (2) решение v(x,y, z,t), w(x,y, z,t) ищется в пространстве Lp(R3), 1 < р < +оо, а начальное данное tp(x,y,z) принадлежит пространству Соболева W^(R3), тогда единственное решение этой системы даётся формулами (13), (14) и для него справедливы оценки (12), (15).
Замечание. Отметим, что по переменной t решение (13) удовлетворяет полу-групповому свойству, дифференцируемо при t ^ 0 и бесконечно дифференцируемо при t > 0. По переменным (ж, у, z) значения решения при t ^ 0 принадлежат пространству Соболева W^(R3) и, значит, у решения существуют частные и смешанные обобщённые производные по переменным (ж, у, z) до второго порядка включительно, принадлежащие пространству Lp(R3) при t ^ 0, и обобщённые производные любого порядка при t > 0. Из оценок (12), (15) следует непрерывная зависимость решения системы (1) от начального данного на любом конечном временном отрезке.
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Загребина С. А. О задаче Шоуолтера—Сидорова // Изв. вузов. Матем., 2007. №3. С. 22-28; англ. пер.: Zagrebina S.A. On the Showalter-Sidorov problem// Russian Math. (Iz. VUZ), 2007. Vol. 51, no. 3. Pp. 19-24.
2. Умаров X. Г. Явный вид решения линеаризованной системы уравнений фазового поля. Грозный: ЧечГУ, 2010. 27 с. (Деп. в ВИНИТИ 24.05.10 № 303-В2010) [Umarov Kh. G. The explicit form of solutions for linearized system of phase field equations. Groznyi: ChechGU, 2010. 27 pp. (Deposited at VINITI 24.05.10 No. 303-B2010)]
3. Трибелъ X. Теория интерполяции, функциональные пространства, дифференциальные операторы. М.: Мир, 1980. 664 с. [TribeV Kh. Interpolation theory, function spaces, differential operators. Moscow: Mir, 1980. 664 pp.]
4. Крейн С. Г. Линейные дифференциальные уравнения в банаховом пространстве. М.: Наука, 1967. 464 с. [Krein S. G. Linear differential equations in a Banach space. Moscow: Nauka, 1967. 464 pp.]
5. Хилле Э., Филлипс Р. С. Функциональный анализ и полугруппы. М.: Иностр. лит., 1962. 829 с. [Hille Е., Fillips R. Functional analysis and semi-groups. Moscow: Inostran. Lit., 1962. 829 pp.]
Поступила в редакцию 30/VI/2011; в окончательном варианте — 29/XI/2011.
MSC: 35G10; 47D06
EXPLICIT SOLUTION OF CAUCHY PROBLEM FOR THE LINEARIZED SYSTEM OF PHASE FIELD EQUATIONS
Kh. G. Umarov
Chechen State University,
32, Sheripova St., Groznyi, 364907, Russia.
E-mail: umarov50amail.ru
The explicit solution of Cauchy problem for the linearized system of phase field equations is received by reduction it to the abstract Cauchy problem in Banach space.
Key words: linearized system of phase field equations, strongly continuous semi-groups of operators in Banach spaces.
Original article submitted 30/VI/2011; revision submitted 29/XI/2011.
Khasan G. Umarov (Ph.D. (Phys. & Math.)), Associate Professor, Dept, of Differential Equations.
