Явный вид решения задачи Коши для одномерного уравнения движения грунтовых вод со свободной поверхностью Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.958, 517.986.7

ЯВНЫЙ ВИД РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ КОШИ ДЛЯ ОДНОМЕРНОГО УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ ГРУНТОВЫХ ВОД

СО СВОБОДНОЙ ПОВЕРХНОСТЬЮ

Х.Г. Умаров 17)

Чеченский государственный университет, ул. Шерипова, 32, Грозный, 364037, Россия, e-mail: umarov50@mail.ru

Аннотация. Для линейного дифференциального уравнения в частных производных, моделирующего эволюцию линии свободной поверхности фильтрующейся жидкости, получен явный вид решения задачи Коши сведением поставленной задачи фильтрации к решению абстрактной задачи Коши в банаховом пространстве.

Ключевые слова: свободная поверхность фильтрующейся жидкости, сильно непрерывные полугруппы операторов.

Рассмотрим в области х Е Я1, 0 < Ь <Т < +то, линейное дифференциальное уравнение в частных производных, моделирующее эволюцию линии свободной поверхности при фильтрации грунтовых вод [1]

^иЬ иххЬ — аихх Рихххх + / , (1)

где и — и (х, Ь) — искомая функция, характеризующая напор жидкости; / — / (х,Ь) — заданная функция, учитывающая внешнее воздействие на фильтрационный поток; Х,а,в -- положительные постоянные зависящие от свойств водоносного грунта.

Уравнение (1) является псевдопараболическим уравнением соболевского типа не разрешенным относительно производной по временной переменной Ь. Различные прямые и обратные начально-краевые задачи, для уравнения обобщающего уравнение (1), исследовались многими авторами (см., например, [2] и приведенную там библиографию).

Будем искать решение уравнения (1) в банаховом пространстве Ьр (Я1), 1 < р < +то, функций ф — ф (х) с интегрируемой по Я1 р-ой степенью абсолютной величины, норма

которого определяется по формуле || Ф\\Ьр(К1) — ^ I ф (х) 1Р йх^ =|| ф\\Ьр , т.е. будем

предполагать, что начальная функция

4=0 — Ф (х) ■ (2)

свободный член / (х,Ь) и искомое решение и (х, Ь), вместе со всеми производными входящими в уравнение (1), для всех значений временной переменной Ь, по переменной х принадлежат банахову пространству Ьр (Я1).

17Умаров Х.Г., доцент Чеченского государственного университета.

Наша цель - получить явный вид решения и (х,Ь) задачи Коши (1), (2), при этом решение и (х,Ь) непрерывно при Ь Е [0,Т[ по норме пространства Ьр (Я1), а входящие в уравнение частные и смешанные производные непрерывны при Ь Е ]0,Т[ также по норме пространства Ьр (Я1).

В пространстве Ьр (Я1), 1 < р < +то, дифференциальный оператор СР/Сх2, с областью определения Б {СР/Сх2) — {ф (х) Е Ьр (Я1): обобщенные производные ф' (х), ф" (х) Е Ьр (Я1)} порождает сжимающую (3, с. 261], [4, с. 58] сильно непрерывную, более того - аналитическую, полугруппу и {Ь; сР/Сх2), Ь > 0, класса С0, представляющуюся сингулярным интегралом Гаусса-Вейерштрасса:

и ^ (х) = 2^Л^] е "4Г ^1 ~0' (3)

Положительная полуось принадлежит резольвентному множеству оператора йР/йх2 и для резольвенты {XI — сР/йх2) , Л > 0, справедлива [3, с. 37] оценка

Л

(лі — *Л -

йх2

< 1 .

Наличие в точке Л > 0, резольвенты (XI — С2/Сх2^ 1 позволяет существенно преобразовать уравнение (1), разрешив его относительно производной по времени. Именно, пусть и (х,Ь) - решение задачи Коши (1), (2), для которого частные производные по переменной х первого и второго порядков непрерывны при Ь Е [0,Т[. Введем новую неизвестную функцию

V — Ли — ихх • (5)

Из замены (5) можно единственным образом определить значение

v|t=0 — Ли (х, 0) — ихх (х, 0) — Лф (х) — Фхх (х)

при условии, что производные Скф (х) /Схк, к — 1, 2, принадлежат пространству Ьр (Я1), и выразить решение и (х,Ь) задачи Коши (1), (2) через новую неизвестную функцию

V (х, Ь):

-і

(Лт с2У

и = [XI-------о V .

йх2

В результате подстановки (6) приходим к уравнению:

V* = (®1 — в-Ь) сгьі XI — £) V + !, і> 0.

йх йх йх

-і

йх2) йх2 V йх2

Операторный коэффициент в уравнении (7) - линейный оператор

{аі—лі—сх) = (лі—съ) (аі—вйЪ) сх

определен на функциях ф (х) Є Ьр (Я1), для которых существуют обобщенные производные йкф (х) /йх , к = 1, 4, принадлежащие пространству Ьр (Я1), и его можно продолжить до оператора

й2

А + В, А = , В = — (а — в Л)

йх2

-1'

I — л(лі — ~~2)

йх2

область определения которого Б (А + В) — Б (в2/Сх2).

Таким образом, приходим к абстрактному обыкновенному дифференциальному уравнению первого порядка, обобщающему уравнение (7) в банаховом пространстве Ьр (Я1),

V — (А + В) V + Я (Ь) , Ь > 0 , (8)

где V — V (Ь) : Ь ^ V (х,Ь) - искомая, а Я (Ь) : Ь ^ f (х,Ь) - заданная функции, определенные для Ь Е [0,Т[ и со значениями в Ьр (Я1). Начальное условие (2) в Ьр (Я1) перепишется в виде

V1^ — Ф , (9)

здесь Ф — (XI — С2/Сх2^ ф (х) - элемент пространства Ьр (Я1).

Поставленная цель - поиск решения и (х, Ь) задачи Коши (1), (2), приводит в случае замены (5) и предположения о непрерывности частных производных их (х,Ь), ихх (х,Ь) при Ь Е [0,Т[ , к необходимости нахождения решения [5, с. 105], [6, с. 462] абстрактной задачи Коши (8), (9): функции V (Ь) непрерывной при Ь Е [0,Т[ и непрерывно дифференцируемой при Ь Е ]0, Т[ по норме банахова пространства, значения которой принадлежат области определения оператора А + В при Ь Е ]0,Т[.

Оператор

А — @~~2 , в (А) — 0(^2) ,

Сх \Сх2)

является производящим оператором сжимающей аналитической полугруппы и (Ь; А) класса С0, для которой справедливо представление

и (*' А) = и (ь в-—) = и и, уЛ . (10)

йх2 йх2

Возмущающий оператор

В = — (а — в Л) I + (а — в Л) Л^Лі — п (В) = К (Я1)

линеен и ограничен на всем пространстве, поэтому является производящим оператором сильно непрерывной полугруппы (более того - группы) класса С0:

Ьк

и Ь В ) = т, и В к •

к=0

для которой справедливы представление

и (і; В) = е-^-^и ( Л (а — в Л) і;( XI — -Ь

(л - іГ)

е

— (а—в\)і

+ж

Е

к=0

(а — вЛ)к Лк ік

к!

{лі—СЬ)

к

и оценка

+ж і п \ і к л к^.к

и и (і; В)|| < е—(а—т>^ — вЛ 1 Л '

к=0

к!

{лі—СЬ)

1

Следовательно, используя оценку (4) резольвенты дифференциального оператора С2/Сх2, приходим к заключению:

1) если а — вЛ > 0, то полугруппа и (і; В) является сжимающей: \\и (і; В)\\ < 1;

2) если а — в Л < 0, то справедлива оценка нормы \\и (і; В )|| < е2^а—вА^г.

Дифференциальный оператор —XI + С2/Сх2, Л > 0, является производящим оператором сильно непрерывной полугруппы класса С0, норма которой экспоненциально убывает:

С_

Сх2 ) V ’ Схг

и (і:—лі+Ь)=е—А‘и (і; СЬ)

поэтому, используя формулу [6, с. 297] для отрицательных степеней производящего оператора полугруппы с отрицательным типом найдём, для последующего использования, выражение для степеней резольвенты: (Л > 0,к = 1, 2,...)

{лі—СЬ)

к

1

(к — 1)! 0

а

Св

12)

Применяя соотношения (12), продолжим преобразование степенного ряда в (11) 1) если а — вЛ > 0, то

к

и (і; В) ф = е—(а—іЗХ)і

+Ж

(а — вЛ)кЛкік Г +» к-1.-а*

к=1

. в е 47 в;—2 фйв (к — 1)!к! Jo V йх21^

— е—(а—вА)'

__________ Г+ж . _. / с2 \

ф + \/(а — в Л) Лі J е—Аз 11 \^2^/(а—вXУXstJ и \ в; Ф

(х/2)2к+1

11(г) = 5] тгттт - модифицированная функция Бесселя, а ф - произвольный

где І1 (г

к=0

к! (к + 1)!

элемент пространства Ьр (Я1);

2) если а — вХ < 0, то

— е—(а—вх)

и (і; В) ф — е

ф — л/\ а — вХ \ Хі х

л+те і і\к

х е—х^ ( 1)

/0

Е

к=0

к! (к + 1)

Св

7

е

— (а—@Х)і

______________ Г+^ ( _ч / С? \ Св

ф — л/\ а — вХ \ Хі I е—Хя31 и [в; С~2 ) Ф ~р

Сх2 ) г л/з.

г () ^ (—1)к Ш

где .І1 (г) — у /

2к+1

к=0

к! (к + 1)!

функция Бесселя.

Теперь, вводя обозначение

С% (а> в> Х> і)

11 ^2^ (а — вХ) Хві^ , а — вХ > 0;

— 31 ^2^ \ а — вХ \ Хві^ , а — вХ< 0 ,

представление для полугруппы, порождаемой оператором В, можно записать в виде

и (і; В) ф — е—(а—вх)і

ґ* + <^

ф + л/ \ а — вХ \ Хі/ е хС^ (а, в, Х, в,і) и (в; —ф 7-

\ Сх ) Vе.

Св

:із)

Из полученных представлений (10) и (13) соответственно полугрупп и (і; А) и и (і; В) через полугруппу (3), порождаемую оператором С2/Сх , следует их коммутирование.

При возмущении производящего оператора А аналитической полугруппы и (і; А) класса С0 линейным ограниченным оператором В, оператор А + В с областью определения Б (А + В) — Б (А), также порождает [4, с. 183], [5, с. 77, с. 81] аналитическую полугруппу и (і; А + В) класса С0, при этом возмущённая полугруппа определяется для произвольного элемента ф банахова пространства разложением в ряд:

и (і; А + В) ф — ик (і) ф , і > 0

к=0

где и0 (і) ф — и (і; А) ф и ик (і) ф — /0 и (і — в; А) Вик—1 (в) фСв, к > 1, причём ряд абсолютно сходится, равномерно по і в любом конечном интервале положительной полуоси.

В нашем случае, возмущающий линейный ограниченный оператор В коммутирует с полугруппой, порождаемой возмущаемым оператором А:

Ви (і; А) ф = и (і; А) Вф

так как этим свойством обладает резольвента (ХІ — А) 1 и полугруппа и (і; А), для любого производящего оператора А сильно непрерывной полугруппы класса С0. Отсюда следует, что для произвольного элемента ф банахова пространства

ік ік

ик (і) ф — Вки (і; А) ф — - и (і; А) Вкф

и, значит, справедливо представление

и (і; А + В) ф — и (і; А) и (і; В) ф — и (і; В) и (і; А) ф —

е — (а—вх)і

и{ві; С?) ф+

—х2 ) (14)

_____________ Г+ж / —2 \ — в "

+ у/1 а — /ЗА | АЬ е-Хз01} (а, в, А,в,Ь) и [ в + (ЗЬ; —2 ) Ф

1 V —х ) \/в_

и оценка нормы

1, а — /ЗА > 0 ;

\\и (Ь; А + Б)\\<\\и (Ь; А)\\\\и (Ь; В)\\ < { (15)

е2\а-в\\г, а — [ЗА < 0 .

Итак, в абстрактном уравнении (8) коэффициент А + В является производящим оператором аналитической полугруппы (14) класса С0. Поэтому [4, с. 170], [5, с. 104, с. 113], если норма свободного члена Б (Ь) уравнения (8) интегрируема по промежутку [0,Т[: 1о IIБ (Ь)\\ —Ь < и функция Б (Ь) удовлетворяет условию Гёльдера \\Б (Ь) — Б (в)|| < с(е) I Ь — в |7, Ь, в € [е,Т[, е, ^ > 0, то абстрактная задача Коши (8), (9), для произвольного начального данного Ф из рассматриваемого банахова пространства, имеет единственное решение, которое даётся формулой

V = и (Ь; А + В)Ф + [ и (Ь — т; А + В) Б (т) —т, Ь > 0 . (16)

ио

Принадлежность элемента Ф пространству Ьр (Я1) следует из принадлежности, как начальной функции ф (х), так и функций —кф (х) /—хк, к = 1, 2 , пространству Ьр (Я1). Соответственно, для выполнения выше приведённых требований к свободному члену Б уравнения (8) достаточно, чтобы свободный член f (х,Ь) уравнения (1) имел интегрируемую по промежутку [0,Т[ норму \\f (х,Ь)\\Ьр:

/ \\f (х,Ь)\\ьр —Ь< +ж (17)

ио

и удовлетворял локальному условию Гёльдера по переменной Ь по норме пространства Ьр (Я1):

(х,Ь) — f (х,в)\\ьр < с(е) 1Ь — в 11, Ь,в € [е,Т[, е,1> 0• (18)

Предполагая выполнение всех этих требований, действуя на обе части соотношения (16) оператором (А! — —2/—х2) , А > 0, и используя перестановочность полугруппы

и (Ь; А + В) и резольвенты (А1 — —2/—х2) \ выводим формулу для решения уравнения (1)

и — и (і; А + В) ф (х) + J и (і — т; А + В)^ХІ — / (х,т) Ст, (19)

для которого, в силу неравенств (15), справедлива оценка

IIй (х,і)\\ьр <\\ф (х)\\ьр + Х 11/ (х,т)\грСт

а — вХ > 0 ;

ІІи (х,і)\\Ьр < е2Іа—вХі \\ф (х)\\Ьр + - е2а—вХт I/(х,і — т) || г Ст , а — вХ < 0

рХ

(20)

Теперь, применяя представления (14) и (12) соответственно полугруппы и (Ь; А + В) резольвенты (А1 — —2/—х2) через полугруппу, порождаемую оператором — /—х2, из

формулы (19) имеем

и (х, і) — е—(а—вх)і

и іві; Сх)ф (х)+

*+ю

а — вХ \ Хі І е ^С1^ (а, в, Х, в, і) и + ві; ф(х) 7=

+

+ е—(а—вХ)(і—т)Ст

0

Г + 0

С2

0 е—Хги (г + в (і — т); / (х,т) Сг +

С* + <^0

Св

+ у/\ а — вХ \ Х (і — т) е ХзСІ7\(а,в,Х,в,і — т) 7=

и0 V в

х

х J е Хги + в + в (і — т); / (х,т) Сг

Наконец, применяя представление (3) полугруппы, порождаемой оператором С2/Сх2, получаем явный вид решения задачи Коши для одномерного уравнения движения грун-

І

0

І

товых вод со свободной поверхностью

и(х, і)

1

2^/П

— (а-в\)і

1

-с

(х-£)2

е ф(^№ +

Г+о

+ V І а — ЗА | Аі

е-ХзС1}1 (а, З, А, в, і)

йв

+о

(х — )

х/в (в + Зі) І-С

е 4(3+^) ф (£) ^

+

+

2^/П

е-(а-вХ)(—)йт

+о

—Хт

йт

+о

е 4{г+-(1-т)] £(£,т)й£ + (21)

у/т + З (І — Т) У-с

+о

йв

+ у/1 а — ЗА І А (і — т) е ХзС\ (а, З, А, в, і — т) —=

Jo л/в

X

+о

X

Хт

йт

+о

е 4[г+а + в(і-т)] £ (£, т)

Таким образом, предполагая, что

1) решение и (х, Ь) задачи Коши (1), (2) удовлетворяет дополнительному требованию непрерывности частных производных их (х,Ь), ихх (х,Ь) при Ь £ [0,Т[, и, значит, требуя принадлежность начальной функции ф (х) и функций йкф (х) /йх , к = 1, 2 пространству Ьр (Я1);

2) свободный член f (х,Ь) удовлетворяет условиям (17), (18);

получили представление в явном виде (21) решения уравнения, моделирующего эволюцию линии свободной поверхности при фильтрации грунтовых вод, и его оценку (20) в пространстве Ьр (Я1).

Теперь выясним, каким условиям достаточно подчинить начальную функцию ф (х) и свободный член f (х,Ь) уравнения (1), чтобы формула (21) давала решение задачи Коши (1), (2).

При выводе формулы (21) от функции Б (Ь), а значит, и от функции f (х, Ь), не требовалось выполнение каких-либо дополнительных условий, кроме тех, что возникают в общей теории линейных неоднородных дифференциальных уравнений первого порядка в банаховом пространстве, в которых операторный коэффициент порождает аналитическую полугруппу класса С0.

Поэтому рассмотрим функцию

и0 = и (і; А + В) ф ,

(22)

представляющую вклад начального условия (2) в формулу (19) для решения уравнения (1). Так как и (і; А + В) является аналитической полугруппой класса Со, то [3]—[6] функция (22) для любой функции ф из пространства Ьр (Я1):

о

I

о

о

о

чальное условие (2);

2) при і > 0 непрерывно дифференцируема по норме пространства Ьр (Я1) и значения и (і; А + В) ф принадлежат области определения оператора А + В, более того

т.е. функция (22) удовлетворяет уравнению (1).

Отсюда следует, что функция (22) является решением задачи Коши (1), (2). Таким образом, имеет место

Теорема. Пусть в задаче Коши (1), (2) для одномерного уравнения движения грунтовых вод со свободной поверхностью начальное данное ф (х) принадлежит пространству Ьр (Я1), 1 < р < +то, а свободный член f (х,Ь) удовлетворяет условию (17) интегрируемости нормы в пространстве Ьр (Я1) по промежутку [0, Т[ и локальному условию Гёльдера (18) по переменной Ь по норме пространства Ьр (Я1), тогда существует единственное решение этой задачи в пространстве Ьр (Я1), 1 < р < +то, которое представляется формулой (21) и для него справедлива оценка (20).

Замечание. Из оценки (20) следует непрерывная зависимость решения от начального данного на любом конечном временном отрезке, причем если а — (3\ > 0, то норма решения однородного уравнения не более нормы начального данного на всем временном промежутке рассмотрения, если же а — (3\ < 0, то решение может расти как е2\а-вх\*.

1. Дзекцер Е.С. Обобщение уравнения движения грунтовых вод со свободной поверхно-

стью // ДАН СССР. -- 1972. -- 202;5. -- С.1031-1033.

2. Свешников А.Г., Альшин А.Б., Корпусов М.О., Плетнер Ю.Д. Линейные и нелинейные уравнения соболевского типа / М.: ФИЗМАТЛИТ, 2007. — 736 с.

3. Butzer P. L., Berens H. Semi-Groups of Operators and Approximation / Grundlehren Math. Wiss., vol. 145 / New York: Springer-Verlag, 1967. — P. 318.

4. Крейн С.Г. Линейные дифференциальные уравнения в банаховом пространстве / М.: Наука, 1967. -- 464 с.

5. Pazy A. Semigroups of Linear Operators and Applications to Partial Differential Equations / Appl. Math. Sci., vol. 44 / New York: Springer-Verlag, 1983. -- P.279.

1) непрерывна при [0,Т[ по норме пространства Ьр (Я1) и для неё выполняется на-

dku

= (A + B)kU (t; A + B) Ф, k =1, 2,... ;

3) при t > О

Литература

6. Красносельский М.А., Забрейко П.П., Пустыльник Е.И., Соболевский П.Е. Интегральные операторы в пространствах суммируемых функций / М.: Наука, 1966. -— 500 с.

EXPLICIT SOLUTION OF THE CAUCHY PROBLEM TO THE ONE DIMENSIONAL EQUATION FOR GROUNDWATER MOTION

WITH A FREE SURFACE Kh.G. Umarov

Chechen State University,

Sheripov St., 32, 364037, Groznyi, Russia, e-mail: umarov50@mail.ru

Abstract. The linear partial differential equation modeling evolution of free surface curve of filtering liquid is under consideration. Explicit solution of the Cauchy problem is obtained by reduction of filtering problem to solution of the abstract Cauchy problem in the Banach space.

Key words: filtering liquid free surface, strongly continuous semi-groups of operators.