Ячеечная модель конвективной диффузии в сложной плоской области с перегородками Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 621.929

В.Е. Мизонов, И.А. Балагуров, В.А. Зайцев

ЯЧЕЕЧНАЯ МОДЕЛЬ КОНВЕКТИВНОЙ ДИФФУЗИИ В СЛОЖНОЙ ПЛОСКОЙ ОБЛАСТИ

С ПЕРЕГОРОДКАМИ

(Ивановский государственный энергетический университет, Ивановский государственный химико-технологический университет) e-mail: mizonov46@mail.ru

Предложена ячеечная математическая модель для описания эволюции распределения концентрации при конвективной диффузии в сложной области с перегородками. Область представлена двухмерной цепью Маркова, в которой переходные вероятности разделены на симметричные части, относящиеся к чистой диффузии, и несимметричную часть, относящуюся к конвективному переносу. Показано, как сложные границы области и различные перегородки могут быть учтены в матрице переходных вероятностей с использованием матрицы формы области на базе универсального вычислительного алгоритма. Приведен пример расчета эволюции распределения концентрации.

Ключевые слова: конвективная диффузия, ячеечная модель, цепь Маркова, вектор состояния, распределение концентрации

Целью работы является построение простой, но информативной математической модели эволюции распределения содержания частиц при их конвективной диффузии в плоской области сложной конфигурации с перегородками. Эта модель базируется на дифференциальном уравнении двухмерной конвективной диффузии, аналитическое решение которого для такой области сложно и громоздко, а иногда вообще невозможно. Среди численных методов, в конечном счете, всегда являющихся разновидностью метода сеток, можно выделить метод клеточных автоматов [1], но наиболее наглядной и доступной в инженерной практике, на наш взгдяд, является ячеечная модель, использующая математический аппарат теории цепей Маркова (например, [2]). Развитие именно этой модели составляет содержание настоящей статьи.

1,1 1,2 1,m

d t

d - i, I d

! 1 v

n,1 2n n,m

Рис. 1. Расчетная схема вспомогательной сетки ячеек Fig. 1. Design model of auxiliary grid of cells

Пусть имеется некоторая плоская область сложной конфигурации, в которой идет процесс

конвективной диффузии. Необходимо описать вокруг этой области вспомогательную прямоугольную область и разбить ее на сетку пхт ячеек размерами ДххДх. Эта вспомогательная область показана на рис. 1.

Текущее распределение содержания частиц диффундирующего вещества по ячейкам описывается матрицей состояния 8ш размером пхт, где п - число строк, т - число столбцов в ней. Для выполнения расчетов эта матрица должна быть преобразована в вектор-столбец состояния 8 размером (пхт)х1, где ячейки пронумерованы последовательно по столбцам, а столбцы матрицы 8ш расположены последовательно друг под другом.

Эволюция состояния процесса описывается рекуррентным матричным равенством:

8к+1=Р8к, (1)

которое связывает состояния, разделенные малым промежутком времени Д^ где к - номер временного перехода, а Р - матрица переходных вероятностей, являющаяся основным оператором модели. Эта матрица имеет размер (пхт)х(пхт) и строится по следующему правилу. Каждый ее столбец относится к определенной ячейке. В этом столбце в строках с номерами ячеек, куда возможен переход из данной ячейки, размещены вероятности этих переходов. Схематично набор переходов одной из центральных ячеек и их вероятностей показан на рис.1, где считается, что конвективный перенос направлен только вниз (например, из-за действия силы тяжести). Из ячейки возможны изотропные симметричные переходы с вероятностями d, относящиеся к чистой изотропной диффузии, и несимметричные (конвективные) пере-

ходы с вероятностью V, относящиеся к вынужденной диффузии - конвективному переносу частиц. Связь этих вероятностей с физическими параметрами процесса заданы формулами d=DДt/Лx2 и v=VЛt/Лx, где D - коэффициент диффузии, V -скорость конвективного переноса.

Элементы матрицы Р для прямоугольной области без перегородок рассчитываются по следующим соотношениям:

вероятности переходов вверх - чистая диффузия с параметром d

P(n(j-1)+i-1,n(j-1)+i)=d, ]=1та, i=2:n; (2) вероятности переходов вниз - диффузия с параметром d плюс конвекция с параметром V

P(n(j-1)+i+1,n(j-1)+i)=v(ij)+d, ]=1та, i=1:n-1; (3) вероятности переходов влево - чистая диффузия с параметром d

P(n(j-2)+i,n(j- 1)+i)=d, ]=2:га, i=1:n; (4) вероятности переходов вправо - чистая диффузия с параметром d

P(n(j)+i,n(j-1)+i)=d, j=1:m-1, 1=1:П; (5) вероятности остаться (главная диагональ матрицы)

P(u,u)=1- !(Р(:,и)) , и=1:пт. (6)

Учет реальной формы области и перегородок в ней может быть легко выполнен с помощью матрицы формы Еш, правило построения которой можно проиллюстрировать на примере области, показанной на рис.2 вверху слева. Матрица Еш это матрица размером пхт, в которой белым ячейкам соответствуют элементы, равные 1, а темным

(не относящимся к реальной области) - элементы равные 0. На этой схеме нули будут приписаны элементам, относящимся к правому нижнему углу области, и элементам, относящимся к расположенной вверху перегородке. Затем матрица формы Еш должна быть преобразована в вектор формы Е по такому же правилу, что и матрица состояния 8ш.

Очевидно, что переходы в темные ячейки запрещены, что учитывается в уже построенной для прямоугольной области матрицы Р следующим образом. В алгоритме ее построения следует обнулить все строки с номерами ячеек, в которые запрещены переходы, то есть между равенствами (5) и (6) разместить дополнительное условие: если F(u)=0, то Р(и,:)=0 и=1:пт. (7)

Эволюция распределения содержания диффундирующего вещества по ячейкам легко визуализируется и ее можно наблюдать на мониторе. Пример такого моделирования показан на рис. 2, где начальное распределение вещества показано клетками с жирными контурами слева.

На начальном этапе поток диффундирующего вещества «не знает» о перегородке, и идет обычная диффузия с конвективным переносом, направленным вправо. Затем поток сталкивается с перегородкой и начинает обтекать ее снизу за счет поперечной диффузии. Позже поток сталкивается со скосом области и смещается вверх. На последнем графике показано асимптотическое распределение, локализованное в правой части области.

Рис. 2. Пример расчета эволюции распределения диффундирующего вещества Fig. 2. Example of calculation of evolution of diffusing substance distribution

Таким образом, предложенная модель позволяет на основе универсального вычислительного алгоритма рассчитывать эволюцию полей концентрации при конвективной диффузии в области любой конфигурации, легко задаваемой матрицей формы области, и использовать получаемые описания во многих отраслях химической технологии и смежных отраслей.

Работа выполнена при поддержке гранта РФФИ № 12-08-97528 р_центр_а.

Кафедра прикладной математики

ЛИТЕРАТУРА

1. Бобков С.П. // Изв. вузов. Химия и хим. технология. 2009. Т. 52. Вып.3. C.109-114;

Bobkov S.P. // Izv. Vyssh. Uchebn. Zaved. Khim. Khim. Tekhnol. 2009. V. 52. N 3. P. 109-114 (in Russian).

2. Болотов И.А., Мизонов В.Е., Зайцев В.А., Жуков П.В. //

Изв. вузов. Химия и хим. технология. 2010. Т. 53. Вып. 8. С. 97-99;

Bolotov I.A., Mizonov V.E., Zaiytsev V.A., Zhukov P.V. //

Izv. Vyssh. Uchebn. Zaved. Khim. Khim. Tekhnol. 2010. V. 53. N 8. P. 97-99 (in Russian).

УДК 539.219.2

А.О. Каранец, М.Е. Соловьев

ПРИМЕНЕНИЕ МОДЕЛЕЙ СОСТАВ-СВОЙСТВА ПРИ АВТОМАТИЗАЦИИ ПРОЕКТИРОВАНИЯ РЕЗИНОТЕХНИЧЕСКИХ ИЗДЕЛИЙ

(Ярославский государственный технический университет) е-тай: alexeal@gmail.com, soloviev56@gmail.com

Предложена методика расчета резинотехнических изделий с использованием модели состав-свойства резин на основе каучуков общего назначения и применения ее при автоматизированном проектировании резинометаллических амортизаторов. Разработанная методика реализована в составе программного комплекса для автоматизации проектирования резинотехнических изделий.

Ключевые слова: автоматизация проектирования, резинометаллические амортизаторы, многочлены Лежандра, прогнозирование свойств

Традиционный способ расчетов резинотехнических изделий состоит в выборе подходящей модели для описания уравнения состояния полимера и использовании ее для аналитического или численного анализа напряженно-деформированного состояния изделия с целью оценки его упруго-деформационных характеристик и прочностного расчета [1, 2]. Однако в отсутствие моделей, связывающих параметры уравнения состояния с составом композиции, возможности такого подхода ограничены лишь задачами оптимизации формы и геометрических параметров изделия.

Целью настоящей работы явилось создание методики расчета РТИ с использованием модели состав-свойства резин на основе каучуков общего назначения и применения ее при автоматизированном проектировании резинометалличе-ских амортизаторов. Данный тип резинотехнических изделий предназначен для уменьшения вибрационных нагрузок и широко применяется в автомобильной промышленности, сельскохозяйст-

венных отраслях и др. [3]. Основной эксплуатационной характеристикой амортизаторов является коэффициент виброизоляции, для вычисления которого необходимо знать нагрузочную характеристику виброизолятора и время релаксации, являющееся характеристикой вязкоупругих свойств резины [4]. Следовательно, модель «состав -свойства» должна представлять собой отображение множества параметров, характеризующих состав резины на множество параметров, описывающих уравнение состояния резины при однородном циклическом нагружении. Далее такую модель можно использовать при численном решении граничных задач механики сплошной среды для конкретного изделия. Предварительные исследования показали, что большинство уравнений состояния резин, используемых при нелинейном анализе квазистатических задач [5] не позволяют получить адекватных отображений «состав -свойства» по причине того, что параметры потенциалов, определяемых на основании эксперимен-