Математическая модель конвективной влагопроводности в многослойной среде с переменным числом слоев Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 621.929

В.Е. Мизонов, В.В. Костарев, В.А. Зайцев

МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ КОНВЕКТИВНОЙ ВЛАГОПРОВОДНОСТИ В МНОГОСЛОЙНОЙ СРЕДЕ С ПЕРЕМЕННЫМ ЧИСЛОМ СЛОЕВ

(Ивановский государственный энергетический университет, Ивановский государственный химико-технологический университет) e-mail: mizonov46@mail.ru

Предложена ячеечная математическая модель эволюции распределения содержания влаги в многослойной среде с меняющимся числом слоев. Среда представлена одномерной цепью Маркова с возрастающим числом активных ячеек, в которой каждая новая входящая ячейка приносит свое содержание влаги. Рассмотрены два варианта процесса: в первом конвективный перенос направлен в сторону самой первой ячейки, во втором - от нее. Приведены примеры расчета эволюции распределения содержания влаги.

Ключевые слова: конвективная диффузия, ячеечная модель, цепь Маркова, вектор состояния, распределение содержания влаги

Прикладным объектом, для которого разрабатывается предлагаемая ниже математическая модель, является процесс укладки слоев влажной ткани на горизонтальную поверхность. Каждый новый слой приносит влагу, которая распространяется по закону конвективной диффузии в среде уже имеющихся слоев (конвективная составляющая переноса, обусловленная силой тяжести направлена в этом случае вниз). В терминах уравнения конвективной диффузии эта задача соответствует задаче Стефана для подвижной верхней границы с перемещающимся вверх источником влаги. Ее аналитическое решение не представляется возможным. Среди численных методов ее решения, в конечном счете, всегда являющихся разновидностью метода сеток, можно выделить наиболее наглядные и доступные в инженерной практике ячеечные модели, использующие математический аппарат теории цепей Маркова [1, 2]. Развитие именно такой модели составляет содержание настоящей статьи.

Расчетная схема процесса показана на рис. 1.

Fig. 1. Calculation model of the process and its cell presentation

Полная ожидаемая высота слоя разбита на т ячеек идеального перемешивания высотой Ду. Состояние процесса фиксируется через малые промежутки времени Д^ то есть в дискретные моменты времени ^=(к-1)Д^ где номер состояния к может рассматриваться как целочисленный аналог текущего времени. Распределение содержания влаги по всем т ячейкам в к-ом состоянии представлено вектором-столбцом 8к={8/}. Процесс развивается следующим образом. Пусть слои материала появляются через К временных переходов. В начальный момент времени первая ячейка заполняется первым слоем материала и в течение первых К переходов в ней ничего не происходит. В момент времени К+1 вторая ячейка заполняется следующим слоем, и начинается влагообмен между ячейками, подчиненный закономерностям конвективной диффузии. В момент времени 2К+1 появляется третий слой и так далее.

Эволюция распределения содержания влаги по ячейкам описывается рекуррентным матричным равенством

§к+1=р(§к + ^к), (1)

где 8(-к - вектор поступления влаги в цепь ячеек, вносимой с вновь появляющимися слоями, Р -матрица конвективной диффузии, являющаяся аналогом матрицы переходных вероятностей для цепи Маркова. Правила построения Р и 8(-к и составляют особенность содержания статьи.

Матрица Р для материала, полностью состоящего из четырех слоев имеет вид (2) и строится по следующим правилам. Сначала она составляется для полной цепи из т ячеек для чисто диффузионных переходов, характеризуемых параметром d=DДt/Дy2 (Б - коэффициент влагопро-водности), и конвективных переходов, характери-

P

pu d + v(1--^) 0

dei P22

0 dek

2

0 0

d + v(1 - —— ) 0

S

P33

dek

d + v(1--— )

S

(2)

зуемых параметром у=УА1/Ау, где V - размерная скорость конвективного переноса. В матрице (2) учтено, что конвективный перенос зависит от содержания влаги в той ячейке, куда этот перенос происходит. Если эта ячейка полностью заполнена влагой (8/=8тах), то переход влаги в нее становится невозможным. Затем диффузионные переходы вверх блокируются множителями еД которые для еще отсутствующих слоев равны нулю, а для присутствующих равны единице. Эти множители могут быть сгруппированы в матрицу, которая для схемы из четырех слоев и появления новых слоев через 2 временных перехода имеет вид

e =

0 0 1 1 1 1 1 1 ... 1 0 0 0 0 1 1 1 1 ... 1 0 0 0 0 0 0 1 1 ... 1

(3)

Sm0 =

0 S0 0 0

0 0 S0 0

0 0 0 S0

(4)

столбцы которой подставляются в равенство (1) на каждом переходе. После укладки всех т слоев подача влаги в цепь прекращается.

На рис. 2 показан пример эволюции распределения содержания влаги в материале, состоящем из 30 слоев, нарастающих с временным интервалом К=4, при d=0,1, у=0,2, направленной в сторону, указанную стрелкой. Считается, что появляющиеся слои содержат влагу, содержание ко-

торой составляет 0,7 от предельного. В момент появления слоя содержание в нем влаги составляет это начальное значение, а затем влага диффундирует с конвективным переносом, направленным к основанию. После 120 переходов пополнение материала влагой прекращается, и в нем идет обычный нелинейный диффузионно-конвективный влагоперенос, при котором поступление влаги в ячейки, в которых достигнуто предельное содержание влаги, блокируется.

Элементы этой матрицы открывают ячейки рабочей части цепи по мере появления новых слоев материала. Элементы р^ матрицы Р рассчитываются как разность между единицей и суммой всех остальных элементов столбца. Если подача материала в цепь закончилась, в ней продолжается конвективная диффузия влаги при фиксированном числе ячеек т. Вектор подачи влаги в цепь содержит ненулевые элементы только в те моменты времени, когда цепь пополняется новой ячейкой. Совокупность векторов подачи удобно представить в виде матрицы

k/K

Рис. 2. Эволюция распределения содержания влаги при конвективном переносе, направленном вниз Fig. 2. Evolution of moisture content distribution at downward directed convection transfer

0.5 -

Рис. 3. Эволюция распределения содержания влаги при конвективном переносе, направленном вверх Fig. 3. Evolution of moisture content distribution at upward directed convection transfer

Конвективный перенос может быть направлен и в сторону от основания. Этот случай (правда, весьма приближенно) соответствует намотке ткани на барабан достаточно большого диаметра, когда конвективный перенос вызывается центробежной силой инерции, которая в первом приближении считается постоянной. В этом случае матрицы (3) и (4) сохраняются, а переходная матрица Р приобретает вид

P =

(d + v(1—^ ))ek

(d + v(1—3- ))e2

. (5)

ния содержания влаги в многослойном материале при меняющемся числе слоев и любом из направлений постоянного конвективного переноса.

Работа выполнена при поддержке гранта РФФИ № 12-08-97528 р_центр_а.

(d+v(i-—)>; Р44

Эволюция распределения содержания влаги при такой матрице и тех же, что и выше, остальных параметрах процесса, показана на рис. 3, из которого видны все характерные особенности распределения.

Таким образом, предложенная модель позволяет на основе универсального вычислительного алгоритма рассчитывать эволюцию распределе-

ЛИТЕРАТУРА

1. Бобков С.П. // Изв. вузов. Химия и хим. технология. 2005. Т. 48. Вып. 7. C. 105-112;

Bobkov S.P. // Izv. Vyssh. Uchebn. Zaved. Khim. Khim. Tekhnol. 2005. V. 48. N 7. P. 105-112 (in Russian).

2. Болотов И.А., Мизонов В.Е., Зайцев В.А., Жуков П.В. //

Изв. вузов. Химия и хим. технология. 2010. Т. 53. Вып. 8, С. 97-99;

Bolotov I.A., Mizonov V.E., Zaiytsev V.A., Zhukov P.V. //

Izv. Vyssh. Uchebn. Zaved. Khim. Khim. Tekhnol. 2010. V. 53. N 8. P. 97-99 (in Russian).

Кафедра прикладной математики

УДК 66.069.1

А.И. Леонтьева, В.С. Орехов, М.Ю. Субочева, М.А. Колмакова

ИССЛЕДОВАНИЕ КИНЕТИКИ ПРОЦЕССА УДАЛЕНИЯ ВОДОРАСТВОРИМЫХ ПРИМЕСЕЙ ИЗ ПЛОТНЫХ ОСАДКОВ НА ФИЛЬТРОВАЛЬНОЙ ПЕРЕГОРОДКЕ

(Тамбовский государственный технический университет) e-mail: htov@mail.tambov.ru

Представлены результаты экспериментальных исследований процесса удаления водорастворимых примесей из осадков, образованных мелкодисперсными частицами органических пигментов, формирующих глинообразную структуру. Приведена экспериментальная установка и описание ее работы. Определен расход промывной жидкости, обеспечивающий достижение требуемой концентрации водорастворимых примесей в осадке, образованном органическим Пигментом оранжевым Ж.

Ключевые слова: фильтрование, фильтр-пресс, промывка, суспензия, осадок, паста, частицы органического вещества, жидкая фаза, твердая фаза, водорастворимые примеси, промывная жидкость, давление фильтрования и промывки, поры

ВВЕДЕНИЕ

Наличие водорастворимых примесей, таких как хлорид и сульфат натрия, в выпускных формах азопигментов снижает их колористическую концентрацию, так как в процессе термического обезвоживания пасты на поверхности частиц органического вещества кристаллизуются соли натрия, что приводит к изменению формы и структуры частицы твердого вещества. Присутствие водорастворимых примесей, формирующих у

растворов электролитические свойства, в офсетных красках приводит к размыванию границ цвета при печати [1].

Удаление водорастворимых примесей из суспензий органических продуктов осуществляется как репульпацией с последующей декантацией, так и отмывкой на фильтрующих центрифугах и фильтр-прессах.

Для реализации способа репульпации с последующей декантацией требуется громоздкое оборудование (отстойники), большой расход про-