CC BY
8УДК 674.047.3
А.А. Котков, В.Е. Мизонов, Н.Н. Елин
ЯЧЕЕЧНАЯ МОДЕЛЬ КИНЕТИКИ ТЕПЛОВЛАГОПЕРЕНОСА ПРИ СУШКЕ ЛИСТОВОГО МАТЕРИАЛА ПАРАЛЛЕЛЬНЫМ ПОТОКОМ ГАЗА
(Ивановский государственный политехнический университет, Ивановский государственный энергетический университет) e-mail: mizonov46@mail.ru
Предложена ячеечная математическая модель эволюции распределения содержания влаги и теплоты при сушке листового материала потоком газа, параллельным его поверхности. Продольное сечение материала представлено двухмерной сеткой ячеек, а канал течения газа - одномерной сеткой. Ячейки материала, контактирующие с ячейками газа, могут обмениваться с ним теплотой и массой влаги, которые затем распространяются по материалу путем теплопроводности и влагопроводности. Приведены результаты численных экспериментов и оценено влияние на процесс сушки реверса подачи газа.
Ключевые слова: листовой материал, влагосодержание, сушка, теплоотдача, массоотдача, теплопроводность, влагопроводность, ячеечная модель, вектор состояния, переходная матрица, реверс подачи газа
Несмотря на большое число работ, в которых предложены разнообразные математические модели, описывающие кинетику сушки влажных пористых материалов, многие вопросы из этой области остаются открытыми. Для выбора рациональных режимов сушки недостаточно описывать процесс только на основе балансовых уравнений теплоты и массы влаги по всему материалу, так как возникающие в реальном процессе локальные перекосы температуры и влагосодержания могут существенно снижать физико-механические свойства материала, приводить к образованию трещин, появлению остаточных напряжений и других дефектов. Поэтому для достоверного выбора режима сушки необходимо строить ее расчет как процесса с распределенными параметрами и иметь удобные для использования в инженерной практике математические модели, которые именно так и описывают процесс. Теоретические основы такого описания, сформулированные в терминах дифференциальных уравнений в частных производных, приведены в работах [1-4]. Поскольку дифференциальные уравнения сопряженного нелинейного тепловлагопереноса не имеют аналитических решений, известны многочисленные попытки их приближенного решения численными методами [5-9], из которых можно выделить методы клеточных автоматов [5,6] и методы ячеечного моделирования [7-9], весьма схожие по своей физической природе. Теоретические основы применения ячеечных моделей, использующих математический аппарат теории цепей Маркова, к описанию процессов тепломассопереноса приведены в работах
[7-9]. Нам представляется, что этот подход наиболее перспективен, так как он базируется на наглядных балансовых уравнениях для элементарной ячейки, реализуется с помощью универсального вычислительного алгоритма и свободен от ограничений на линейность процесса и стационарность краевых условий.
Расчетная схема моделируемого процесса показана на рис.1. Листовой материал длиной Ь, толщиной Н и единичной шириной уложен в пакеты с зазорами В, через которые движется сушильный газ. При достаточно большом числе уложенных листов из пакета может быть выделен представительный объект моделирования, окруженный на рисунке штриховой линией, где Ь - половина толщины материала, Ь - половина ширины канала для прохода газа. Представим материал двухмерной цепью прямоугольных ячеек размером пхш с длинами сторон Дх=Ь/т Ду=Ь/п, а канал для прохода газа одномерной цепью п ячеек размерами ЬхДу. Считается, что в каждый момент времени все теплофизические параметры равномерно распределены внутри каждой ячейки. Состояние процесса наблюдается в дискретные моменты времени тк, разделенные малым временем Дт, так что Тк=(к-1)Дх, к - номер временного перехода (целочисленный аналог текущего времени).
В каждый момент времени теплофизиче-
ские параметры состояния цепи для материала
удобно представить матрицами такого же размера, „ к
что и цепь ячеек: - распределение теплоты по ячейкам материала; 1ш8к - распределение температуры, Мш!,к - распределение массы влаги и т.д.
Однако для описания теплопроводности и влаго-проводности эти матрицы должны быть преобразованы в векторы-столбцы Qsk, ^ и М8„к размером (п*ш)*1, в которых столбцы соответствующих матриц расположены последовательно друг под другом. Цепь для газа характеризуется вектор-столбцами состояния Qgk, 18к и Мв„к размером п*1.
V7
V
газ
1ш„(:,ш) - последний столбец матрицы температуры материала, относящийся к ячейкам, примыкающим к газу;
расходование теплоты AQk на испарение влаги из поверхностных ячеек
AQwk=Aшwk.*r, (3)
где г - вектор удельной теплоты испарения влаги в ячейках, рассчитываемый по параметрам их теп-лофизического состояния;
передача теплоты ячейкам материала, примыкающим к газу
AQsk= AQk - AQwk. (4)
В результате произошедшего переноса теплоты и массы параметры состояния в соответствующих ячейках принимают следующие значения Мш.^ш)^ Mw(:,ш) k - Aшwk, (5) Qшs(:,ш)k:= Qшs(:,ш) k + AQsk, (6)
М™,^ Mgw k +Aшwk,
gw
Qgk:= Qg k - AQk,
Рис. 1. Расчетная схема процесса и его ячеечная модель Fig. 1. Design scheme of the process and its cell model
Будем считать, что в течение одного временного перехода протекают две стадии процесса: перенос теплоты и влаги между ячейками цепи газа и примыкающими к ним ячейками материала (направление переноса влаги показано на рис. 1 темной стрелкой, а теплоты - светлой) и перенос теплоты и влаги между ячейками отдельных цепей.
В течение первой стадии за время Ат между сходственными ячейками цепей произойдет передача теплоты и массы, рассчитываемая по следующим соотношениям:
испарение влаги из ячеек материала, примыкающих к ячейкам газа
k k Amwk=ßk*(pwk-pvk) АуАт,к (1)
где pwk= pwk(tmw(:,m) k) и pvk= Pvk(Xgk) - векторы парциальных давлений влаги над поверхностью воды и в газе, рассчитываемые по эмпирическим соотношениям, Xg - вектор влагосодержания в газе, кг/кг, ß - вектор коэффициентов массоотда-чи, оператор .* означает поэлементное перемножение векторов;
На всякий случай: Величина pvзависит еще от молекулярной массы сухого газа (в формуле 0,622 = 18/29 - отношение мол. массы пара к мол. массе воздуха. С дымом будет слегка не так.)
передача теплоты от газа влажному материалу
AQk=a.*(tgk - tmw(:,m) k)AyAT, (2)
где a - вектор коэффициентов теплоотдачи,
(7)
(8)
где := означает оператор присваивания.
После завершения расчета тепло и влаго-обмена все участвующие в расчете матрицы состояния должны быть преобразованы в соответствующие им векторы состояния.
После переноса теплоты и влаги между цепями ячеек происходит их перераспределение внутри цепей. Распространение теплоты в материале идет путем теплопроводности и описывается матричным равенством
Qsk+1=PQkQsk, (9)
где PQ - матрица двухмерной теплопроводности. Это пяти-диагональная матрица, элементы которой рассчитываются по формулам:
Дт
Q n(j-1)+i-1,nj(j-1)+i
Q n(j-1)+i+1,n(j-1)+i
X k
X n(j-1)+i-1
c k о k L n(j-1)+^ n(j-1)+i Ду2
:m, i=2:n;
X k _ Л n(j-1)+i Дт
c k D k ° n(j-1)+^ n(j-1)+i Ду2
:m, i=1:n-1;
X k _ Л n(j-2)+i Дт
Q n(j-2)+i,n(j-1)+i c k p k Д x 2
C n(j-2)+ip n(j-2)+i Д X
j=2:m, i=1:n;
n(j-1)+i
Дт
Q nj+i,n(j-1)+i c k _ k д x 2 ° n(j-1)+ip n(j-1)+i
j=1:m-1, i=1:n;
nm
PQ z,z =1-Z PQ e,z , z=1:nm e=1
(10) (11) (12)
(13)
(14)
В этих формулах X, с и р - коэффициент теплопроводности, удельная теплоемкость и
плотность влажного материала, соответственно. Их значения в ячейке у зависят от температуры ячейки и содержания влаги в ней и могут быть рассчитаны по балансовым или эмпирическим соотношениям [1-3]. Кроме того, теплопроводность и влагопроводность у некоторых материалов могут быть анизотропными (например, у древесины вдоль и поперек волокон). Описываемая модель позволяет учесть все эти особенности материала и подключать любые зависимости, описывающие его свойства.
Эволюция содержания влаги за один временной переход также описывается аналогичным
матричным равенством
М к+1-
где Ртек - матрица двухмерной теплопроводности, элементы которой рассчитываются по выражениям (10)-(14), в которые вместо величин А/ср (коэффициент температуропроводности) следует подставить величины коэффициентов влагопро-водности Б в соответствующих ячейках.
Считая, что продольный перенос теплоты и влаги вдоль канала для движения газа происходит вместе с массой газа, эволюцию содержания теплоты и массы влаги в цепи для газа можно описать матричным равенством М„ ' "
=PwkMs.
(15)
wk+1=PokM„
к (16) 08к+1=Рок08к, (17)
где Рс - переходная матрица для движения газа, элементы которой при отсутствии продольной стохастической составляющей его рассчитываются по формулам
к к Ра1+1,1=У1к, 1=1:п-1; Р01Д=1-у1к, 1=1:п, (18) У! = У1 Дт/Ду - доля массы газа, выносимая из ячейки 1 за один временной переход, У1 - расходная скорость газа в ячейке 1, рассчитываемая по уравнению расхода газа с учетом всей попавшей в него влаги в предыдущих ячейках. После каждой операции, описываемой равенствами (9) и (15), в первую ячейку следует добавить теплоту и массу влаги, вносимой газом в первую ячейку
ЫЁ„ (1)к+1:= ЫЁ„ (1)к+1+ GgoAтXgo/(1+Xgo), (19) Ов (1)к+::= Qg (1)k+1+GgotgoДт(Cg+ CyXgo)/(1+Xgo), (20) где Gg0, св су, tg0 и Xg0 - расход сушильного газа, теплоемкость сухого газа, теплоемкость водяного пара, температура и влагосодержание газа при входе в канал.
Распределение содержания влаги в материале и газе рассчитывается по формулам
1 к+1./Мвв, (21)
(22)
где Мвв и М88 - масса сухой составляющей в газе и материале.
Приведенные выше равенства (1)-(22) вместе с привлекаемыми теоретическими или эмпи-
X k+1=M
yVg i»igw •' i'igg,
Xsk+1=Mswk+1./Ms,
Рис.2. Распределение влагосодержания в материале в различные моменты времени сушки Fig. 2. Distribution of moisture content in a material at different moments of drying time
рическими зависимостями для теплофизических свойств материала и газа дают полное описание кинетики распределенного процесса сушки листового материала.
Пример расчета кинетики процесса по разработанной модели показан на рис. 2, где изображены распределения влагосодержания в материале в различные моменты времени. Расчет выполнен для листа древесины длиной 2 м и толщиной 25 мм с анизотропной теплопроводностью сухого материала (вдоль волокон 0,4 Вт/м°С и поперек волокон 0,15 Вт/м°С) и коэффициентом влагопро-водности 3-10-8 м2/с при его начальном влагосо-держании 0,5 кг/кг. Скорость сушильного газа на входе составляла 0,75 м/с при температуре 80 °С и влагосодержании 0,005 кг/кг. Для расчета использована сетка размером 5^3.
Из графиков видно, что сушка весьма неравномерна в продольном направлении. В частности, после 7 ч сушки, когда более половины длины листа высушено полностью, в его конце начальное влагосодержание уменьшилось всего в два раза. Причина этого очевидна: в конец листа попадает заметно увлажненный и охлажденный газ, что сразу заметно сказывается на движущей силе влагопереноса. В поперечном же направлении (по толщине листа) распределение влагосо-держания близко к равномерному, что обусловлено относительно небольшой толщиной листа. Такой же вывод относится и к распределению температуры материала (на графиках не показано).
Переход к модели листа как термически тонкого тела заметно упрощает модель сушки и уменьшает время расчетов, поскольку в этом случае материал может быть представлен одномерной цепью ячеек с размерами Ду*Ь, и отпадает необходимость в матричном представлении параметров теплофизического состояния материала. Чтобы перейти от приведенного выше описания процесса к модели термически тонкого тела, достаточно положить во всех расчетах т=1 и Дх=Ь.
На рис. 3 показан пример расчета кинетики сушки по модели термически тонкого тела. Здесь расчет выполнен для такого же листа древесины с начальным влагосодержанием 0,3 кг/кг, скоростью сушильного газа на входе 0,5 м/с и его начальном влагосодержании 0,01 кг/кг.
Рис. 3а иллюстрирует эволюцию содержания влаги в материале в течение сушки. Полное высушивание листа занимает немногим более 5 ч, однако процесс извлечения влаги из материала остается весьма неравномерным по длине листа. На графике эволюции распределения температуры (рис. 3б) отчетливо видны области, соответствующие зонам сушки в ячейках.
б
Рис. 3. Эволюция распределения влагосодержания (а) и температуры газа (б) в процессе сушки Fig. 3. Evolution of distribution of moisture content (a) and gas temperature (б) during drying
Рис. 4. Эволюция распределения влагосодержания при реверсивной подаче газа Fig. 4. Evolution of moisture content distribution at reverse gas supply
На рис. 4 показаны результаты расчетной оценки попытки повысить равномерность сушки по длине листа путем реверсивной подачи газа, когда спустя некоторое время с начала процесса направление движения газа меняется на противоположное. Путем перебора вариантов было найдено, что наилучший результат достигается при моменте переключения 1,74 ч. Именно этот вариант и отражен на графике рис. 4, откуда видно,
что при этом достигается некоторое сокращение времени полного высушивания, а главное, оно достигается практически одновременно во всех ячейках.
Таким образом, предлагаемая модель позволяет рассчитывать кинетику тепломассообмена при сушке листового материала параллельным ему потоком газа, а также выполнять расчетную оценку возможных путей совершенствования процесса.
Исследование выполнено при финансовой поддержке РФФИ (проект №15-08-01684).
ЛИТЕРАТУРА
1. Сажин Б. С., Сажин В.Б. Научные основы техники сушки. М.: Наука. 1997. 448 с.;
Sazhin B.S., Sazhin V.B. Scientific bases of drying. M.: Nauka. 1997. 448 p. (in Russian).
2. Лыков А.В. Тепломассообмен: Справочник. М.: Энергия. 1978. 480 с.;
Lykov A.V. Heat and mass exchange. Handbook. M.: Ener-giya. 1978. 480 p. (in Russian).
3. Лыков А.В. Тепло - и массообмен в процессах сушки. Учебн. пособ. М.-Л.: Госэнергоиздат. 1956. 464 с.;
Lykov A.V. Heat and mass exchange in drying processes. Tutorial. M.-L.: Gosenergoizdat. 1956. 464 p. (in Russian).
4. Шестаков Н.И., Аксенчик К.В. // Строительные материалы. 2012. № 11. С. 77-80;
Shestakov N.I., Aksenchik K.V. // Stroitel'nye materialy. 2012. N 11. P. 77-80 (in Russian).
5. Бобков С.П. // Изв. вузов. Химия и хим. технология. 2009. Т. 52. Вып. 3. С. 109-114;
Bobkov S.P. // Izv. Vyssh. Uchebn. Zaved. Khim. Khim. Tekhnol. 2009. V. 52. N 3. P. 109-114 (in Russian).
6. Бобков С.П., Войтко Ю.В. // Изв. вузов. Химия и хим. технология. 2009. Т. 52.Вып. 11. С. 126-128;
Bobkov S.P., Voiytko Yu.V. // Izv. Vyssh. Uchebn. Zaved. Khim. Khim. Tekhnol. 2009. T. 52. N 11. P. 126-128 (in Russian).
7. Федосов С.В., Елин Н.Н., Мизонов В.Е., Порошин
Н.Р. // Строительные материалы. 2011. № 8. С. 22-24; Fedosov S.V., Yelin N.N., Mizonov V.E., Poroshin N.R. //
Stroitel'nye materialy. 2011. N 8. P. 22-24 (in Russian).
8. Мизонов В.Е., Якимычев П.В., Зайцев В.А., Елин
Н.Н. // Изв. вузов. Химия и хим. технология. 2011. Т. 54. Вып. 10. С.127-129;
Mizonov V.E., Yakimychev P.V., Zaitsev V.A., Yelin N.N.
// Izv. Vyssh. Uchebn. Zaved. Khim. Khim. Tekhnol. 2011. T. 54. N 10. P. 127-129 (in Russian).
9. Mizonov V., Yelin N., Yakimychev P. // Energy and Power Engineering. 2011. 3. P. 144-149.
Кафедра прикладной математики
