Ячеечная модель фазового перехода в сферической капле при охлаждении Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 66.011

Р.Ш. Мисбахов, В.Е. Мизонов

ЯЧЕЕЧНАЯ МОДЕЛЬ ФАЗОВОГО ПЕРЕХОДА В СФЕРИЧЕСКОЙ КАПЛЕ ПРИ

ОХЛАЖДЕНИИ

(Казанский государственный энергетический университет, Ивановский государственный энергетический университет) e-mail: mizonov46@mail.ru

Предложена нелинейная ячеечная математическая модель эволюции распределения температуры и фазового состава в затвердевающей при охлаждении сферической жидкой капле. Приведены примеры численного моделирования процесса. Показано, что модель термически тонкой капли дает значительную погрешность в расчете времени затвердевания.

Ключевые слова: сферическая капля, охлаждение, фазовый состав, ячеечная модель, вектор состояния, матрица теплопроводности, фазовый переход

Получение дисперсных материалов путем охлаждения жидких капель расплава материала, диспергированного через специальные устройства - распространенный технологический процесс в химической промышленности, металлургии и других отраслях. Для надежного проектирования камер, в которых протекает процесс затвердевания жидких капель, важно иметь достоверные сведения о кинетике этого процесса. Его физическим содержанием является охлаждение капли в некоторой среде до температуры фазового перехода (затвердевания расплава), протекание фазового перехода при постоянной температуре с выделением скрытой теплоты затвердевания и дальнейшее охлаждение твердой частицы. Обычно для описания процесса в частицах малого размера в зависимости от величины критерия Био используют модель термически тонкого тела, когда лимитирующей стадией считается внешний теплообмен путем теплоотдачи, а внутри частицы в каждый момент времени в любой ее точке температура считается одинаковой. Это допущение значительно упрощает расчет и может обеспечить приемлемую точность, если при этом внутри частицы не происходит фазовых переходов (например, плавления или затвердевания), в процессе которых распределение температуры резко меняется, оказывая значительное влияние и на внешний теплообмен. В этом случае приходится привлекать уравнение теплопроводности, которое в этой модели является нелинейным, так как теплофизиче-ские свойства жидкой и твердой фазы могут существенно отличаться, а граница раздела фаз подвижна и заранее не известна. Аналитическое решение такой задачи не представляется возможным. Одним из эффективных численных методов его решения, доступных в инженерной практике,

является теория клеточных автоматов [1, 2]. Другой эффективный метод, которому авторы отдают предпочтение, - построение ячеечных моделей процесса, общие принципы которого изложены в работе [3], а в работах [4, 5] описаны его приложения к моделированию теплопереноса с фазовыми переходами. Целью настоящей статьи является распространение этого метода на описание кинетики затвердевания жидкой капли расплава при ее охлаждении.

Расчетная схема процесса показана на рис.1. Считается, что жидкая капля имеет сферическую форму и равномерно охлаждается с поверхности путем теплоотдачи в среду с температурой tout, которая в общем случае может меняться с течением времени. Все это позволяет рассматривать процесс как сферически симметричный и строить его описание в сферическом секторе с телесным углом ф. Этот сферический сектор разбит на m ячеек одинаковой радиальной протяженности Ar = R/m (R - радиус капли) со средними радиусами г. В каждый момент времени распределение теплофизических свойств и параметров состояния по объему каждой ячейки считается равномерным. Теплофизические свойства фаз (коэффициент теплопроводности X, удельная теплоемкость с и плотность р) также считаются известными и различаются нижними индексами L для жидкой фазы и S для твердой фазы.

При малых радиальных размерах ячеек их объемы распределены по средним радиусам согласно формуле:

Vj =Т2Дг^, (1)

т.е. они имеют разный объем и, кроме того, разную площадь входного и выходного сечений.

:::■-■ ..":::. ... ИИ™

шГ'

Рис. 1. Схема капли и представляющего ее сферического сектора, разделенного на ячейки Fig. 1. The scheme of the droplet and its representative spherical sector divided onto the cells

В соответствии со стратегией ячеечного моделирования процесс наблюдается в дискретные моменты времени тк = (к-1)Дт, где Дт - продолжительность временного перехода, а к - номер временного перехода (целочисленный аналог времени). Тепловое и фазовое состояния процесса представлены вектор-столбцами размером m*1. Это вектор распределения теплоты по ячейкам Q, вектор распределения температуры t и вектор распределения содержания твердой фазы mL. Аналогичными векторами описано распределение теп-лофизических свойств фаз и их сочетания.

Тепловое состояние и фазовый состав меняются от одного временного перехода к другому. Это изменение представлено двумя стадиями, происходящими одновременно. На первой стадии происходит перераспределение теплового состояния путем теплопроводности в теплоизолированной частице. Это перераспределение описывается рекуррентным матричным равенством

Qk+i = pkQk, (2)

где Pk - матрица теплопроводности в цепи ячеек переменного объема с разными теплофизически-ми свойствами. Это трехдиагональная матрица размером m*m, элементы j-го столбца которой рассчитываются по формулам:

к

к л,,

P = j j-1,,

c,с j V

1-

Дг

2r

j

k л, P = j

rj+1,j

к

к к CJCJ

1 +

Дг

2г,у

Дф

дг2,

2 Дф

дГ2,

рк =1- P+1. ■

J,J J+1,J

j-1,j'

(3)

(4)

(5)

где множители в круглых скобках учитывают неравенство площадей при входе в ячейку и выходе из нее и являются аналогами коэффициентов Ляме при записи уравнения теплопроводности в обобщенных координатах. Вычислительная процедура (2) является устойчивой, если на главной диагонали матрицы не появляется отрицательных элементов, то есть р^к > 0. Это требование обеспечивается надлежащим выбором параметров дискретизации Дт и Дг.

По известному вектору Ок вектор распределения температуры определяется по формуле

1к=Ок./У./е./р, (6)

где оператор ./ означает поэлементное деление векторов.

На второй стадии учитывается внешний теплообмен и возможные фазовые переходы в ячейках. Внешний теплообмен описывается обычной формулой теплоотдачи для последней ячейки цепи с номером т:

0тк+1 := 0тк+1 - ак(1тк+1 - -ик)лЯ2фД1, (7)

где := - оператор присваивания, ак - коэффициент

к

теплоотдачи, 1ои1 - температура окружающей среды, причем подчеркивается, что обе последних величины могут меняться с течением времени.

Фазовые переходы учитываются следующим образом. На второй стадии описания процесса температура в каждой ячейке сравнивается с температурой плавления/затвердевания 1те. Если оказывается, что ее температура меньше температуры затвердевания ^к+1 < Се, и содержание твердой фазы не превышает ее максимальное содержание в ячейке т^к+1 < т^0 (затвердела еще не вся жидкость), то теплота (1т - 1;/+1)У^к+1р/+1 идет на формирование твердой фазы, содержание которой становится

„ к+1____ к+1 , /. + к+1чЛ7- к+1 к+1л. /0ч

mLj := mLj + (т - 1 )VjCj Pj /г, (8) где г - удельная теплота затвердевания, а температура в ячейке приравнивается температуре затвердевания ^к+1 = 1те. Такая корректировка фазового состояния ячейки продолжается до тех пор, пока не затвердеет весь содержавшийся в ней жидкий материал.

На каждом временном переходе в формулы (3)-(5) для расчета элементов матрицы Рк подставляются те значения теплофизических свойств, которые соответствуют фазовому состоянию ячеек: если материал в ячейке полностью жидкий, то величины с индексом L, если полностью твердый, то величины с индексом 8, если в ячейке находится смесь фаз, то их среднемассовые значения.

Равенства (1)-(8) полностью описывают распределенную по радиусу кинетику затвердева-

ния капли. Ниже приведены некоторые результаты расчетов, демонстрирующие работоспособность модели и ее физическую непротиворечивость на примере капли диаметром 1 мм. В качестве модельного материала принят материал со следующими свойствами: V = 1 Вт/м,оК; = = 0,5 Вт/м,оК; оь = 4 Кдж/кг,оК; Сз = 2 Кдж/кг,оК; рь = р8 = 1000 кг/м3, и = 100 °С; г = 300 Кдж/кг. Начальная температура расплава принята равной 120 °С, температура окружающей среды - 0 °С, коэффициент теплоотдачи принят постоянным и равным 80 Вт/м2,оК.

постоянной, то затвердевающие (но не полностью твердые) ячейки не «пропускают» теплоту наружу, и на графике формируется горизонтальная площадка, заканчивающаяся только к моменту полного затвердевания ядра капли, соответствующему точке Б. Очевидно, что на этой стадии распределение параметров состояния по радиусу весьма неравномерно. После точки Б продолжается охлаждение полностью затвердевшей частицы, которое вскоре опять становится практически равномерным по радиусу. Рис. 2б иллюстрирует кинетику образования твердой фазы в различных ячейках. Характерные точки этого графика полностью совпадают с соответствующими точками графика температуры.

Рис. 3 иллюстрирует кинетику затвердевания капли через изменение по времени величины у - относительного содержания твердой фазы. Расчеты выполнены при различных значениях коэффициента теплоотдачи а. Очевидно, что его величина при прочих равных условиях оказывает ключевое влияние на общую продолжительность процесса.

Ячеечная модель автоматически переходит в модель термически тонкого тела, если цепь представить только одной ячейкой (т = 1). На рис. 3 штриховой линией показана кинетика затвердевания, рассчитанная по модели термически тонкого тела. Очевидно, что ее использование дает существенно заниженное время полного затвердевания капли.

1

V

О 8

б

Рис. 2. Эволюция распределения температуры (а) и содержания твердой фазы (б) при охлаждении капли Fig. 2. Evolution of temperature distribution (a) and solid phase content (б) during cooling the droplet

На рис. 2 показана эволюция распределения температуры и формирования твердой фазы. Сначала происходит охлаждение частицы до температуры отвердевания (рис. 2а). На этой стадии процесса распределение температуры по радиусу близко к равномерному. Однако, некоторый перекос температуры в сторону периферии существует. Поэтому, начиная с момента времени, соответствующего точке А на графике, на периферии начинается затвердевание жидкого материала. Поскольку при затвердевании температура остается

0.6

0.4

0.2

i- V/ О / / J « / / / 1 / / /

.....i г i ( t f 1 A 1 f it уз '2

"Jf I

• Iff ' / / / >ill J * S'I J / Hi I /

"iff;// t // / / ' и I J 1 // / / J if if J /

0.5

15т.с 2

25

3.5

Рис. 3. Кинетика затвердевания капли при различных коэффициентах теплоотдачи а, Вт/м2 °К: 1 - 40, 2 - 60, 3 - 80,

4 - 100, 5 - 120 Fig. 3. Droplet solidification kinetics at different values of heat emission coefficient а, W/m2 °К: 1 - 40, 2 - 60, 3 - 80, 4 - 100, 5 - 120

Необходимо отметить, что допущение о постоянстве во времени коэффициента теплоотдачи приемлемо не во всех случаях, а, например, в

а

случае, если капля затвердевает, находясь в равновесии в восходящем потоке газа, когда скорость ее обтекания остается постоянной. Если капля диспергируется с некоторой начальной скоростью в неподвижную среду, то ее скорость из-за сопротивления среды уменьшается, а, следовательно, уменьшается и коэффициент теплоотдачи. Предложенная модель предусматривает переменность этого коэффициента, но в этом случае ее необходимо объединить с динамическими уравнениями движения капли, что выходит за рамки настоящей статьи.

Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ, проект № 15-38-50832\15.

Кафедра прикладной математики

ЛИТЕРАТУРА

1. Бобков С.П // Изв. вузов. Химия и хим. технология. 2009. Т. 52. Вып. 3. С. 109-114;

Bobkov S.P. // Izv. Vyssh. Uchebn. Zaved. Khim. Khim. Tekhnol. 2009. V. 52. N 3. P. 109-114 (in Russian).

2. Бобков С.П., Войтко Ю.В. // Изв. вузов. Химия и хим. технология. 2009. Т. 52. Вып. 11. С. 126-128;

Bobkov S.P., Voiytko Yu.V. // Izv. Vyssh. Uchebn. Zaved. Khim. Khim. Tekhnol. 2009. V. 52. N 11. P. 126-128 (in Russian).

3. Berthiaux H., Mizonov V., Zhukov V. // Powder Technology. 2005. V. 157. P. 128-137.

4. Мизонов В.Е., Елин Н.Н., Попелышко А.В. // Изв. вузов. Химия и хим. технология. 2013. Т. 56. Вып. 4. С. 112-115; Mizonov V.E., Yelin N.N., Popelyshko A.V. // Izv. Vyssh. Uchebn. Zaved. Khim. Khim. Tekhnol. 2013. V. 52. N 4. P. 112-115 (in Russian).

5. Mizonov V.E, Yelin N.N., Sakharov A. // Appl. Therm. Engin. 2015. V. 79. P. 149-152.

УДК 66.011: 66.047

А.Г. Липин, А.А. Липин, А.В. Шибашов

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ПРОЦЕССА СУШКИ ФОРПОЛИМЕРА ПОЛИАКРИЛАМИДА ПРИ КОНДУКТИВНОМ ПОДВОДЕ ТЕПЛОТЫ

(Ивановский государственный химико-технологический университет)

e-mail: piaxt@isuct.ru

Рассмотрен второй этап двухстадийного процесса синтеза полиакриламида, на котором дополимеризация форполимера совмещается с сушкой продукта. Предложена математическая модель, позволяющая прогнозировать рациональные технологические параметры процесса сушки. Проведено сопоставление опытных данных с результатами численного эксперимента.

Ключевые слова: акриламид, полиакриламид, полимеризация, форполимер, сушка, совмещенный процесс, математическая модель

Данная работа является частью исследований, посвященных разработке экологически безопасных технологических систем синтеза водорастворимого полиакриламида с использованием совмещенных полимеризационно-десорбционных процессов [1, 2].

Полиакриламид и сополимеры акриламида благодаря уникальному комплексу свойств широко используются в качестве загустителей, пленко-образователей, стабилизаторов суспензий, шлихтующих препаратов в текстильной промышленности, коагулянтов и флокулянтов, агентов, снижаю-

щих гидравлическое сопротивление, структурооб-разователей почв, защитных реагентов в буровой технике.

Синтез водорастворимого полиакриламида полимеризацией в концентрированных водных растворах акриламида является высокоэффективным и экологически безопасным процессом. Этот способ имеет ряд известных преимуществ перед суспензионной и эмульсионной полимеризацией, к которым, в частности, относятся сокращение расхода мономера за счет исключения образования латекса и потерь с водой, более полное ис-