Ячеечная модель сушки пластины с перемещающейся зоной парообразования Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 66.021.4:519.711.2

ЯЧЕЕЧНАЯ МОДЕЛЬ СУШКИ ПЛАСТИНЫ С ПЕРЕМЕЩАЮЩЕЙСЯ ЗОНОЙ ПАРООБРАЗОВАНИЯ

В.Ю. Волынский, В.Е. Мизонов, В.А. Зайцев, С.Б. Суханов

Ивановский государственный химико-технологический университет, Ивановский государственный энергетический университет

Представлена членом редколлегии профессором В.И. Коноваловым

Ключевые слова и фразы: зона парообразования; конвективная сушка материалов; математическая модель тепломассообмена; неоднородный прогрев; теплофизические свойства материала; цепь Маркова; ячеечная модель.

Аннотация: Разработана математическая модель, позволяющая отслеживать эволюцию движения тепла и влаги в виде жидкости и пара внутри пластины при ее неоднородном прогреве с любыми граничными условиями. Модель представлена одномерной цепью Маркова, что позволяет описать в комплексе передачу теплоты и массы между ячейками цепи. Предложенный подход позволяет улучшить точность описания происходящих процессов в слое материала.

Высокотемпературная конвективная сушка полотенных материалов является сложным физико-химическим процессом, приводящим к резкому снижению влаги в материале, что и является основной целью данного процесса. Однако его эффективное протекание зависит от множества параметров. В настоящее время накоплен колоссальный опыт в исследовании механизма внутреннего и внешнего теп-ломассопереноса для широкого спектра полотенных материалов, а также построено большое количество математических моделей, описывающих данные процессы. Несмотря на значительные успехи, достигнутые в математическом моделировании тепло- и массообмена для элементарных тел, перенос этих результатов на расчет процессов в сушилке в целом осуществляется на основе простейших моделей. Попытки построить модель на основе точных аналитических решений уравнения тепло- и влагопроводности с внешним тепло- и массообменом и распределенными внутренними источниками тепла обычно требуют значительных упрощений, что в конечном итоге выхолащивает физический смысл задачи. Наряду с этим существующие модели не учитывают особенностей внутреннего стохастического движения теплоты и влаги вызванное неоднородностью прогрева за счет внешнего теплообмена, что характерно для большого числа промышленных аппаратов. В связи с этим, возможно, большинство сушилок рассчитывают по интегральному балансу тепла и влаги через напряжение объема. Это естественно существенно снижает универсальность предлагаемых моделей и алгоритмов расчета. В настоящее время хорошо зарекомендовал себя математический аппарат, основанный на теории цепей Маркова или ячеечных моделей, численная процедура работы с которыми не требует практически никаких ограничений на схематизацию процесса. Данный подход эффективно использовался для моделирования процессов в дисперсных средах [1, 2]. Далее в работе рассмотрим этот подход применительно к нашему процессу.

Для построения модели движения теплоты и влаги рассмотрим следующую схему (рис. 1). Физический смысл вероятностей, показанных на рис. 1 стрелками, тождественен долям тепла, уходящим и остающимся в ячейке в течение одного перехода. Рассматриваемые ячейки представляют собой ячейки идеального смешения.

Особенностью описания явлений переноса теплоты является то, что поток обмена определяется не величиной самой переносимой субстанции, а некоторой разностью потенциалов этой субстанции. Однако потенциал, в отличие от самой субстанции не аддитивен, его нельзя переносить в цепи с помощью введенных вероятностей. Для процесса теплообмена переносимой субстанцией является теплота Q, а потенциалом - температура Т. Для влагообмена, аналогично, субстанцией является масса влаги М, а потенциалом - влагосодержание и.

Будем считать, что перенос теплоты и массы влаги осуществляется поперек материала, так как источник теплоты подводится перпендикулярно к поверхности материала, что и вызывает градиент температуры и влажности в слое материала.

Распределение всех параметров г-й ячейки по всем ячейкам может быть описано векторами состояния размером п х 1. Например, вектор количества тепла

записывается как

О*

Q

(1)

где индекс к относится к моменту времени наблюдения (номер перехода).

С течением времени состояние системы меняется. Эволюция состояния системы рассматривается через конечные малые промежутки времени Ах, а текущее время процесса представлено как хк = кАх, где к - номер перехода. Время перехода считается достаточно малым, чтобы переход был возможен только в соседние ячейки цепи, но не далее.

т-л --1

6>

—1

Т+1

Ах

Рис. 1 Ячеечная модель теплопроводности в пластине:

Тос - температура окружающей среды; Тс - температура сушильного агента; Ь - длина пластины; р - вероятности перехода

п

х

Из уравнений баланса тепла и массы влаги могут быть получены матрицы переходов тепла и влаги из ячейки в ячейку за малое время перехода Ах, данный подход подробно описан в работах [3, 4]. Запишем конечные матричные равенства, которые являются основой расчетной процедуры моделирования тепло- и мас-сопередачи. Расчет начинается с заданного начального распределения температуры и концентрации (Т° и и0).

Тк+1 = р^к; (2)

ик+1 = Ри ик, (3)

где Рь Ри - матрицы переходных вероятностей по температуре и влагосодержа-нию.

Теперь рассмотрим тепло- и массоотдачу с периферии пластины. Для введения в модель внешнего тепло- и массообмена использован метод источников. По влагообмену: с периферийных ячеек, контактирующих с окружающей средой, на каждом переходе удаляется количество влаги, определяющееся интенсивностью испарения с открытой поверхности. По теплообмену: на каждом переходе со стороны материала, обдуваемого теплоносителем, осуществляется подвод тепла, а со свободной поверхности - его отвод. Допустим, что параметры тепло- и влаго-обмена, т.е. коэффициенты тепло- и массоотдачи постоянны по времени. Тогда баланс тепла и массы в ячейках 1-й и т-й в общем виде можно записать как

Ах2 (тк+1 -Тк) = а1г (гос -Тк)5Ах; (4)

Ах2 (Щк+1 - п!к) = а1и (и ос - Щк) 5 Дх; (5)

Дх2 (тт+1 -тт) = а2{ (Тс -тт)5Ах ; (6)

Ах2 (икт+1 - икт ) = а2и и - икт)5Дх . (7)

Вектора убыли концентрации влаги в периферийных ячейках за счет внешнего массообмена и прироста температуры в периферийных ячейках за счет внешнего теплообмена запишутся как

Т% = Тк + а1(.*(Тос - Тк) + а2(.*(Тс - Тк); (8)

ик+1м = Ик + a1u.*(Uoc - Пк) + a2u.*(Uc - Пк), (9)

где иос, ис - влагосодержание в окружающем пространстве и сушильного агента; а1, = а1^Дх5/Ах2, а1И = а1мДхБ/Дх2, а2( = а1(Дх5/Ах2, а2м = а1мДх5/Ах2 - безразмерные коэффициенты, характеризующие тепло- и массоотдачу, где а1, а1„, а2й и а2м - коэффициенты тепло- и массоотдачи для свободной поверхности материала и обдуваемой теплоносителем, соответственно. Величина безразмерных коэффициентов из условия устойчивости вычислительной процедуры не должна превышать единицу, что дает ограничение на выбор Дх. В уравнениях (8) и (9) оператор (.*) означает поэлементное умножение векторов.

Расчетные матричные уравнения для описания процесса приобретают вид

Тк+1 = PtTk + Тк0; (10)

Бк+1 = Рu + Ukм. (11)

Сушка является взаимосвязанным процессом прогрева и удаления влаги из материала. Используя классическую систему параболических дифференциальных

уравнений в частных производных, предложенную А.В. Лыковым и Ю.А. Михайловым [5], система уравнений модели в матричной форме запишется как

Тк+1 = Р(Тк + ТкО + №к.*ф; (12)

ик+1= Ри ик + икм + (йТк - №к.*ф).*£.М(, (13)

где dTk = Тк - Т0, dUk = ик - и0; Р( и Ри - матрицы переходных вероятностей температуры и влагосодержания; < = 1Ах/срАх2 - безразмерный коэффициент температуропроводности; ф = ер/с; X = кб; к - коэффициенты влагопроводности; 5 -термоградиентный коэффициент; £ - критерий фазового превращения; р и с -плотность и удельная теплоемкость материала.

В уравнениях (12) и (13) оператор (./) означает поэлементное деление векторов. Третье слагаемое в правой части (12) учитывает перенос тепла вместе с влагой, по сути, это функция источника, а в (13) - термодиффузию, которая может рассматриваться как источниковый член в обычном уравнении диффузии.

Рассматриваемый процесс высокотемпературной сушки полотенных материалов имеет свои особенности в виду того, что температура теплоносителя (горячего воздуха), подводимого к высушиваемому материалу, свыше 100 °С. Данная особенность вносит дополнительные сложности в процесс моделирования. Это связано с тем, что необходимо учитывать, наряду с жидкой фазой, образование и перемещение паровой фазы в слое материала, по сути, сток тепла.

Уравнение передачи влаги в виде пара в слое материала запишется как

Ук+1 = РуУк, (14)

где Ру - матрица переходных вероятностей для пара.

Р =

1 - <

1 - 2

0 0

0

1 - 2

0

<

1-<

(15)

где = 1,Лх/с„рАх2 - безразмерный коэффициент молярного переноса пара; 1 и су - коэффициент молярного переноса пара и теплоемкость влажного материала по отношению к пару, участвующему в молярном переносе, соответственно.

Удаление пара с периферийных ячеек описывается аналогично уравнению массоотдачи.

Расчетное матричное уравнение для описания процесса молярного переноса пара запишется в следующем виде

Ук+1 = РуУк + Укр, (16)

где Укр - вектор убыли концентрации влаги в периферийных ячейках за счет внешнего массообмена в виде пара.

Алгоритм расчета образовавшегося пара проводился следующим образом. Если температура материала в ячейке достигла температуры кипения и в ней имеется влага, то дополнительное тепло, поступающее в эту ячейку (dqk = а2(^Тк), идет на испарение влаги, т.е. образование пара. Дальнейшее образование пара происходит при температуре кипения жидкости до момента полного ее обезвоживания. При влагосодержании ячейки, равной нулю, ее температура начинает расти и асимптотически стремиться к температуре сушильного агента. Количество образовавшегося пара можно оценить как

wk = dqk./r, (17)

где г - удельная теплота парообразования.

<

0

0

V

V

Рис. 2 Изменение распределения жидкости (а), пара (б) и температуры (в) по пластине во времени (¿, = 0,4; ¿и = 0,15; ^ = 0,4; Т = 0,1; Тс = 1; Тос = 0,4; и0 = 0,8; ис = 0,03; иос = 0,05; V = ¥с = ¥ос = 0)

Пример численного расчета сушки пластины при среднеарифметических значениях теплофизических свойств с учетом движущейся границы парообразования представлен на рис. 2.

Из графиков видно, что интенсивное удаление влаги из материала осуществляется у поверхности обдуваемой сушильным агентом (рис. 2, а), 10-я ячейка. Этим и обусловлено движение фронта сухой части материала к поверхности свободной. Резкий рост температуры в ячейках, находящихся ближе к поверхности обдуваемой сушильным агентом, обусловлен достаточно быстрым обезвоживанием этих ячеек и дальнейшим прогревом свыше температуры кипения (0,65). Образование пара происходит скачкообразно (рис. 2, б), причем пики приходятся на моменты достижения температуры ячеек, равной температуре кипения. Более интенсивное парообразование происходит с 100-го момента времени, так как наблюдается практически равномерный прогрев ячеек до температуры близкой к температуре кипения (рис. 2, в). Это обстоятельство обуславливает более быстрое начало парообразования в последующих ячейках. Наблюдается углубление границы зоны парообразования от нагреваемой поверхности внутрь пластины, причем к концу процесса наблюдается стихание пульсаций ввиду обезвоживания ячеек.

Адаптируем расчетную процедуру к описанию нелинейных процессов, когда параметры являются функциями температуры, влагосодержания и др., а матрицы переходных вероятностей зависят от векторов состояния. Если эти зависимости описаны, достаточно на каждом переходе осуществлять по ним пересчет матрицы переходных вероятностей.

Для оценки влияния на кинетику сушки нелинейности теплофизических свойств материала была получена зависимость безразмерного коэффициента теплопроводности от температуры и влагосодержания

= ^ (Т'/Т0)г /(1 + е*и')*(1 - и'), (18)

а также безразмерных коэффициентов влаго- и паропроводности

dui+1 = dui (и'/иУ; (19)

dvi+1 = dvi (У'/У0)г. (20)

Пример расчетов при постоянных и переменных свойствах материала показан на рис. 3.

Из графиков видно, что если при постоянных теплофизических свойствах материала парообразование более значительно влияет на общую убыль влаги из

а)

Время

б)

Рис. 3 Кинетика нагрева, сушки и образования пара в материале при постоянных (а) и переменных (б) теплофизических свойствах материала: 1 - = а/ (ТУТ°)Г ; 2 - = а/ (ТУТ0)Г /(1 + е*иУ(1 - и) (г = 0,1; ф = 0,1; X = 0,1)

материала (рис. 3, а), то при учете нелинейности в свойствах ввиду более равномерного прогрева материала удаление влаги идет в основном в виде жидкости. Когда же материал практически по всему слою прогревается до температуры кипения оставшееся количество влаги в виде жидкости незначительно, ввиду чего парообразование идет менее интенсивно (рис. 3, б). Приведенные расчеты наглядно отражают существенные различия в механизме сушки при постоянных и переменных теплофизических свойствах материалов.

Предложенный алгоритм расчета может быть относительно легко трансформирован для расчета процесса термообработки полотенных и листовых материалов при граничных условиях 1-го, 2-го и 3-го рода, а также на случай двухстороннего подвода теплоносителя, что придает ему универсальность.

Таким образом, в данной работе предложен и апробирован на численных экспериментах метод расчета процесса сушки пластины при одностороннем конвективном подводе теплоты с учетом перемещающейся зоны парообразования и нелинейности теплофизических свойств материала.

Список литературы

1 Tamir, A. Applications of Markov chains in Chemical Engineering. Elsevier publishers, Amsterdam, 1998, - 604 p.

2 Mizonov, V., Berthiaux, H., Marikh, K., Zhukov, V. Application of the Theory of Markovian Chains to Processes Analysis and Simulation. Ecole des Mines d'Albi, 2000, - 61 p.

3 Тальянов, Ю.Е. Состояние вопроса и перспективы математического моделирования термической обработки строительных дисперсных материалов в барабанных аппаратах / Ю.Е. Тальянов, В.Ю. Волынский. - Иваново: ГОУ ВПО «ИГХТУ», 2003. - 16 с.

4 Ванюшкин, В.А. Состояние вопроса и перспективы математического моделирования термической переработки строительных материалов в шахтных печах / В.А. Ванюшкин, В.Ю. Волынский, В.А. Зайцев, В.Е. Мизонов. - Иваново: ГОУ ВПО «ИГХТУ», 2004. - 52 с.

5 Лыков, А.В. Теория тепло- и массопереноса / А.В. Лыков, Ю.А. Михайлов. - М.-Л.: Госэнергоиздат, 1963. - 535 с.

Cell Model of Drying Plate with Moving Zone of Vaporization V.Yu. Volynsky, V.E. Mizonov, V.A. Zaitsev, S.B. Sukhanov

Ivanovo State Chemical Technological University, Ivanovo State Energetical University

Key words and phrases: vaporization zone; material air-drying; mathematical model of heat and mass transfer; heterogeneous heating; thermo-physical properties of materials; Markov's chain; cell model.

Abstract: Mathematical model which allows observing the evolution of heat and moisture movement in the form of liquid and vapor inside the plate during heterogeneous heating with any borderline conditions is developed. The model is based on one-dimension Markov's chain, thus revealing the mechanism of heat and mass transfer between the chain cells as a whole. The given approach contributes to the improvement of accuracy of description of drying process in the material layers.

Zellenmodell der Trocknung der Platte mit der verlagernden Dampfbildungszone

Zusammenfassung: Es ist das mathematische Modell, das die Evolution der Bewegung der Wärme und der Feuchtigkeit in der Platte bei ihrer inhomogenen Erwärmung mit den beliebigen Grenzbedingungen zu verfolgen erlaubt, betrachtet. Das Modell ist mit der Markow-Kette dargestellt. Das erlaubt den Mechanismus der Wärme-und Massenübertragung zwischen den Kettenzellen im Komplex zu beschreiben. Die vorgeschlagene Behandlung erlaubt die Genauigkeit der Beschreibung der laufenden Prozesse in der Stoffenschicht zu verbessern.

Modèle de cellule pour le séchage de la plaque avec une zone mobile

de la vaporisation

Résumé: Est élaboré le modèle mathématique permettant de suivre l'évolution du transfert de la chaleur et du liquide en qualité de solide et de vapeur à l'intérieur de la plaque au cours de son chauffage hétérogène avec n'importe quelles conditions de limite. Le modèle est présenté par la chaîne unidimensionnelle de Markov ce qui permet de décrire le comlexe du mécanisme du transfert de la chaleur et de la masse entre les cellules des chaînes. L'approche proposée permet d'améliorer la précision de la description des processus qui ont lieu dans la couche du matériel.