CC BY
11УДК 621.929
В.В. Костарев, В.Е. Мизонов, В.А. Зайцев, Н.Р. Лезнова
МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ВЛАГИ В РУЛОНЕ
ПРИ НАМОТКЕ ТКАНИ
(Ивановский государственный химико-технологический университет. Ивановский государственный энергетический университет) e-mail: mizonov46@mail.ru
Предложена ячеечная математическая модель эволюции распределения содержания влаги в рулоне при намотке на него влажной ткани. Модель учитывает изменение радиуса рулона в процессе намотки и выход влаги через его периферию. Рассмотрены два варианта процесса: с постоянной угловой скоростью рулона и с постоянной скоростью ткани. Приведены примеры расчета эволюции распределения содержания влаги.
Ключевые слова: конвективная влагопроводность, вращающийся рулон, ячеечная модель, вектор состояния, переходная матрица, распределение содержания влаги
Ранее в работе [1] нами была предложена математическая модель для описания распределения содержания влаги в процессе укладки слоев влажной ткани на горизонтальную поверхность, когда каждый новый слой приносит влагу, которая распространяется по закону конвективной диффузии в среде уже имеющихся слоев, а конвективная составляющая переноса обусловлена постоянной силой тяжести. Ниже это решение обобщается на случай наматывания влажной ткани в рулон, когда конвективная составляющая переноса обусловлена уже переменной по радиусу центробежной силой инерции, а объем ячеек моделирующей цепи также меняется по радиусу. Несмотря на то, что имеются другие достаточно эффективные подходы для численного моделирования процессов переноса (например, [2]), предлагаемая модель по прежнему строится на ячеечном подходе, который хорошо зарекомендовал себя при описании распределения влаги в пористом цилиндре постоянного радиуса [3].
Расчетная схема процесса показана на рис.1. Материал наматывается слоями на бобину радиусом Я2, а полный радиус рулона после окончания намотки равен Я]. Считается, что конвективный влагоперенос полностью определяется действием центробежной силы инерции, а влияние силы тяжести пренебрежимо мало по сравнению с ней. Последнее позволяет свести задачу к осесимметричной и рассматривать процесс в угловом секторе с углом Дф при вершине. Полная ожидаемая толщина рулона разбита на т ячеек идеального перемешивания Дг=(Я|-Я2)/т со средними радиусами Г)=К2+.|Дг/2. Состояние процесса фиксируется через малые промежутки времени Ли то есть в дискретные моменты времени и=(к-1 )Д|.. где номер состояния к может рассматриваться как
целочисленный аналог текущего времени. По мере протекания процесса в секторе в общем случае через разные промежутки времени появляется очередной слой наматываемого влажного материала, который обменивается влагой с предыдущими слоями и из которого возможен выход влаги в окружающую среду.
Рис. 1. Расчетная схема процесса (а) и структура элементарной ячейки (б)
Fig. 1. Design model of the process (a) and the structure of elementary cell (6)
нальна ее массе в ячейке, формуле Cjk=Mjk/Fj, где Fj=rjAr
Распределение содержания влаги по всем т ячейкам в к-ом состоянии представлено вектором-столбцом Мк={М^}, имеющим размер тх1, в котором ненулевыми являются только те элементы, которые соответствуют наличному числу слоев. Поскольку объем ячеек в секторе переменен по радиусу, то концентрация влаги не пропорцио-
а рассчитывается по площадь сечения ячеики при единичном угле при вершине сектора. Эта операция может быть записана в векторном виде Ск=Мк./Г, где ./ - символ поэлементного деления векторов.
Пусть слои материала появляются через К, временных переходов. В начальный момент времени первая ячейка заполняется первым слоем материала и в течение первых К1 переходов возможен только выход влаги в окружающую среду. В момент времени К1+1 вторая ячейка заполняется следующим слоем, и начинается влагообмен между ячейками, подчиненный закономерностям конвективной диффузии, сопровождающийся выходом влаги из второй ячейки наружу. В момент времени К2+1 появляется третий слой и так далее.
Эволюция распределения содержания влаги по ячейкам описывается рекуррентным матричным равенством
Мк+1=Р(к,8к)(8к + _ БоЛ (1)
8 к
ш — вектор поступления влаги в цепь ячеек, вносимой с вновь появляющимися слоями, 8оц(к -вектор удаления влаги из периферийного слоя в окружающую среду, Р - матрица конвективной влагопроводности, зависящая как от номера временного перехода, так и от текущего распределения влаги по ячейкам (нелинейная модель).
Матрица Р является трех диагональной матрицей размером тхт, элементы которой определяются по формулам [1,3]
Рк =
Ar2 J Ar С.1
d + f)eJk (2)
2r J
At(1.Ar
Ar
2r
pk =1-Pk -p
rj,j 1 rj+i,j j-ij'
где со - угловая скорость вращения рулона, ß -экспериментально определяемый коэффициент пропорциональности, зависящий от свойств материала и жидкости.
Если в процессе намотки поддерживается постоянная угловая скорость вращения рулона (cok=co=const), то каждый слой пребывает на периферии рулона одинаковое время, а соответствующее ему число переходов равно
<б)
где int - символ целой части дробного числа. При этом линейная скорость материала линейно возрастает с радиусом.
Если же, напротив, постоянной поддерживается линейная скорость поступающего материала, то угловая скорость должна убывать с течением времени, так как радиус рулона возрастает. Тогда
wk=ß-
Uz
Ti-fa'
(7)
где г-, - зависящий от времени (номера временного перехода) текущий радиус намотки, и - постоянная скорость движения наматываемого материала. При этом число переходов, после которых появляется очередной слой, рассчитывается по формуле
KJ=rnt
UAt
(8)
и представляет собой линейно возрастающую последовательность.
Структура матрицы е, входящей в равенство (2), может быть прокомментирована на примере следующей формулы, записанной для четырех слоев:
К . . К? . . Кз
e =
-м-
1 1 1
(О 0 0) ООО
1 1
(0
1 1 1 1
о о
(3)
(4)
где Б - коэффициент влагопроводности, -скорость конвективного переноса влаги, ejk — элементы матрицы е, «включающей» новые ячейки слоев по мере их появления.
Будем считать, что скорость конвективного переноса влаги прямо пропорциональна ускорению центробежной силы инерции на данном радиусе, поскольку именно она вызывает перепад давления, обусловливающего этот перенос. Тогда
W]í =р(»к)2^ , (5)
В течение 1м первых переходов нули запрещают в формуле (2) переход влаги из первой ячейки во вторую, поскольку второй еще нет. После этого появляется вторая ячейка (второй слой материала), и в нее единицами открывается переход из первой. После К2 вторых переходов открывается третья появившаяся ячейка и так далее.
Структура вектора источников влаги подробно описана в работе [1]. При появлении очередной ячейки с ней одномоментно вносится масса влаги Сог2Дг, которая затем эволюционирует внутри сектора. Выход влаги в окружающую среду происходит в течение всего пребывания крайней ячейки на периферии рулона. Для его количественного описания примем простейшую гипотезу
о том, что скорость выхода влаги через периферию крайней ячейки пропорциональна скорости конвективного влагопереноса в материале под действием локальной центробежной силы инерции. В этом случае в течение одного временного перехода из нее выйдет масса влаги, определяемая формулой
1 + —|А1. (9)
ДМ7 —
z z Ar
2rz
где а - упомянутый выше эмпирический коэффициент пропорциональности.
После завершения намотки (7=111), если вращение рулона продолжается, в нем происходит дальнейшее перераспределение влаги и ее выход через уже постоянную наружную поверхность рулона, причем при принятой гипотезе (9) и достаточно большом времени вращения из рулона может быть удалена вся свободная влага.
C/C
C/C
скоростью движения материала 0,3м/с (б). Эти параметры подобраны таким образом, чтобы полное время намотки рулона было одинаковым (94 с). Считается, что после окончания намотки рулон продолжает вращаться с такой же угловой скоростью, как при ее завершении. Кинетика процесса при со—соне! отличается от таковой при и=соп81 В первом случае центробежная сила инерции линейно возрастает с радиусом, влага быстрее движется к периферии, освобождая место для влаги, поступающей из более близких к оси вращения ячеек. Во втором случае угловая скорость должна уменьшаться по мере намотки материала (в рассматриваемом примере от 2,65с"1 в начале намотки до 0,67с"1 в ее конце), что приводит к более медленному конвективному переносу влаги при больших радиусах, то есть более равномерному распределению влаги по радиусу рулона.
На рис. 3 показана кинетика накопления влаги в рулоне (текущая масса влаги, отнесенная к массе влаги в полностью заполненном ей целом рулоне). Несмотря на то, что при режиме о^сснЫ влага накапливается медленнее, ее полное количество после завершения намотки практически одинаково по сравнению с режимом и=соп51. при котором после окончания намотки влага удаляется медленнее. Здесь, однако, необходимо отметить, что при режиме о^сснЫ линейная скорость наматываемого материала от начала до конца процесса возрастает в 4,3 раза, что вряд ли может быть согласовано с предыдущими технологическими операциями.
м/мт
Рис. 2. Эволюция распределения содержания влаги при режиме намотки co=const (а) и U=const (б) Fig. 2. Evolution of moisture content distribution at spooling regime co=const (a) and U=const (6)
На рис. 2 показан пример эволюции распределения содержания влаги в материале, состоящем из 15 слоев при Ri=0,5m и R2=0, Im. Относительное содержание влаги в исходном материале (по отношению к максимально возможному) принято равным 0,7. Приведены результаты расчетов для двух вариантов намотки: с постоянной угловой скоростью 1с"1 (а) и с постоянной
07
06
os
03
02
С 1
JJ ^ ® 1 \ iS* '' Т""***
JrJ гг ¡ч. ! !
Ji3 , г I ........... ........ 1 i х^
1 i j
1 i !
100
150
200 250
300
360 400
t, С
Рис. 3. Кинетика полного набора влаги при различных режимах намотки co=const (а) и U=const (б) Fig. 3. Kinetics of geotextile roll filling with moisture at different spooling regime co=const (a) and U=const (6)
Таким образом, предложенная модель позволяет оценивать влажностное состояние рулона.
как в процессе его намотки, так и после ее завершения и выбирать режимы намотки, благоприятные для предыдущих и последующих технологических операций.
Работа выполнена при поддержке гранта РФФИ № 12-08-97528 р центр а.
ЛИТЕРАТУРА
1. Мизонов В.Е., Костарев RB, Зайцев В.А. // Изв. вузов. Химия и хим. технология. 2013. Т. 56. Вып. 8. С. 120-122; Mizonov V.E., Kostarev V.V, Zaistev V.A. // Izv. Vyssh. Uchebn. Zaved. Khim. Khim. Tekhnol. 2013. V. 56. N 8. P. 120-122 (in Russian).
2. Бобков С.П., Войтко Ю.В. // Изв. вузов. Химия и хим. технология. 2009. Т. 52. Вып. 11. С. 126-128;
Bobkov S.P., Voiytko Yu.V. // Izv. Vyssh. Uchebn. Zaved. Khim. Khim. Tekhnol. 2009. V. 52. N 7. P. 126-128 (in Russian).
3. Болотов И.А., Мизонов B.E., Зайцев RA., Жуков П.В. //
Изв. вузов. Химия и хим. технология. 2010. Т. 53. Вып. 8. С. 97-99;
Bolotov I.A., Mizonov V.E., Zaitsev V.A., Zhukov P.V. //
Izv. Vyssh. Uchebn. Zaved. Khim. Khim. Tekhnol. 2010. V. 53. N 8. P. 97-99 (in Russian).
Кафедра прикладной математики
УДК 004.896
В.Ю. Волынский, Я.С. Стороженко
МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ПРОЦЕССА ТЕРМООБРАБОТКИ ПОЛОТЕННЫХ МАТЕРИАЛОВ В СУШИЛЬНО-ШИРИЛЬНОЙ МАШИНЕ
(Ивановский государственный химико-технологический университет) e-mail: vvolyn@mail.ru, Yakov.Storozhenko@gea.com
В статье предложен новый подход, основанный на теории нечетких нейронных сетей для моделирования процесса сушки полотенных материалов, на примере хлопчатобумажных тканей. Разработана гибридная сеть, позволяющая определять конечную влажность материала на выходе из сушильно-ширильной машины.
Ключевые слова: сушка, моделирование, хлопчатобумажная ткань, нейронная сеть
ВВЕДЕНИЕ
Математическое моделирование процесса сушки полотенных материалов в промышленных аппаратах связано со значительными трудностями. Это обусловлено наличием большого числа параметров (более 30-ти), которые оказывают влияние на кинетику процесса сушки и конечные параметры готового продукта. К таким параметрам чаще всего относят начальную влажность, температуру и теплофизические свойства обрабатываемых материалов; температуру и влажность теплоносителя, а также скорость и направление его движения по отношению к материалу; параметры окружающей среды и др. Несмотря на накопленный опыт по исследованию тепло- и мас-сопередачи для большого числа хлопчатобумажных материалов, в настоящее время построение точных математических моделей процесса термо-
обработки в сушильных машинах без дополнительных, иногда значительных, упрощений затруднено. Это приводит к выхолащиванию физического смысла решаемой задачи и, в конечном итоге, к недостаточной точности разрабатываемых моделей.
ОБОСНОВАНИЕ ВЫБОРА МАТЕМАТИЧСКОГО АППАРАТА
В настоящее время для решения задач прогнозирования конечных теплофизических параметров материалов, подвергающихся тепловой обработке в сушильных машинах различного типа, хорошо зарекомендовал себя математический аппарат [1-4], основанный на теории нейронных сетей, который не требует практически никаких ограничений на схематизацию процесса. Данный подход эффективно используется для управления сложными нелинейными объектами, аппроксима-
