Моделирование теплопроводности в кольцевой области с нестационар-ными краевыми условиями Текст научной статьи по специальности «Математика»

ского моделирования технологических процессов, например, интенсивного конвективного переме- 1 шивании сыпучей среды.

Таким образом, в работе рассмотрены раз-

2

личные режимы случайного переноса в условиях 2' сильной локальной неравновесности. Предложенная общая линейная интегральная модель перено- 3. са (5) и полученные с ее помощью уравнения (14), (19) позволяют с единых позиций описывать различные стохастические процессы химических 4' технологий. На основе анализа распределения (11) получены выражения, определяющие моменты распределения (13), доступные для эксперимен- 5. тального измерения, через ключевые параметры модели х0, Sq, В, В0. Это позволяет, при наличии опытных данных для конкретного процесса, установить числовые значения параметров модели и 6. положить ее в основу инженерного расчета.

ЛИТЕРАТУРА

Соболев С.Л. // УФН 1991. Т. 161. № 3. С. 5-28; Sobolev S.L. // Usp. Fis. Nauk. 1991. V. 161. N 3. P. 5-28 (in Russian).

Зеленый Л.М. // УФН. 2004. Т. 174. № 8. С. 810-850; Zelenyi L.M. // Usp. Fis. Nauk. 2004. V. 174. N 8. P. 810850 (in Russian).

Учайкин В.В. // ТМФ. 1998. Т. 115. № 1. С. 154-160; Uchaiykin V.V. // Theor. Math. Phys. 1998. V. 115. N 1. P. 154-160 (in Russian).

Чукбар К.В. // ЖЭТФ. 1995. Т. 108. № 5(11). С. 18751884;

Chukbar K.V. // Zhurn. Exper. Teor. Fis. 1995. V. 108. N 5(11). P. 1875-1884 (in Russian).

Бытев Д.О., Ивнев С.А., Кузнецов Д.И. // Изв. вузов. Химия и хим. технология. 2009. Т. 52. Вып. 1. С. 111-114; Bytev D.O., Ivnev S.A., Kuznetsov D.I. // Izv. Vyssh. Uchebn. Zaved. Khim. Khim. Technol. 2009. V. 52. N 1. P. 111-114 (in Russian).

Сиренек В.А., Антропова Т.В. // Физика и химия стекла. 2006. Т. 32. № 6. С. 106-111;

Sirenek V.A., Antropova T.V. // Fisika. i. Khimiya Stekla. 2006. V. 32. N 6. P. 106-111 (in Russian).

Кафедра прикладной математики и вычислительной техники

УДК 621.929

И.А. Болотов, П.В. Жуков, В.Е. Мизонов, С.А. Добротин, В.А. Зайцев

МОДЕЛИРОВАНИЕ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ В КОЛЬЦЕВОЙ ОБЛАСТИ С НЕСТАЦИОНАРНЫМИ КРАЕВЫМИ УСЛОВИЯМИ

(Ивановский государственный энергетический университет, Ивановский государственный химико-технологический университет) e-mail: [email protected]

Предложена ячеечная математическая модель эволюции температуры в кольцевой области при нестационарных краевых условиях. Модель может быть использована, чтобы описать нестационарное температурное поле в ролике с бегущим по его периферии локальным тепловым источником. Приведены расчетные примеры, демонстрирующие работоспособность модели и влияние параметров процесса на температурное поле.

Ключевые слова: ячеечная модель, теплопроводность, нестационарные краевые условия, вектор состояния, переходная матрица

При расчете оборудования для высокотемпературных процессов химической технологии и смежных отраслей возникает необходимость описывать температурное поле в кольцевой области с нестационарными краевыми условиями. Решение

такой задачи необходимо, например, при моделировании теплового состояния ролика рольганга или валка, взаимодействующего с горячим материалом. Схема этого процесса показана на рис. 1.

В окружающую среду

В охлаждающую жидкость

\

ЛШЪ

\

т

номерно распределенными по ее объему. Тепловое состояние сечения удобно представить матрицей запасов теплоты в ячейках:

Р12 ......

^22 ......

Qm =

,Qm1 Qm

Qm

(1)

Рис. 1. Тепловые потоки во вращающемся ролике (а) и его ячеечное представление (б) Fig. 1. Heat flows in a rotating roller (a) and its cell representation

(б)

Ролик вращается вокруг неподвижной оси и контактирует с горячей полосой материала, поглощая теплоту в зоне контакта, которая перемещается по окружности ролика. Одновременно в более широкой, но тоже локальной зоне в окрестности контакта теплота передается путем излучения. С внешней поверхности ролика теплота передается окружающей среде путем теплоотдачи, а с цилиндрической внутренней поверхности - охлаждающей жидкости, циркулирующей вдоль оси ролика. Обычно длина ролика значительно превышает его диаметр, а расход охлаждающей жидкости устанавливается таким, что ее температура лишь незначительно меняется по длине ролика. Все это позволяет, по крайней мере, в первом приближении ограничиться плоской моделью теплового состояния. Аналитическое решение такой задачи не представляется возможным, а из численных методов целесообразно отдать предпочтение ячеечной модели, хорошо зарекомендовавшей себя при описании процессов переноса [1, 2].

В соответствии с этой стратегией моделирования сечение ролика представлено двухмерной цепью ячеек в полярных координатах (n ячеек по радиусу и m секторов ячеек по окружности), где в каждой ячейке все ее параметры считаются рав-

которая должна быть преобразована для дальнейших операций в вектор-столбец размером тпх1 со сквозной нумерацией ячеек по столбцам, начиная с первой,

0=Юп Q21 ... Qm1 Ql2 ... Ош]^

= ^1 Q2 ... Q(mn)]T, (2)

где индекс «Т» означает транспонирование.

Такая специфика формирования ячеек приводит к тому, что запасы теплоты в ячейках не пропорциональны их температурам, так как ячейки имеют неодинаковый объем. Считая высоту цилиндра равной единице, отождествим объем ячейки с ее площадью в плане:

FiJ=riAфAr, (3)

и представим совокупность всех площадей матрицей Еш или получаемым из нее по правилу (2) вектором Е. Тогда матрица температур может быть рассчитана по матрице запасов теплоты следующим образом:

tm=Qm/(pcFm), (4)

где р - плотность, а с - удельная теплоемкость материала ролика.

Эволюция теплового состояния ролика фиксируется через малые дискретные промежутки времени Ат, а текущее время рассчитывается как тk=(k-1)Дт, где к - номер временного перехода. Для теплоизолированного сечения кинетическое уравнение процесса имеет вид:

Qk+l=pQk (5)

где переходная матрица Р имеет размер (тп)х(тп) и описывает доли теплоты, переносимые в течение Дт из данной ячейки в окружающие ее соседние. В соответствии с рис. 1 такие переносы возможны к периферии (доля рД к центру (рД вперед по окружности (р^) и назад по окружности (рь). Для прямоугольной ячейки вдоль стороны Дх в соответствии с законом Фурье доля переносимой теплоты рассчитывается как аДт/Дх2, где а=Х/(рс) - коэффициент температуропроводности, в котором X, р и с - теплопроводность, плотность и теплоемкость материала соответственно [2, 3]. Однако для используемых ячеек в виде кольцевых секторов необходимо ввести поправки, поскольку в радиальном направлении площади входа теплового потока в ячейку и выхода из нее различны [3]. С учетом этих поправок переносимые доли теплоты имеют вид:

а

Ar

P«= a ^

Ar j a ^

1 + -

1 --

Ar

1 / Ar

2r

Pfij

= a-

Ar

(ri A ф)1 Ar

Pbij = a"

(6)

(7)

(8) (9)

t,

1.5,-" 1

-1 -1

-1 -1

ных т ячеек подведен тепловой источник. Тогда в течение временного перехода к ней будет переда-

но количество теплоты:

AQksm=ac(ts - tnk)AFcAx,

(10)

(Г; Аф)2

Размещенные на главной диагонали матрицы доли остающейся в ячейке в течение временного перехода теплоты рассчитываются как единица минус сумма всех остальных долей переходов в каждом столбце.

Модель (1)-(9) описывает перераспределение теплоты и температуры в теплоизолированном круговом сечении. Пример эволюции распределения температуры в таком сечении при неравномерном начальном нагреве показан на рис. 2. Проходя сложные промежуточные стадии, асимптотически устанавливается равномерное распределение температуры.

где ас - коэффициент контактного теплообмена, ^

к

- температура теплового источника, ^ - температура ячейки в к-ом состоянии, AFc - площадь контакта. Запас теплоты в ячейке после этого перехода составит:

дтк+1=дк+д\т. (11)

Затем эта теплота распределяется между другими ячейками матрицей Р. Выражение (11) может рассматриваться как функция источников теплоты в ячейках, локализованная здесь в одной ячейке.

В базовой расчетной схеме рис. 1 получаемая от источника теплота отдается окружающему воздуху с периферии сечения и охлаждающей жидкости по окружности центрального отверстия, то есть в общем случае рассматривается теплопроводность с краевыми условиями третьего рода не в круге, а в кольце. Учет этой теплоотдачи также может быть выполнен через функции (векторы) источников теплоты в крайних кольцах ячеек:

<^кш=аю(1т(1,:)к - ТО ^АфД, (12)

к <^кк2=ая2(1т(т,:)к - ТА) Я2АфД^ (13) где ЛQ ш и ЛQ и - векторы источников (стоков) теплоты в ячейках внутреннего и внешнего кольца ячеек, аЯ1 и аЯ2 - коэффициенты теплоотдачи от ролика к охлаждающей жидкости с температурой ^ и окружающему воздуху с температурой 1т(1,:)к и 1т(п,:)к - векторы, соответствующие верхней и нижней строке матрицы температур (4) в к-ом состоянии, R1 и R2 - внутренний и внешний радиусы кольца.

Векторы источников и стоков могут быть объединены в матрицы размером пхт, когда матрицы конвективного охлаждения и нестационарного теплоподвода примут вид:

AQmkut

AQk

R1

0 0

Рис. 2. Эволюция начального распределения температуры в теплоизолированном круге (а=0,003м2/с, R2=0,1m, Ат=1с) Fig. 2. Evolution of initial temperature distribution in the heat insulated circle (а=0.003т2^, R2=0.1m, Ax=1s)

Рассмотрим различные варианты подвода внешней теплоты. Пусть к одной из периферий-

AQmk, =

0 0

AQR2 0 ... 0 ...

(14)

0 0

^►AQk—0

(15)

где в матрице (15) единственный ненулевой элемент перемещается от перехода к переходу в нижней строке.

Введенные обозначения позволяют записать основное уравнение кинетики процесса в виде компактного рекуррентного матричного равенства:

Qk+l=P(Qk + AQkin - AQkOUt), (16)

где ЛQ in и AQ „^ - векторы столбцы размером (пт)х1, получаемые из матриц (14), (15) путем размещения их столбцов последовательно друг под другом.

Пример эволюции распределения в этом, достаточно общем случае показан на рис. 3, где температура обеих окружающих сред принята равной нулю, а температура источника - единице.

-1 -1

-1 -1

-1 -1

-1 -1

ных термических напряжений в ролике, влияющих на надежность и долговечность его работы.

На рис. 4 показана цикличность изменения температуры точки ролика на его внешней и внутренней поверхности при различных скоростях вращения. С ростом скорости температура периферии диска выравнивается, а ее среднее значение снижается, так как уменьшается время контакта ролика с материалом.

t

Рис. 3. Эволюция распределения температуры при перемещающемся по окружности локальном источнике и внутренней и внешней теплоотдаче Fig. 3. Evolution of temperature distribution under running over circumference local heat source and internal and external heat

Из графиков видно, что асимптотическое распределение является нестационарным: по ячейкам в угловом направлении движется возмущение температуры, которое резко выражено для периферийных ячеек, но быстро затухает по радиусу. Разные условия охлаждения на внешнем и внутреннем радиусе приводят, однако, к значительному перекосу температуры в радиальном направлении. В сочетании с заметной нестационарностью температуры в периферийной зоне кольца это приводит в возникновению значитель-

Кафедра прикладной математики

Рис. 4. Пульсации температуры внешней (— ) и внутренней

(---) точки ролика при различных скоростях вращения

Fig. 4. Temperature pulsation at the external (— ) and internal (-- -) point of the roller at different speed of rotation

Таким образом, разработанные средства моделирования нестационарного, неосесиммет-ричного теплопереноса во вращающихся телах позволяют описывать изменение распределения температуры в широком ряде технологических процессов и находить рациональные (оптимальные) условия работы оборудования.

ЛИТЕРАТУРА

1. Berthiaux H., Mizonov V., Zhukov V. // Powder Technology. 2005. V. 157. P. 128-137.

2. Болотов И.А., Мизонов В.Е., Зайцев В.А., Жуков П.В.

// Изв. вузов. Химия и хим. технология. 2010. Т. 53. Вып. 8. C. 97-99;

Bolotov I.F., Mizonov V.E., Zaitsev V.A., Zhukov P.V. //

Izv. Vyssh. Uchebn. Zaved. Khim. Khim. Tekhnol. 2010. V. 53. N 8. P. 97-99 (in Russian).

3. Мизонов В.Е., Зайцев В.А., Волынский В.Ю., Бобков

С.П. Моделирование, расчет и оптимизация тепломассо-обменных процессов в текстильной промышленности. Иваново. ИГХТУ. 2010. 204 с.;

Mizonov V.E., Zaitsev V.A., Volynskii V.Y., Bobkov S.P.

Modeling, calculation and optimization of head and mass transfer processes in textile industry. Ivanovo. ISUCT. 2010. 204 p. (in Russian).