CC BY
24
Процессы и аппараты химических и других производств. Химия
УДК 66.021.4:519.711.2
НЕЛИНЕЙНАЯ МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ ВЗАИМОСВЯЗАННОГО ТЕПЛОМАССОПЕРЕНОСА В ПЛОСКОМ СЕЧЕНИИ ПРОИЗВОЛЬНОЙ КОНФИГУРАЦИИ В.Ю. Волынский, В.А. Зайцев, В.Е. Мизонов
Ивановский государственный химико-технологический университет, Ивановский государственный энергетический университет
Представлена членом редколлегии профессором В.И. Коноваловым
Ключевые слова и фразы: взаимосвязанный тепло- и массоперенос; математическая модель; нелинейная модель; цепь Маркова; ячеечная модель.
Аннотация: Предложена ячеечная модель для решения уравнений теплопроводности и диффузии в плоском сечении произвольной конфигурации. Модель обобщена на случай переменных, зависящих от параметров состояния теплофизических свойств материала, что значительно расширяет возможности адекватного описания процессов тепломассообмена.
В настоящей работе объектом математического моделирования являются плоские задачи тепломассопереноса для фигур, ограниченных произвольным контуром. Эти модели могут быть использованы для описания термической обработки однородных или составных цилиндрических тел, у которых высота значительно больше характерного размера основания, точнее, у которых площадь боковой поверхности значительно больше площади основания. Конечно, модели могут использоваться и для более или менее коротких цилиндрических тел, но возникающая при этом реальная трехмерность процесса будет вносить все большее отклонение от прогнозов по плоской модели. Использование для описания этих процессов ячеечных моделей позволяет рассматривать их в наиболее общей постановке (включая моделирование переменности свойств материала).
Для описания построения модели выберем сетку небольшого размера: 3 строки и 4 столбца (рис. 1). Разнеся ячейки на плоскости с целью нанесения стрелок, соответствующих потокам тепла, получим окончательную ячеечную модель сечения.
Распределение температуры по ячейкам выбранного плоского сечения может быть описано матрицей
0 1 0 Tl3 1 0
M II 0 T22 T23 T24
T3l T32 T33 I
которая, однако, для описания кинетики изменения температуры должна быть переформирована в вектор-столбец
Т = [0 0 Т31 0 Т22 Т32 Т13 Т23 Т33 0 Т24 Т34 ^ (2)
Материал
Сечение материала
j = 1 2 3 4
Л
4}
Сетка сечения
(Р
Рис. 1 Переход от объекта к ячеечной модели плоского сечения
в котором столбцы матрицы расположены последовательно друг под другом. При произвольном числе строк п и столбцов т в матрице (1) размер этого вектора составляет (пт х 1).
В двухмерной цепи ячеек присутствуют ячейки, принадлежащие к сечению (затемнены), и пустые. Между затемненными ячейками необходимо поставить стрелки в направлении возможных переходов теплоты. Таким образом, на сетке ячеек появляются стрелки переходов вперед, назад, вверх и вниз, вероятности которых в общем случае равны рг, рь, ри и рЛ, соответственно. В предположении об изотропной (не зависящей от направления) теплопроводности все эти вероятности равны dt, где
X ДХ Дт (3)
dt
cp Ax2
Ax2
безразмерный, а
cp
(4)
размерный коэффициенты температуропроводности.
Матрица переходных вероятностей для температуры в теплоизолированном сечении имеет вид
Рт =
1 0 0 - 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 Ps 0 0 Pb 0 1_ 0 0 0 0 0
0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 Ps Pu 0 Pb 0 0 0 0
0 0 Pf 0 Pd Ps 0 0 Pb 0 0 0
"0 0 0 0 0 0 Ps Pu 0 0 0 "0"
0 0 0 0 Pf 0 Pd Ps Pu 0 Pb 0
0 0 0 0 0 Pf 0 Pd Ps 0 0 Pb
0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0
0 0 0 0 0 0 0 Pf 0 0 Ps Pu
0 0 0 0 0 0 0 0 Pf 0 Pd Ps
(5)
a =
Это блочная матрица размером (т х т) блоков, где внутренние матрицы имеют размер (п х п). Матрицы, размещенные на главной диагонали, описывают переходы между строками в столбцах. Матрицы, примыкающие к главной диагонали, описывают переходы между столбцами в строках вперд и назад, соответственно. Это диагональные матрицы. Сумма всех элементов в каждом столбце матрицы РТ должна быть равна единице (условие нормировки). Из этого условия вычисляется доля тепла, остающаяся в ячейке за один переход, как разность между единицей и всеми остальными вероятностями переходов. Поскольку, в силу изотропности, все вероятности переходов считаются равными dt, то наименьшая доля остающегося тепла (в ячейке со всеми четырьмя разрешенными переходами) равна (1- \й). Поскольку ни одна из вероятностей не должна быть отрицательной, следует ограничение ^ < 0,25. Сумма вероятностей по строкам матрицы РТ также равна единице, что обеспечивает асимптотически равномерное распределение температуры.
Для моделирования внешнего теплообмена будем рассматривать тепловой поток из окружающей среды как источники тепла в периферийных ячейках сечения.
Допустим сначала, что все параметры процесса (коэффициент теплоотдачи а, плотность р и теплоемкость материала с) постоянны как по сечению материала, так и по времени. Тогда тепловой баланс в ячейке ] при конвективном тепловом потоке только по х имеет вид
pAx2c(TjX+1 - Tjk) — a(Tg - T.)At;
(б)
откуда следует, что прирост температуры в этой ячейке из-за теплового потока по х составит
k
aAt
где
IJ pcAx g IJ aAt
(Tg -T.) — Tjk + at(Tg -Tj)
at —-
pcAx
(7)
(8)
безразмерный коэффициент, характеризующий как теплоотдачу, так и теплоемкость ячейки.
Аналогично рассчитывается изменение температуры из-за теплового потока по у, а ее полное изменение будет равно
Z’k ____ rpk і rp.
ijQ — TiiX + Ti
l>jQ
к
nk
ijX^4jY-
(9)
Однако, можно заметить, что слагаемые в принятой постановке задачи при квадратных ячейках одинаковы, а их количество зависит от числа сторон ячейки, контактирующих с газом. Матрица источников для сечения, показанного на рис. 1, имеет вид
0 0 3T13Q 1 0
0 2T22Q 0 2T24Q
2T31Q 0 0 I
(10)
а, будучи преобразованной в вектор-столбец, становится
т0 —
0 0 2T3
к
31Q
0 2T2
к
22Q
0 3T1
13Q
0 0 0 2T2
к
24Q
3T3k4Q ]'
(11)
Т аким образом, эволюционное уравнение для температуры приобретает вид
Тк+1 = РтТк + Тд , (12)
который является основой расчетной процедуры моделирования.
Другая форма представления кинетики прогрева (через степень зачерненно-сти ячеек на плоском графике) показана на рис. 2 и рассчитана для гораздо большего числа ячеек: размерность цепи равна 6 х 10 (рис. 2, а). В программе расчета необходимо только задать новую матрицу формы фигуры, которая легко строится по ячеечной модели формы фигуры, показанной на верхнем левом графике.
На рис. 2, б показана кинетика прогрева наиболее удаленной от поверхности теплообмена ячейки фигуры, обозначенной на чертеже ее формы буквой А. Поскольку все остальные ячейки прогреваются быстрее, эта кривая может служить критерием степени прогрева всей фигуры и определения продолжительности процесса.
Если необходимо учесть и лучистый теплообмен, то в матрицу (вектор) источников просто необходимо добавить слагаемые, соответствующие этому потоку.
При наличии в сечении диффузионных процессов (например, диффузии влаги к периферии при сушке) их описание также базируется на кинетическом уравнении вида (12), естественно, с соответствующими свойствами и коэффициентами переноса.
Не составляет труда развить предложенную модель на описание связанных процессов тепло- и массопереноса. В частности, учет термодиффузионной составляющей приводит к системе равенств
Tk+1 = РТ Гк + Г1^, (13)
Ц^1 = Ри Цк + Цкм +£.*(Гк+1 -Г14), (14)
где є = 5рсД, 5 - термодиффузионный коэффициент; и - вектор распределения
концентрации диффундирующего вещества в теле; РЦ - матрица переходных ве-
роятностей для концентрации, правила построения которой полностью аналогичны правилу построения матрицы РТ, .* - умножение векторов поэлементное.
форма сечения
Ж
2468 10 2468 10 2468 10
(=29
2468 10 2468 10 2468 10
6| I I I ■ "I I I I ■ «-200
. .Л. 4.ЯЁ
2468 10 2468 10 2468 10
а)
Номер перехода б)
Рис. 2 Распределение температуры по сечению в различные моменты времени (а) и прогрев точки А сечения (б) (йг = 0,1; а = 0,2)
к
т
A
Таким образом, предложенная модель позволяет описывать тепломассообменные процессы в плоском сечении произвольной конфигурации.
Важной особенностью процедуры (13) и (14) является то, что элементы переходных матриц РТ и Ри (йь и йи - безразмерный коэффициент диффузии влаги) зависят от термодинамических и теплофизических свойств материала и могут корректироваться на каждом переходе в зависимости от температуры и влагосо-держания ячеек. Это позволяет на той же алгоритмической основе описывать нелинейные процессы, когда Рт = 1"(^(Т, И)) и Ри = 1^Ц(Т, И)).
Пример результатов расчета по нелинейной модели прогрева сечения показан на рис. 3. В расчет были заложены следующие теплофизические свойства материала (силикатного кирпича): рс = 1900 кг/м3; сс = 0,84 кДж/(кг-град); с„ = 4,2 кДж/(кг град); w0 = 20 %. Расчеты выполнены для четырех условий моделирования: собственно нелинейный процесс с а и а,, пересчитываемыми на каждом переходе в соответствии с текущими значениями влажности; линейный процесс с ^ = 0,1 и а, = 0,2, соответствующими сухому материалу; линейный процесс с ^ = 0,05 и а, = 0,1, соответствующими постоянной начальной влажности в 20 %; линейный процесс с а, = 0,075 и а, = 0,15, соответствующими среднеарифметическим значениям для этих коэффициентов переноса.
Очевидно, что результаты расчета по линейной модели с предельными значениями коэффициентов (2 и 3) существенно отличаются от результатов расчета по нелинейной модели. Линейная модель со среднеарифметическими значениями коэффициентов дает более близкие к нелинейной модели результаты, но скорость прогрева остается завышенной (4).
Таким образом, разработана математическая модель диффузии в плоском сечении произвольной конфигурации с граничными условиями 3-го рода и на ее основе - модель сушки материала, в том числе, для протекания связанных процессов тепло- и массопередачи. Разработанная модель обобщена на случай переменных, зависящих от параметров состояния теплофизических свойств материала, то есть, разработана нелинейная модель тепломассообмена в плоском сечении произвольной конфигурации.
Та
Рис. 3 Кинетика прогрева ячейки А при переменных (1) и постоянных (2 - 4) теплофизических свойствах среды:
2 - а, = 0,05; 3 - а, = 0,1; 4 - а, = 0,075
Non-linear Mathematical Model of Interconnected Heat and Mass Transfer in Flat Section of Optional Configuration
V.Yu. Volynsky, V.A. Zaitsev, V.E. Mizonov
Ivanovo State Chemical Technological University,
Ivanovo State Energy University
Key words and phrases: interconnected heat and mass transfer; mathematical model; non-linear model; Markov’s chain; cell model.
Abstract: Cell model to solve the equations of heat diffusivity and diffusion in flat section of optional configuration is proposed. The model is generalized in case of variables dependent on condition parameters of materials thermo-physical properties, thus extending the possibility of adequate description of heat and mass transfer processes.
Nichtlineares mathematisches Modell der untereinanderverbundener Warmemassenubertragung im flachen Schnitt der willkurlichen Konfiguration
Zusammenfassung: Es ist das Zellenmodell fur die Losung der Gleichungen der Warmeleitfahigkeit und die Diffusion im flachen Schnitt einer willkurlichen Konfiguration angeboten. Das Modell ist im Falle der Variablen, die von den Parametern des Zustandes der warme-physikalischen Eigenschaften des Materials abhangig sind, verallgemeinert. Das verbreitet bedeutetnd die Moglichkeiten der adaquaten Beschreibung der Prozesse der Warmemassenaustausch.
Modele mathematique non-lineaire du transfert de masse et de chaleur mutuellement lie dans une section plane de la configuration arbitraire
Resume: Est propose un modele pour la solution des equations de la conductibilite thermique et de la diffusion dans une section plane de la configuration arbitraire. Le modele est generalise pour le cas des variables dependant des parametres de l’etat des proprietes thermophysiques du materiau ce qui elargit considerablement les possibilites de la description adequate des processus du transfert de masse et de chaleur.
