Моделирование поглощения жидкости плавающим на ее поверхности пористым цилиндром Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 621.929

Н.Л. Овчинников, Л.Н. Овчинников, В.Е. Мизонов

МОДЕЛИРОВАНИЕ ПОГЛОЩЕНИЯ ЖИДКОСТИ ПЛАВАЮЩИМ НА ЕЕ ПОВЕРХНОСТИ

ПОРИСТЫМ ЦИЛИНДРОМ

(Ивановский государственный химико-технологический университет, Ивановский государственный энергетический университет) e-mail: mizonov46@mail.ru, ovchinnikovnl1972@newmail.ru

Предложена ячеечная математическая модель вынужденной диффузии жидкости в плавающий на ее поверхности пористый цилиндр через дугу контакта цилиндра с жидкостью. Описаны эволюции концентрации жидкости в сечении цилиндра и кинетика ее полного поглощения при различных числах Пекле.

Ключевые слова: пористый цилиндр, ячеечная модель, переходная матрица, распределение концентрации, кинетика поглощения

Задача о поглощении жидкости плавающим на ее поверхности пористым телом актуальна для ряда химико-технологических и смежных процессов. В частности, она актуальна для расчета кинетики очистки поверхности воды от нефтепродуктов цилиндрическими гранулами пористого абсорбента. Для описания этого процесса необходимо решить задачу вынужденной диффузии жидкости в круговое сечение пористого цилиндра с краевыми условиями, заданными на дуге его контакта с жидкостью, которая определяется плавучестью цилиндра. Диффузия является вынужденной, поскольку заполняющая сечение жидкость подвержена действию силы тяжести, препятствующей ее проникновению. Аналитическое решение этой задачи невозможно, а среди численных методов целесообразно отдать предпочтение ячеечной модели, имеющей инженерную наглядность и позволяющей легко учитывать нелинейные эффекты, сопровождающие процесс.

Расчетная схема процесса и его ячеечное представление показана на рис. 1. Считается, что диффузия через погруженные в жидкость торцевые части цилиндра пренебрежимо мала. Круговое сечение разбито на т колец одинаковой ширины Аг и на п секторов с одинаковым углом Аф=271/п, в результате чего сформирована цепь тхп ячеек с различной по радиусу площадью сечения Ащ=^ДгАф, где г - средний радиус >го кольца.

Матрица Mm={Mij} характеризует распределение массы жидкости по ячейкам в некоторый момент времени. Соответствующая концентрация влаги в ячейке рассчитывается как СiJ=MiJ/ Aij, а ее распределение задано матрицей Сm={Сij}. Очевидно, что при равномерном распределении концентрации жидкости по сечению распределение ее массы по ячейкам не является равномерным, так как ячейки имеют разный объем. Матрицы со-

стояния Мт и Сm для дальнейших расчетов должны быть преобразованы в векторы-столбцы состояния М и С, в которых столбцы каждой матрицы расположены последовательно друг под другом и их элементам присвоена сквозная нумерация по столбцам от 1 до тхп.

Рис. 1. Расчетная схема процесса и условия переноса жидкости в выделенной ячейке Fig. 1. Computational scheme of process and transfer conditions of liquid in marked cell

Будем рассматривать состояние процесса через малые промежутки времени At. Тогда текущее дискретное время процесса определится как tk =(k-l)At, где k=l,2, ... - номер временного перехода. В течение k-го перехода жидкость перейдет из ячейки ij в окружающие ее ячейки благодаря чистой диффузии, которая считается однород-

ной и изотропной с коэффициентом диффузии D, и благодаря обусловленному силой тяжести конвективному (вынужденному) переносу, который характеризуется скоростью V и уже не является изотропным, так как в разных ячейках проекции этой скорости на радиальное и тангенциальное направление имеют разную величину и ориентацию. В частности, в верхнем полукруге конвективный перенос направлен к центру круга, а в нижнем - к его периферии.

В течение к-го перехода содержание жидкости в ячейках изменится в соответствие с рекуррентным матричным равенством

Мк+1=РМк, (1)

где Р - матрица переходных вероятностей, являющаяся основным оператором модели. Основные принципы ее построения изложены в [1,2]. Она имеет размер (тхп)х(тхп). Каждый ее столбец принадлежит к ячейке с номером ее сквозной нумерации. В этом столбце в строках с номерами ячеек, куда возможен перенос жидкости, размещены доли переносимой туда жидкости. Для показанной на рис.1 схемы эти доли рассчитываются следующим образом: если cosфJ > 0, то е=1, иначе е=0

С

если sin^j > 0, то е=1, иначе е=0

Pfij

At

PbS = Л „42

-1 -1

С

Н-

. дг дг т

ри=В —^ + (2)

рС1| = В^[1-|] + У^|со5^|(1-е); О) =1, иначе е=0

= (4)

|е • (5)

где для направлений переходов использованы индексы р - к периферии, с - к центру, f - по направлению ф, Ь - против ф.

Построенная таким образом матрица описывает эволюцию содержания жидкости в изолированном по периферии цилиндре. Для того, чтобы описать поступление жидкости в сечение, на дуге контакта необходимо поставить краевые условия. Ограничимся рассмотрением краевых условий первого рода, когда на этой дуге задана постоянная концентрация жидкости. Задание других краевых условий (например, массоотдачи от жидкости в контактирующей дуге цилиндра) не встречает никаких трудностей.

Пример эволюции распределения концентрации жидкости при ее проникновении в сечение цилиндра показан на рис. 2, где расчет выполнен для радиуса цилиндра 1 см и числа Пекле Ре=0,25.

-1 -1

Рис. 2. Эволюция распределения концентрации жидкости при ее проникновении в цилиндр при Ре=0,25 Fig. 2. Evolution of liquid concentration distribution during its penetration into the cylinder at Pe=0,25

Направление конвективного переноса соответствует показанному на рисунке направлению ускорения силы тяжести g. Значение концентрации на дуге контакта принято равным условной единице С0=1.

Общая поглощенная цилиндром масса жидкости за все время процесса составит

m п \ \ ' \

(6)

1=1 >1

При отсутствии конвективного переноса (Ре=0) асимптотически концентрация распределится равномерно, и все поры сечения заполнятся жидкостью с концентрацией С0. Поглощенная масса жидкости при этом будет максимальна M^max=C0лR2. При наличии конвективного переноса асимптотическое распределение концентрации будет иметь перекос в сторону действия массовой силы (нижний график на рис. 2), а поглощенная масса жидкости будет тем меньше предельной, чем больше число Пекле.

На рис. 3 показана расчетная кинетика поглощения жидкости цилиндром при различных числах Пекле. Из графиков видно, что с ростом

My /M

-X /Mymax

o.s

0.6 0.4 0.2

0

0'

-0,5_________

Q.75

500

1000 t

c

1500

Рис. 3. Кинетика поглощения жидкости цилиндром при различных числах Пекле Fig. 3. Kinetics of liquid absorption at various Peclet numbers

числа Пекле скорость поглощения и предельная поглощаемая масса жидкости снижаются, причем довольно значительно.

Таким образом, предложенная модель полностью описывает эволюцию распределения концентрации жидкости и кинетику ее поглощения плавающим на поверхности жидкости пористым цилиндром.

ЛИТЕРАТУРА

1. Berthiaux H., Mizonov V. // Canadian Journal of Chemical Engineering. 2004. V. 85. N 6. P. 1143-1168.

2. Болотов И.А., Жуков П.В., Мизонов В.Е., Добротин С.А., Зайцев В.А // Изв. вузов. Химия и хим. технология. 2012. Т. 55. Вып. 1. С. 104-107;

Bolotov I.A., Zhukov P.V., Mizonov V.E., Dobrotin S.A., Zaiytzev V.A. // Izv. Vyssh. Uchebn. Zaved. Khim. Khim. Tekhnol. 2012. V. 55. N 1. P. 104-107 (in Russian).

Кафедра процессов и аппаратов химической технологии, кафедра технологии керамики и наноматериалов

УДК 666.86

В.Е. Мизонов, Н.Н. Елин, А.В. Попелышко

ЯЧЕЕЧНАЯ МОДЕЛЬ ТЕПЛОВОГО СОСТОЯНИЯ ПОПЕРЕЧНОГО СЕЧЕНИЯ ТЕПЛОИЗОЛИРОВАННОГО ТРУБОПРОВОДА

(Ивановский государственный энергетический университет, Ивановский государственный архитектурно-строительный университет)

e-mail: mizonov46@mail.ru

Предложена ячеечная математическая модель для описания переходного теплового процесса в сечении теплоизолированного трубопровода при снижении окружающей температуры до отрицательных значений, вызывающих промерзание теплоизоляции. Показано, что удельная теплота фазового перехода значительно задерживает остывание транспортируемой жидкости. Приведены примеры расчета распределения температуры в различных сечениях трубопровода.

Ключевые слова: длинный трубопровод, поперечное сечение, тепловая изоляция, промерзание, распределение температуры

На химических предприятиях протяженность трубопроводов, транспортирующих различные жидкости, иногда исчисляется километрами, причем наиболее типична их наружная прокладка, когда трубопровод контактирует с окружающим воздухом. При его отрицательных температурах возникает проблема замерзания транспортируемой жидкости, которую решают нанесением на трубопровод теплоизоляции - материала с низкой

теплопроводностью. Приближенный расчет охлаждения жидкости при ее движении по трубопроводу может быть выполнен с помощью коэффициента термического сопротивления составной цилиндрической стенки, рассчитываемого из стационарного аналитического решения уравнения теплопроводности в цилиндрических координатах, когда стенка трубопровода и слой изоляции считаются термически тонкими. Этот подход дает