Ячеечная модель теплового состояния поперечного сечения теплоизолированного трубопровода Текст научной статьи по специальности «Физика»

My /M

-X /Mymax

o.s

0.6 0.4 0.2

0

0'

-0,5_________

Q.75

500

1000 t

c

1500

Рис. 3. Кинетика поглощения жидкости цилиндром при различных числах Пекле Fig. 3. Kinetics of liquid absorption at various Peclet numbers

числа Пекле скорость поглощения и предельная поглощаемая масса жидкости снижаются, причем довольно значительно.

Таким образом, предложенная модель полностью описывает эволюцию распределения концентрации жидкости и кинетику ее поглощения плавающим на поверхности жидкости пористым цилиндром.

ЛИТЕРАТУРА

1. Berthiaux H., Mizonov V. // Canadian Journal of Chemical Engineering. 2004. V. 85. N 6. P. 1143-1168.

2. Болотов И.А., Жуков П.В., Мизонов В.Е., Добротин С.А., Зайцев В.А. // Изв. вузов. Химия и хим. технология. 2012. Т. 55. Вып. 1. С. 104-107;

Bolotov I.A., Zhukov P.V., Mizonov V.E., Dobrotin S.A., Zaiytzev V.A. // Izv. Vyssh. Uchebn. Zaved. Khim. Khim. Tekhnol. 2012. V. 55. N 1. P. 104-107 (in Russian).

Кафедра процессов и аппаратов химической технологии, кафедра технологии керамики и наноматериалов

УДК 666.86

В.Е. Мизонов, Н.Н. Елин, А.В. Попелышко

ЯЧЕЕЧНАЯ МОДЕЛЬ ТЕПЛОВОГО СОСТОЯНИЯ ПОПЕРЕЧНОГО СЕЧЕНИЯ ТЕПЛОИЗОЛИРОВАННОГО ТРУБОПРОВОДА

(Ивановский государственный энергетический университет, Ивановский государственный архитектурно-строительный университет)

e-mail: mizonov46@mail.ru

Предложена ячеечная математическая модель для описания переходного теплового процесса в сечении теплоизолированного трубопровода при снижении окружающей температуры до отрицательных значений, вызывающих промерзание теплоизоляции. Показано, что удельная теплота фазового перехода значительно задерживает остывание транспортируемой жидкости. Приведены примеры расчета распределения температуры в различных сечениях трубопровода.

Ключевые слова: длинный трубопровод, поперечное сечение, тепловая изоляция, промерзание, распределение температуры

На химических предприятиях протяженность трубопроводов, транспортирующих различные жидкости, иногда исчисляется километрами, причем наиболее типична их наружная прокладка, когда трубопровод контактирует с окружающим воздухом. При его отрицательных температурах возникает проблема замерзания транспортируемой жидкости, которую решают нанесением на трубопровод теплоизоляции - материала с низкой

теплопроводностью. Приближенный расчет охлаждения жидкости при ее движении по трубопроводу может быть выполнен с помощью коэффициента термического сопротивления составной цилиндрической стенки, рассчитываемого из стационарного аналитического решения уравнения теплопроводности в цилиндрических координатах, когда стенка трубопровода и слой изоляции считаются термически тонкими. Этот подход дает

значительную погрешность при расчете переходных процессов и оказывается практически непригодным, если теплофизические свойства изоляции меняются при протекании процесса, например, из-за замерзания содержащейся в изоляции влаги. Целью настоящей работы является построение простой, но информативной модели теплового состояния сечения трубопровода, свободной от каких-либо ограничений на нестационарность и нелинейность протекающих в нем теплофизиче-ских процессов. Для этого выбрана стратегия ячеечного моделирования, хорошо зарекомендовавшая себя при описании смежных теплофизических процессов [1-3]. Ее расчетная схема и ячеечное представление выделенного элемента показаны на рис. 1.

ны параметры теплофизического состояния ячеек: 1 - вектор температур, М„ - вектор содержания влаги в ячейках, М1 - вектор содержания льда. Состояние процесса наблюдается через дискретные промежутки времени Ах в моменты времени пк=(к - 1)Дт, где к - номер временного перехода, являющийся целочисленным аналогом времени. Задачей моделирования является описание эволюции векторов состояния, начиная с их заданных начальных значений. Основным кинетическим уравнением процесса является рекуррентное матричное равенство 1к+1=р1(1к+ А1ек+Г(1к,1р)), (1)

где 1к и 1к+х - текущее и последующее через Ап распределение температуры по ячейкам, А^к - изменение температуры, вызванное действием внешних тепловых источников, 1(;к,1р) - корректировка температуры при наличии фазового перехода (замерзания влаги) с температурой Р1 -матрица теплопроводности для температуры.

Вектор изменения температуры от действия внешних тепловых источников А^к в рассматриваемом случае имеет ненулевые элементы только для ячеек с номерами т1+1 (теплоотдача от воды к внутренней стенке трубы) и т3 (теплоотдача от наружной поверхности изоляции к окружающему воздуху). Эти элементы рассчитываются по формулам

At

e,ml+l

awRA<P(ti-tkmM)AT

cii+iPkmi+irmi+i^A(P

Рис. 1. Расчетная схема поперечного сечения трубопровода и

ячеечное представление выделенного элемента Fig. 1. Computational scheme of the cross section and cell presentation of the separated element

Рассматривается осесимметричная теплопроводность в составной кольцевой области с нестационарными краевыми условиями 3-го рода и возможными фазовыми переходами внутри третьего кольца, относящегося к тепловой изоляции. В рассматриваемой кольцевой области выделен сектор с углом Аф при вершине, разбитый по радиусу на m3 ячеек постоянной радиальной протяженности Ar=R3/m3 со средними радиусами rj= Ar(j - 0,5), j=1,2, ..., m3. Спецификой сформированной цепи ячеек является переменность их объема и поверхностей взаимодействия между ячейками, что должно учитываться при составлении балансовых соотношений.

Теплофизические свойства ячеек представлены в виде векторов-столбцов размером m3xl, например, к= {"/_.,} - вектор коэффициентов теплопроводности, с - вектор теплоемкостей, р -вектор плотностей и т.д. Аналогично представле-

ч,тЗ к к

(2)

(3)

СтэРтЗГтЗАгА<Р где а№ и аа - коэффициенты теплоотдачи от жидкости к стенке трубы и от наружной поверхности к к /изоляции к воздуху, ^ и ^ - в общем случае переменные температуры жидкости и окружающего воздуха.

Функция Г(1к,1р), учитывающая фазовые переходы, символизирует следующую операцию. Если происходит охлаждение j-й ячейки, к+1 к к+1 то есть ^ < ^ , и оказывается, что ^ и

Мук<М^ (замерзла не вся имевшаяся в j -й ячей, к+1 ке влага), то принимается, что ^ = 1;р, а теплота

АQPjk=Cj kpJk(tJk+1 — ^к)^АгАф идет на формирование твердой фазы (льда), масса которой в конце перехода составит

М1>+1 = Мчк +АQpJk/qp, (4)

где qp - удельная теплота замерзания влаги. Если окажется, что после очередного перехода Мук<М^ (замерзла вся влага), то М^1 приравнивается к М„о и фазовый переход в этой ячейке заканчивается, а дальнейшая эволюция теплоты и температуры в ней контролируется только матри-

к

цей теплопроводности. При нагреве ячейки, содержащей полностью или частично твердую фазу, идет противоположный процесс таяния льда, контролируемый в модели зависимостями, описанными выше.

При изменении фазового состояния влаги в ячейках их теплофизические свойства меняются, а в модели в зоне изоляции появляется окружность переменного радиуса, разделяющая зоны с замерзшей и капельной влагой. Поэтому векторы теплофизических свойств сред проверяются и корректируются на каждом временном переходе.

Матрица теплопроводности для температуры Pt строится для теплоизолированного сечения. Исходной структурой для ее построения является матрица теплопроводности для теплоты PQ, которая является трехдиагональной матрицей размером т3хт3. На ее главной диагонали расположены доли теплоты, остающейся в ячейках в течение текущего временного перехода, под ними - доли теплоты, переходящей путем теплопроводности вправо (в сторону окружающей среды), над ними - влево (в сторону теплоносителя). Объединяя правила построения такой матрицы для кольцевой области с однородными свойствами [1] и для прямоугольной области со скачками свойств [2], можно записать следующие формулы для расчета этих долей

3* ( .

Я

7-1

О--и

скр"

V

1-

А г 2г.

] у

Я

к (

О'-И.У

1 +

А г ~2г

з у

Лг

А г2 '

Аг

А г2

V,

(5)

(6)

(7)

Для перехода к расчету переходного процесса распределения температуры жидкости по длине трубы воспользуемся следующей упрощенной моделью. Пусть жидкость подается в трубу со скоростью V и смещается за один временной переход на расстояние Дх^Дт. Тогда перемещение зафиксированного от места подачи фронта жидкости составит хк=У1;к. На каждом временном переходе от жидкости массой р„ лК^Дт отбирается теплота, входящая в равенство (2), в результате чего температура жидкости снижается

Л+1 л )Аг

(8)

где множители в круглых скобках учитывают разницу в поверхностях ячейки, через которые переносится теплота справа и слева, а номера индексов у коэффициента теплопроводности адекватно учитывают скачок свойств при переходе через границу зон с разной теплопроводностью. В работе [1] показано, что матрица теплопроводности для температуры является транспонированной матрицей теплопроводности для теплоты, то есть Pt=PQТ. Таким образом, равенства (1)-(7) с описанными выше дополнительными действиями полностью описывают нестационарную нелинейную теплопроводность в кольцевом сечении. Можно отметить, что практически без ущерба для точности расчетов сама труба может быть исключена из рассмотрения, поскольку ее теплопроводность на несколько порядков выше, чем у изоляции, а толщина ее стенки много меньше других характерных радиальных размеров.

где индекс w относится к свойствам жидкости. Таким образом, в описанном подходе моделируемое кольцевое сечение на каждом временном переходе перемещается вместе с жидкостью на расстояние Дх, контактируя на каждом последующем переходе с все более остывающей жидкостью.

На рис. 2, 3 приведены примеры расчетного исследования процесса. Объектом моделирования является длинный трубопровод диаметром 200 мм со слоем теплоизоляции толщиной 30 мм с влагосодержанием 0,1 кг/кг, в который подается вода с температурой +10°С при температуре окружающей среды +10оС. Для того чтобы в иллюстрациях выявить все особенности процесса, принято, что окружающая температура скачком убывает до —20 °С. При этом считается, что теплопроводность изоляции с полностью замерзшей влагой в 2 раза больше, чем с капельной влагой.

На рис. 2 показана эволюция распределения температуры в теплоизоляции по длине трубопровода, начиная со скачка окружающей температуры, то есть на самой первой стадии процесса. Расчет ведется до охлаждения воды до 0 °С -места трубопровода, где начинается ее замерзание. Горизонтальные площадки на графике соответствуют протекающему в ячейках фазовому переходу - замерзанию содержащейся в изоляции капельной влаги. Этот переход происходит при 0 оС, и пока он не завершится, температура ячейки не меняется. Выделение теплоты фазового перехода (удельной теплоты замерзания) препятствует охлаждению воды на первой стадии процесса, и нулевая температура воды достигается на значительном удалении от входа.

На рис. 3 жирными линиями показано изменение температуры воды по длине трубопровода на первой стадии процесса при различных скоростях ее движения. Увеличение скорости потока приводит к пропорциональному удалению точки с нулевой температурой.

к

к

При принятой температуре окружающего воздуха постепенно замерзает вся содержащаяся в теплоизоляции влага и фазовые переходы в ней прекращаются, а единственным результатом промерзания остается двукратное увеличение теплопроводности изоляции. На рис. 3 тонкими линиями показано изменение температуры воды по длине трубопровода при полностью замерзшей в теплоизоляции влаге. Здесь нулевая температура воды достигается на гораздо меньшем удалении от входа, причем основной вклад в это уменьшение вносит не столько увеличившаяся теплопроводность, сколько отсутствие фазовых переходов, сопровождающихся выделением теплоты.

Рис. 2. Эволюция распределения температуры в теплоизоляции по длине трубопровода на первой стадии процесса Fig. 2. Evolution of temperature distribution in heat insulation along the pipeline at the first step of process

Приведенные примеры показывают работоспособность модели, что позволяет включать ее в более детальные задачи расчета теплового состояния трубопроводов. В частности, при более высокой температуре окружающей среды в установившемся режиме промерзает не вся теплоизо-

ляция, и она становится составной цилиндрической стенкой с меняющейся по длине границей между ее зонами с разными теплофизическими свойствами. Однако анализ этого процесса выходит за рамки настоящей статьи.

1 °С

vl \\

\ \ 1 \2 3

1 \ 2\\3

1000

2000

3000

4000 5000

x, м

Рис. 3. Изменение температуры жидкости по длине трубопровода на первой стадии процесса (жирные линии) и при полностью замерзшей в изоляции влаге (тонкие линии): 1 - V=0,5 м/с; 2 - 1 м/с; 3 - 1,5м/с Fig. 3. Variation of liquid temperature along the pipeline at the first step of process (bold lines) and at completely frozen moisture in heat insulation (narrow lines): 1 - V=0,5 m/s; 2 - 1 m/s; 3 - 1,5m/s

ЛИТЕРАТУРА

1. Berthiaux H., Mizonov V., Zhukov V. // Powder Technology. 157 (2005) 128-137.

2. Mizonov V., Berthiaux H., Arlabosse P., Djerroud D. // Granular Matter. 2008. V. 10. N 4. P. 335-340.

3. Бобков С.П. // Изв. вузов. Химия и хим. технология. 2009. Т. 52. Вып. 3. C. 109-114;

Bobkov S.P. // Izv. Vyssh. Uchebn. Zaved. Khim. Khim. Tekhnol. 2009. V. 52. N 3. P. 109-114 (in Russian).

8

6

4

2

0

0

Кафедра прикладной математики