CC BY
29X9TTI C9BRI T9NLIKL9R SISTEMININ H9LLININ ARA§DIRILMASI T9CRÜB9SÍNÍN M9NÍMS9DÍLM9SÍNÍN METODÍK SÍSTEMÍ
ÍBRAHÍMOV FÍR9DUN NADÍR OGLU
Azarbaycan Dövlat Pedaqoji Universitetinin §aki filialinin Tabiat fanlari va onlarin tadrisi texnologiyasi kafedrasinin müdiri, pedaqogika üzra elmlar doktoru, professor, §aki, Azarbaycan
SÜLEYMANOVA KÖNÜL QURBAN9LÍ QIZI
Azarbaycan Dövlat Pedaqoji Universitetinin §aki filialinin Tabiat fanlari va onlarin tadrisi texnologiyasi kafedrasinin ba§ müallimi, §aki, Azarbaycan
ÍSK9ND9ROVA TÜRKAY §AHÍN QIZI
Azarbaycan Dövlat Pedaqoji Universitetinin §aki filialinin Tabiat fanlari va onlarin tadrisi texnologiyasi kafedrasinin laboranti, §aki, Azarbaycan
Xülasa. Mdqalddd vurgulanir ki, mdcburi fann kimi "Cdbr"i öyrdnmdli olan tahsilalanlar ümumtdhsil maktabi kursundan amsallari R -haqiqi adadlar meydanindan götürülmü§ bir machullu birddrdcdli va ikimachullu iki xatti tanliklar sistemi ila tani§ olmu§lar, bunlarin halli yollarini öyranmi§lar, onlar amsallari V P meydanindan götürülmü§ n -machullu m -sayda xatti tanliklar sistemini, onun halli yollarini ara§dirmaq maqamina yeti§mi§lar. Onlar XCTS öyranilmasi, ara§dirilmasi prosesinda:
1)Verilan sistemin hallinin olub-olmadigini(yani sistemin birga olub-olmadigini) tayin etmak;
2)dgar verilan sistem birgadirsa, onda onun müayyan va qeyri-müayyan olmasina, ba§qa sözla, onun yegana, yaxud birdan gox sayda hallinin olub-olmadigini tayin etmak;
3)dgar sistem birgadirsa, onun bütün hallarini tapmaq kimi elementlari özünda ehtiva edan tacrübanin subyekti saviyyasina yüksalmalidirlar. Taqdim olunan materialda tanliklar sistemlarini hall etmak i§inda elementar gevirmalarin ahamiyyati diqqat markazina gakilmakla maxsusi olaraq vurgulanir ki, verilan sistemi hall etmak ügün elementar gevirmalar aparib onu özüna ekvivalent olan daha sada sistem §aklina salmaq olar.Tanliklar sisteminin hallinda alveri§li üsullardan biri sayilan Qauss üsulu mahz buna asaslanir. Maqalada "Xatti cabri tanliklar sisteminin hallinin ara§dirilmasi tacrübasinin manimsadilmasinin metodik sisteminin mazmun komponenti"na 1)xatti tanliklar sisteminin birgalik alamati(kriteriyasi), 2)bircins xatti tanliklar sistemi va bunun hallinin xassalari, 3)xatti bircins tanliklar sisteminin fundamental hallar sistemi, 4)bircins va bircins olmayan xatti tanliklar sistemlarinin hallari arasinda asililiqla bagli elementlar daxil edilir.
Agar sözlw. xatti sistem; bircins va bircins olmayan xatti tanliklar sistemi; sistemin matrisi, geni§lanmi§ matris; matrisin ranqi; kvadrat§akilli, ügbucaq§akilli, trapes§akilli sistem; ümumi va xüsusi hall; ekvivalentlik münasibati; elementar gevirma; fundamental hallar sistemi.
THE CONTENT COMPONENT OF THE METHODOLOGÍCAL SYSTEM OF MASTERING THE PRACTÍCE OF STUDYÍNG THE SOLUTÍON OF THE LÍNEAR
ALGEBRAÍC EQUATÍONS SYSTEM
Abstract. The article focuses that students who have to study "Algebra" as a compulsory subject from the general education school course were introduced a linear system with one variable and one equation, a linear system with two variables and two equations which coefficients are taken from R - the square of real numbers and they have learned the solution ways of these equation, so the students have reached the point of investigating linear systems with n variables and m equations which coefficients are taken from R - the square of real numbers. They in the process of studying and researching system of linear algebraic equation:
1) To determine whether the given system is consistent or inconsistent
ОФ "Международный научно-исследовательский центр "Endless Light in Science" PF "International Research Center "Endless Light in Science"
2) If the system is consistent to determine the system has a unique solution or infinitely many solutions
3) If the system is consistent, they must be raised to the level of a subject of experience that contains elements such as finding all its solutions. In the presented material, the importance of elementary transformations in solving systems of equations is highlighted in particular, it is emphasized that to solve the given system, elementary transformations can be carried out and it can be reduced to a simpler system equivalent to itself. This is based on the Gauss method, which is one of the most convenient methods of solving the system of equations. Elements related tol) compatibility criterion for a system of linear equations, 2) homogeneous system of linear equations, 3) fundamental solution of this homogeneous system of linear equations, 4) dependence between the solutions of systems of homogeneous and non-homogeneous linear equations are included in the article called "The content component of the methodological system of mastering the practice of studying the solution of the linear algebraic equations system ".
Key words: systems of linear equations, homogeneous and nonhomogeneous systems, matrix of equation, the augmented matrix, the rank of a matrix, square matrix, triangular matrix, trapezoidal matrix, an equivalence relation, elementary operation, system of fundamental solutions.
Tadqiqat movzusunun aktiialligi. Xatti cabri tanliklar sisteminin Cabr fanninin tadrisinda ahamiyyatli rolu danilmazdir. Ohamiyyatliliyi danilmaz olan Xatti cabri tanliklar sisteminin tacrubasi ila bagli zaruri elementlarin manimsanilmasinda talabalarin 9atinliklari movcuddur, onlarin alda etmi§ olduqlari naticalar yetarli deyildir. Qanaatimiza gora, bu arzuolunmaz hali §artlandiran sabablar sirasinda "Xatti cabri tanliklar sisteminin hallinin ara§dirilmasi tacrubasinin manimsadilmasinin metodik sistemi"nin optimal variantinin formala§dirilmamasi da vardir. Sozugedan metodik sistemin asasina qoyulmali olan paradiqmalar a§kar hala gatirilmami§dir. Odur ki, maqalanin movzusunun aktualligini iddia edirik.
Tadqiqat materiallari uzra uniiiiiiilasnialariii interpretasiyasi. Cabr fannini oyranmali olan tahsilalanlar umumtahsil maktabi kursundan amsallari R — haqiqi adadlar meydanindan goturulmu§
(ax + by = e
bir machullu birdaracali tanlik olan ax = b va ikimachullu iki xatti tanlik sistemi i , , ila
(cx + ay = j
tani§ olmu§lar, bunlarin halli yollarini oyranmi§lar[3;117]. indi onlar amsallari V P meydanindan goturulmu§ n —machullu m — sayda xatti tanliklar sistemini, onun halli yollarini ara§dirmaq maqamina yeti§mi§lar. Onlar bilacaklar ki, amsallari P meydanindan olan n —machullu m —sayda xatti cabri tanliklar sistemi
iaiiXi + ai2X2 + —+ amxn = bi
-21X1 + (1)(haradaki m,n e N, atj . bije P) §aklindaki sistema
amiXi + am2X2 + &mnxn
deyilir. Burada machullar, а^Ц = 1,m ,j = 1,n) amsallar b1,b2, ...,bm isa sarbast
hadlar adlanir. Baxilan sistemda i — ci tanliyin, 1 < i < m, yazili§ formasi a^Xi + at2X2 + ■■■ + ainxn = fy (atj ^ i — ci tanlikdaki xi dayi§aninin amsalidir, bi — i — ci tanliyin sarbast haddidir) va
ya qisa §akilda ^ij Xj =bj(burada i=1, m,j = 1,n kimidir.
iaiiXi + ai2X2
+ ■■■ + ainxn = 0
a?lXi + a22x2 + ■" + = 0 /„•, . /14 . . . .t ______________ (2) sistemina (1) sistemina uygun (va ya gatmlmi§ va ya
+ &m2x2 + + &mnxn 0
assosiativ) bircins sistem deyilir. Sistemda machullarin amsallarindan düzaldilmi§ düzbucaqli
- аца12 ■ ■ a1n
A = a21a22 ■ ■■ a2n
.ümi üm2
(3) cadvalina mxn öl9ülü (tipli) matris (m = n olduqda isa n — tartibli
f \ n
kvadrat matris) deyilir va A = (a¿j) kimi i§ara olunur. Bu matrisa sistemin asas matrisi deyilir. Sözügedan matrisa sarbast hadlar sütununu da alava etdikda alinan
a11a12 ■■■ a1n bi
В =
a21a22 ■•• a2n Ь2
(4) matrisina isa geni§lanmi§ matris deyilir.
Matrisda bir sirada üfüqi istiqamatda düzülmü§ bütün elementlar sistemi bu matrisin uygun satri, §aquli istiqamatda düzülan bütün elementlarin sistemi isa uygun sütunu adlanir. Masalan, 1 — ci satr
-aij 0-2} 0-3 j
Ai = (ai1,ai2, :.,ain), j — ci sütun isa AJ =
a
mj]
olur. (l)sistemi bazan
Xi
ainxn = bi(i = 1,2, :.,m) (1') §aklinda da yazilir (yera qanaat maqsadila). Sistemdaki ^ machullarinin onun tanliyinin hamisini eyniliya 9evira bilan = Ci(i = (l,n)) qiymatlarina sistemin halli deyilir.[4; 29]
Burada maxsusi olaraq vurgulanmalidir: sistemi hall etmak ela c1,c2,...,cn kimi nizamlanmi§ adadlar sistemi tapmaqdir ki, bunlari uygun olaraq machullarin yerina yazdiqda(x1 = c1,x2 = c2,...,xn = cn) sistemin har bir tanliyi eyniliya 9evrilir; tanliklarin eyniliya 9evrilmasi onlarin bu müvafiq qiymatlarda ödanmasi adlanir.
Hallin tarifindan talabalara bilavasita aydin olmalidir ki, XCTS-nin halli olan c1,c2,...,cn adadlari uygun olaraq x1,x2,...,xn machullarinin tanliklari ödayan qiymatlari oldugundan, bu adadlar nizamlanmi§ sistemdir va bu halla n — öl9ülü vektor kimi baxaraq onu §arti olaraq a = (c1, c2,..., cn) kimi göstarmak olar. Tadris prosesina davam olaraq a§agida özüna yer alan tarif taqdim edilir:
Tarif. Tanliklar sisteminin halli varsa, ona birga(yaxud uyu§an), halli yoxdursa ona birga olmayan(va ya uyu§mayan) sistem deyilir. Uyu§an sistemin yegana halli varsa, ona müayyan sistem, birdan 9ox sayda halli olarsa ona qeyri-müayyan sistem deyilir.
Tahsilalanlarin diqqatina 9atdirilmalidir ki, XCTS öyranilmasi, ara§dirilmasi prosesi a§agidaki masalalari aydinla§dirilmaqla alaqadardir:1)Verilan sistemin hallinin olub-olmadigini(yani sistemin birga olub-olmadigini) tayin etmak; 2)9gar verilan sistem birgadirsa, onda onun müayyan va qeyri-müayyan olmasina, ba§qa sözla, onun yegana, yaxud birdan 9ox sayda hallinin olub-olmadigini tayin etmak; 3)9gar sistem birgadirsa, onun bütün hallarini tapmaq [2;60-63].Verilan sistemin zahiri görünü§üna göra onu "düzbucaqli§akilli", "kvadrat§akilli", "ü9bucaq§akilli", "trapes§akilli" adlanan növlari farqlandirilir[3; 121]. Ba§qa sözla, s va n ixtiyari müsbat tam adadlari ü9ün
üiiXi + Ü12X2 + 0.13X3 + ••• + Q-ifrXfr + Q-i,k+1xk+1 + "" + a1,n-1xn-1 + a1nxn = bi a21x1 + a22x2 + a23x3 + •" + a2kxk + a2,k+1xk+1 + + a2,n-1xn-1 + a2nxn = b2 a31x1 + a32x2 + a33x3 + •" + a3kxk + a3,k+1xk+1 + •" + a3,n-1xn-1 + a3nxn = Ьз
as1x1 + as2x2 + as3x3 + + askxk + as,k+1xk+1 + + as,n-1xn-1 + a.
sistemi "düzbucaqli - sistem" , xüsusi halda s = n olanda
&1lXi + Яi2x2 + •" + a1kxk + + ^lnxn = a21x1 + a22x2 + •" + a2kxk + •" + a2nxn = ^2
snxn Ь
s }
an1x1 + an2x2 + + ankxk +
+ QnnXn Ьпу
'kvadrat sistem" ,
a.iiXi + Ü12X2 + 0.13X3 + ••• + aifrXfr + ^i,k+ixk+i + + ai,n-ixn-i + a1nxn = bi
a22x2 + a23x3 + •■■ + a2kxk + a2,k+1xk + 1 + + a2
a33x3 + + a3kxk + a3,k+1xk + 1 + + a3
akkxk + ak,k+1xk+1 + + ak,n-1xn-1 + aknxn = Ьк
a
n-1,n-1xn-1
+ &n-1,nxn Ь
n-1
&nnXn bn
sistemi "ü9bucaq - sistem" (burada aa ^ 0, i — 1n ) ,
G-11x1 + &i2x2 + а13х3 + •" + a1kxk + a1,k+1xk+1 + •" + a1,n-1xn-1 + alnxn = bi a22x2 + a23x3 + + a2kxk + a2,k+1xk + 1 + + a2 ,n-1xn-1 + &2nxn b2 a33x3 + + a3kxk + a3,k+1xk+1 + + a3 ,n-1xn-1 + &3nxn Ьз
akkxk + ak,k+1xk+1 + + ak,n-1xn-1 + aknxn = b¡
Jk .}
sistemi isa "trapes-sistem" adlanir (burada aü ^ 0, i = 1n ,k <n ). Burada qeyd etmak yerina dü§ar ki, tanliklarda i§tirak etmayan machullarin amsallari sifir sayilir.
A§kardir ki, bu sistemlarin amsallarindan düzalan matrislar da düzbucaqli, kvadrat, ü9bucaq va trapes§akilli matrislar olacaq. Bu sistemlarin geni§lanmi§ matrislar uygun olaraq
a11 a12 ■■■ ain bi a21 a22 ■•• a2n b2
^si &s2 ■•• bs
a11 a12 a13 ■■■ a1n bi 0 &22 a23 ■•• a2n b2 0 0 азз ■ азп Ьз
0
0
0 ■.. ar
br
a11 ai2—a1k— a1n bi a21 a22 ■•• a2k ■•• a2n b2
0 0
akk ■■■ akn b
kimidir. A§kardir ki, düzbucaq§akilli sistema (elaca da "kvadrat-sistema" ) nisbatan amsallardan xeyli sayda hissasi sifir olan ü9bucaq§akilli va trapes§akilli sistemlari hall etmak bir 90X cahatdan daha sadadir. Bela ki, masalan, ü9bucaq§aklilli sistemi hall etmak ü9ün sonuncu tanlikdan xn — tapilir va özündan avvalki tanlikda nazara alinir, an-ln-ixn-i + an-lncn —
— Cr,
bn-i, buradan isa xn-i —
bn-l-cnan- i,n
Cri_
n-i
n-2
müayyan olur. Tapilmi§ xn-i — cn-i qiymatlarini axirdan ü9üncü tanlikda yazmaqla xn-2 — с qiymatini va bu qayda ila sistemin ikinci va birinci tanliklarindan uygun olaraq x2 — c2 , xi — ci qiymatlari müayyanla§ir. Bununla "ü9bucaq - sistemin" xi — ct va ya (сi; c2; ■ ..; cn) kimi yazila bilan yegana halli tapilmi§ olur.
Tahsilalanlara bildirilir ki, agar sistem "trapes§akillidirsa" onda onu a§agidaki kimi hall etmak mümkündür. Sistemda xi ,x2 , „., xk machullari "asas machullar" , qalan xk+i ,xk+2 , ...,xn kimi n — к sayda machullari isa "sarbast machullar" adlandirib axirinci tanlikdan xk — ni sarbast machullardan asili olaraq tayin edilir:
xk
bk-ak,k+ixk+i-ak,k+2xk+2-----aknxn
akk
bk ak,k+i „
ñ ñ Xk+i
akk akk
a—xk+2-----~x
akk akk
burada sarbast machullara xk+i — dk+i, xk+2 — dk+2 , :.,xn-i — dn-i, xn — dn qiymatlarini vermakla xk machulu ü9ün uygun
_ bk xk — —
akk
ak,k+i akk
d
k+i
ak,k+2 akk
d
k+2
akk
qiymati tapilir. Bundan sonra ham sarbast
machullara verilmi§ qiymatlari, ham da xk asas machul ü9ün hesablanilmi§ uygun dk qiymatini sistemin sonundan avvalki(ikinci) tanliyinda yerina yazib xk-i asas machulu ü9ün
j
a-n-
n-i.n-i
_ bk-i-ak-i,kdk-ak-i,k+idk+i-----ak-i,ndn _ .
xk-1 — " — ak-1
ak-i,k-i
qiymati tapilir. Bu qayda ila davam edarak, axirda sistemin ikinci va birinci tanliklarindan uygun olaraq x2 va x1 asas machullar ü9ün x2 — d2, x1 — d1 qiymatlari hesablanir. Bununla da "trapes§akilli" sistemin d — (d1; d2; ...; dk; dk+1;...; dn) kimi bir halli tapilmi§ olur. [2; 64-65]
Talabalarin diqqatina 9atdirmaq garakdir ki, sarbast machullara verilan qiymatlar ixtiyari oldugundan burada hallin yeganaliyindan dani§maq olmaz. £ünki sarbast machullara istanilan qadar müxtalif qiymatlar vermakla, buna uygun qiymatlar tapmaq olar; demali, bu halda sistemin istanilan qadar halli vardir, yani sistem qeyri-müayyandir. Qeyri-müayyan sistemlarda ümumi va xüsusi hall anlayi§lari vardir. Daha aydin olmasi ü9ün trapes§akilli sistemi hall etdikda avvalca axirinci tanlikdan xk asas machulu xk+1, xk+2,..., xn sarbast machullari vasitasila bela ifada edilir:
_ bk ak,k+1 ak,k+2 akn
xk — xk+1 xk+2 xn.
Tahsilalanlara bildirilmalidir ki, burada sag tarafdaki ifada sarbast machullardan asili cabri ifadadir; bunu fk(xk+1,xk+2, .-,xn) kimi i§ara etdikda, xk machulu ü9ün sarbast machullarla ümumi §akilda xk — fk(xk+1,xk+2, .~,xn) ifadasi alinir, burada
fk(xk+1,xk+2, .,xn)= ~~ ~~xk+1 ~~xk+2 -----olur-
akk akk akk akk
xk-nin bu ifadasini yuxaridaki tanlikda yazib xk-1 asas machulunu sarbast machullarla cabri ifadasini, sonra isa bu ifadalari bundan yuxaridaki tanlikda yazib xk-2 asas machulunu sarbast machullarla ifadasini va s. nahayat, birinci tanlikda x1 machulunu xk+1,xk+2,... ,xn sarbast machullari ila ifadasini yazmaq mümkündür. Alinan naticalari
xi — fi(xk+vxk+2, .-,xn), i — (1,n) kimi göstarmak olar. xi+1,xi+2, ...,xn sarbast machullari ^k+1, %k+2,..., parametrlari ila avaz olunarsa, a§agidaki barabarliklar alinar:
<x1— fl(xk+1,xk+2, .■■ ,xn), x2 — Í2(xk+1,xk+2, .,xn),
xk — fk(xk+1,xk+2, — ,xn),
xk+1 — fk+1 (*) Xk+2 — Кk+2
xk+3 — %k+3
ч Xn —
Talabalarin diqqatina 9atdirmaq garakdir ki, (*) barabarliklar sistemina trapes§akilli qeyri-müayyan tanliklar sisteminin ümumi halli deyilir. Burada sarbast machullar ü9ün yazilan %k+v %k+2, parametrlari ixtiyari qiymatlar ala bilar(onu da qeyd etmak lazimdir ki, 9ox zaman mahz bu ixtiyari parametrlarin mövcudlugunu nazarda tutmaq §artila asas machullarin sarbast machullarla olan fi(xk+1,xk+2, ...,xn), ifadalari, i — (1,n) ümumi hall kimi saciyyalandirirlir). Ümumi hall üzra sarbast machullara verilan konkret qiymatlarla bunlara uygun olaraq asas machullara tapilan qiymatlara birlikda sistemin xüsusi halli deyirlar. [2; 67]
Talabalara aydin olmalidir ki, sarbast machullara parametrinin vasitasila i — (k + 1, n) istanilan qadar qiymatlar vermakla qeyri-müayyan sistemin istanilan sayda xüsusi hallarini tapmaq olur. Ba§qa sözla, xüsusi hallar odur ki, onlara ümumi halldan sarbast machullara ixtiyari qiymatlar vermak yolu ila alinir.
Nahayat, XCTS-nin bircins adlanan növü ila bagli bela bir masala qeyd edilmalidir: bircins sistem hami§a birgadir va onun he9 olmasa bir sifir adlanan Xi — %2 — *" —
— 0 halli hami§a
var( bu halli 9ox zaman "trivial hall" da adlandirirlar). Dogurdan da, sistema ötari bir nazar saldiqda
PEDAGOGICAL SCIENCES
a§kar görünür ki, orada xt = 0(i = (1,n) yazanda sistemin bütün tanliklari ödanir. Bu halli sifir vektor adlanan n-öl9ülü vektor-(0; 0; ...; 0) kimi göstarmak olar. [3;123-125]
■ Xatti cabri tanliklar sisteminin hallinin ara§dirilmasi tacrübasinin manimsadilmasinin metodik sisteminin mazmun komponentinin mühüm elementlarindan biri da "Tanliklar sisteminda ekvivalentlik münasibati va elementar 9evirma anlayi§i"-dir.
Tahsilalanlara bu elementla bagli informasiyanin ötürülmasina a§agida özüna yer alan tarifin taqdimati ila ba§lamaq faydali olar:
Tarif. Hallar 9oxluqlari tamamila üst-üsta dü§an iki XCTS-na ekvivalent sistemlar deyilir. Onlar bildirilmalidirlar ki, halli olmayan sistemlar bir-birina ekvivalent sayilir, 9ünki bunlarin hallar 9oxlugu eyni olub bo§ 9oxluqdur.
Riyaziyyatda iki obyektin(va ya obyektlar) ekvivalentlik münasibati"~" kimi i§ara edilir va o a§agidaki xassalarin vahdatini nazarda tutur:1)Refleksivlik xassasi: A~A(A obyekti özü-özüna ekvivalentdir); 2)Simmetriklik xassasi:(A~B) ^ (B~A)(ydni A obyekti B-ya ekvivalentdirsa, onda B-da A-ya ekvivalentdir); 3)Tranzitivlik xassasi:((A~B) A (B - C)) ^ (A~C)(A obyekti B-ya ekvivalentdirsa va B isa C ila ekvivalentdirsa, onda A obyekti C ila ekvivalentdir.
Tanliklar sisteminin ekvivalentliliyinin tarifindan bilavasita a§kar olur ki, bu ü9 xassa burada da dogrudur va maraq doguran mühüm bir masala ondan ibaratdir ki, verilan tanliklar sistemi üzarinda hansi 9evrilmalar aparilmalidir ki, yeni alinan sistem avvalkina ekvivalent olsun. "Elementar 9evirma" anlayi§i da mahz bu masala ila alaqadardir. Bela 9evirmalar 9oxdur, lakin adatan asas etibari ila elementar 9evirma dedikda a§agidakilar dü§ünülür:1)Sistemdaki tanliklardan har hansi birini sifirdan farqli bir adada vurmaq; 2)Sistemin har hansi bir tanliyini ixtiyari bir adada vurub naticani sistemin digar tanliyi ila toplamaq; 3)Sistemda i§tirak edan tanliklardan ixtiyari ikisinin yerini dayi§mak(tanliklari sistemda yenidan nömralamak). Buraya bazan machullari yenidan nömralamak, sistemda 0 • xx + 0 • x2 + —+ 0^ xn = 0 eyniliyi varsa, onu sistemdan kanar etmak kimi 9evirmalari da aid edirlar.
Bela bir vacib masaladan da yan ke9mak yolverilmazdir: har bir elementar 9evirmanin özünamaxsus tars elementar 9evirmasi var. Bu da ona sabab olur ki, verilan sistem üzarinda har hansi bir elementar 9evirma aparib ondan ikinci bir sistem alinirsa, onda ikinci sistem üzarinda buraya tatbiq edilan elementar 9evirmanin tarsini aparib yenidan birinci sistema qayitmaq olar. [7-9]
Tadris prosesina "Xatti cabri tanliklar sistemi üzarinda elementar 9evirma aparanda yeni alinan sistem avvalkina ekvivalent olur"- teoremin interpretasiyasi ila davam verilir.
Tahsilalanlara bildirilmalidir ki, elementar 9evirmalar apardiqda alinan yeni sistemi 9ox zaman avvalkinin "natica sistemi" adlandirirlar.Verilan iki tanliklar sisteminin ekvivalent olmalari ü9ün ikinci sistem birincinin, birinci sistem isa ikincinin naticasi olmalidir. [2; 69]
Talabalara aydin olmalidir ki, tanliklar sistemlarini hall etmak i§inda elementar 9evirmalarin ahamiyyati böyükdür. Bela ki, verilan sistemi hall etmak ü9ün elementar 9evirmalar aparib onu özüna ekvivalent olan daha sada sistem §aklina salmaq olar.Tanliklar sisteminin hallinda alveri§li üsullardan biri sayilan Qauss üsulu mahz buna asaslanir.[4]
■ Xatti cabri tanliklar sisteminin hallinin ara§dirilmasi tacrübasinin manimsadilmasinin metodik sisteminin mazmun komponentinin mühüm elementlarindan biri da "Xatti tanliklar sisteminin birgalik alamati(kriteriyasi)"-dir. "Xatti tanliklar sisteminin birgalik alamati(kriteriyasi)"nin manimsadilmasi prosesini a§agidaki kimi sistem halina gatirmakla hadaflanan naticani hasil etmak mümkün olur: Tutaq ki,
olmasini müayyan etmak lazim galir. Bunun ü9ün bu sistemin amsallarindan düzaldilmi§
(1) xatti tanliklar sistemi verilmi§dir. Indi bu sistemin uyu§an
A=
aii a2i ■■■ ain a2i a22—a2n
va geni§landirilmi§ B=
aii &i2—ain bi a2i a22 ■■■ a2n b2
aS2 ■.. as
Ьс
matrislari götürülür.
A matrisinin pillali §akli xatti tanliklar sisteminda bir 9ox suallara cavab verir. Masalan, bazis sütunlarinin se9ilmasi tanliklar sisteminin asas dayi§anlarinin se9ilmasi ila ekvivalentdir.
Bunlarin ranqlari uygun olaraq rA уэ rB kimi i§ara edilir. Har §eydan avval ümumi §akilda verilmi§ bela sistemin uyu§an olub-olmamasini aydinla§dirmaq, birgalik alamatini tayin etmak lazimdir. Bunu a§agidaki teorem müayyan edir.
Teorem ( Kroneker-Kapelli teoremi). n machullu s sayda xatti tanliklar sisteminin uyu§an olmasi ü9ün onun matrisi ila geni§lanmi§ matrisinin ranqinin barabar olmasi ham zaruri, ham da kafidir.
isbati. §artin zaruriliyi. Tutaq ki,(1) sistemi uyu§andir va onun xi — Xi,x2 — X2, ...,xn — Xn kimi halli vardir.Gostarak ki, onda rA — rB olmalidir. (Xi,X2, ■.., An)hallini sistemda uygun machullarin yerina yazsaq, aydindir ki, sistemin har bir tanliyi ödanilar va a§agidaki eyniliklar alinar: '&iiXi + üi2X2 + •■■ QinXn — bi
a2i^i + a22^2 + a2n^n b2 (2) barabarliklarindan göründüyü kimi, B matrisinin axirinci
bs
aslX-i + as2X2 +
sütunu(§aquli vektotru) A matrisinin sütunlarinin( §aquli vektorlarinin) xatti kombinasiyasidir, yani ß = (bi, b2;...; bs) vektoru
a1 = (ali:a21;...;asl)>a2 = (a12¡ a22;...;as2),-an = (a1n¡ a2n„..;asn), vektorlari ila ß =
X1a1 + X2a2 + —+ Xnan (3) kimi xatti ifada olunmu§dur. "n- öl9ülü vektorlar sistemina bu vektorlarin xatti kombinasiyasindan ibarat olan vektorlar qo§saq alinan yeni sistemin ranqi avvalkina barabar olur"-teoremina göra a1, a2,..., an sistemi ila a1, a2,..., an, ß xatti ekvivalent olub ranqlari bir-birina barabardir. Bu isa o demakdir ki, A va B matrislarinin ranqlari da eyni olmalidir: rA= rB.
§artin kafiliyi. indi farz edak ki, rA= rB = r. A-nin sütunlari eyni zamanda B-nin sütunlari oldugundan va B-nin da ranqinin r oldugundan da a§kar olur ki, A -nin maksimal xatti asili olmayan sütunlar sistemi ham da B-nin maksimal xatti asili olmayan sütunlaridir. Geni§lanmi§ B matrisi Adan ancaq sonuncu sütunu ila farqlanir. Onda B matrisinin axirinci sütununu maksimal xatti asili olmayan sütunlarin altsistemina qo§anda o sütunlarin xatti asili sistemina 9evrilar va B-nin sonuncu sütunu A -nin sütun vektorlar sistemi ila ifada edila bilar.Demali, ela r dana X1,X2, ...,Xn adadlari var ki, bu amsallarin kömayi ila B matrisinin ß = (b1; b2;... ;bs) §aquli vektoru qalan sütunlarin hamisi ila, yani a1, a2, ...,an §aquli vektorlari ila (3) §aklinda xatti ifada olunur( burada xatti asili olmayan altsistema daxil olmayan sütunlari da sifir amsallarin kömayi ila cama alava edirik).Buradan da (2) eyniliklari alinir ki, bu da X1,X2,.,Xn adadlarinin(l) sisteminin halli oldugunu göstarir. Demali, rA= rB , olanda sistemin halli var, o birgadir, uyu§andir. [1-2]; [7-12]
Talabalara bildirilir ki, isbat olunan bu teorem sistemin uyu§an olub-olmadigini aydinla§dirmaga imkan verir. Lakin uyu§an sistemi bilavasita neca hall etmak yolunu göstarmir. ixtiyari xatti cabri tanliklar sisteminin hallina aid a§agidaki ümumi qayda vardir:
l.Verilan sistemin matrisinin va geni§lanmi§ matrisinin ranqini hesablayirlar. 3gar bu matrislarin ranqlari müxtalifdirsa, demali: Sistem uyu§an deyil, onun halli yoxdur. 9gar bu ranqlar eyni olub ra barabardirsa, onda amsallari sifirdan farqli r-tartibli minorlardan birina, masalan D^ 0 minoruna daxil olan r sayda tanliyi saxlayib qalanini atirlar. Burada r = n olarsa, bu sistem biza tani§ olan n machullu n xatti tanliklar sistemidir va bunu, Kramer qaydasi ila hall edib, onun yegana hallini tapirlar. 9gar r <n olarsa, onda bu sistem qeyri-müayyandir va bu n machullu r xatti tanliklar sisteminda D(D ^ 0) minoruna daxil olan amsallara uygun machullari asas machul kimi sol tarafda saxlayib, qalan n — r machulu isa sarbast machullar adlandiraraq sag tarafa ke9irirlar.
2.Yena da Kramer qaydasi ila asas machullarin ifadasini tapirlar va bildiyimiza göra, buna sistemin ümumi halli deyirlar.
3.Sarbast machullara ixtiyari qiymatlar verarak, asas machullar ü9ün ümumi halldan uygun qiymatlar tapirlar.Bununla da verilmi§ sistemin xüsusi halli tayin edilir.
■ Xatti cabri tanliklar sisteminin hallinin ara§dirilmasi tacrübasinin manimsadilmasinin metodik sisteminin mazmun komponentinin mühüm elementlarindan biri da "Bircins xatti tanliklar sistemi va bunun hallinin xassalari"-dir. "Bircins xatti tanliklar sistemi va bunun hallinin xassalari"nin manimsadilmasi prosesini a§agidaki kimi sistem halina gatirmakla hadaflanan naticani hasil etmak mümkün olur:
Talabalara bildirilir ki, siz bircins xatti tanliklar sistemi ila tani§siniz: (XiiXi + (X12X2 + ■■■ + a1nxn — 0"
a21x1 + a22x2 + *" + a2nxn — 0
(1) va bu sistem hami§a uyu§andir va he9 olmasa
+ + """ + ^sn^n — 0
bir Xi — %2 — %%% — — 0(trivial) halli vardir. Bunun dogrulugunu Kroneker-Kapelli teoremi bir daha tasdiq edir. Bel a ki, bu sistemin matrisi A ila geni§lanmi§ B=A/0 matrisinin ranqlari hami§a eynidir(9unki B matrisindaki axirinci sutun elementlarinin hamisi sifir oldugundan bunun ranqi A-nin ranqindan farqlanmayacak): rA — rB — r.
Bircins sistemin sifirdan farqli(qeyri-trivial) hallari da ola bilar. Ranq anlayi§i bu masalaya aydinliq gatirir.
Tadris prosesina a§agidaki teoremin taqdim olunmasi ila davam verilmasi mantiqidir.
Teorem. r — n olduqda bircins xatti tanliklar sisteminin(l) yegana sifir halli, r < n olduqda isa sifir hallindan alava sifir olmayan hallari da vardir.
isbati. Dogrudan da, r — n olduqda determinanti sifirdan farqli olan n machullu n tanliklar
sistemi alinir, bunun da Kramer qaydasina gora (i — l,n ) kimi yegana halli vardir. (1)
sistemi u9un Dt(i — l,n ) determinantlarinin bir sutununun hokman sifirlardan (sarbast hadlar)ibarat oldugundan Di — 0 olur va ona gora da x1 — x2 — ■■■ — xn — 0.
r <n olduqda, aydindir ki, sistemda r sayda asas, n — r sayda sarbast machul olar. Sarbast machullara isa istanilan qadar sifirdan farqli qiymatlar vermak olar.
Tadris prosesinin sonraki davaminda tahsilalanlarin a§agida ozuna yer alan natica va xassalarla tani§ edilmasi onlarin hazirligina musbat tasir edir, hansi ki, alda olunmu§ materiallarin umumila§masi bizi bu qanaata gatirir.
Natica1.(1) sisteminin ancaq va ancaq r < n olduqda sifirdan farqli hallari vardir. r <n olduqda sistemin sifirdan farqli hallinin oldugu teoremda gostarilmi§dir.
Taqdim olunan bu natica ila bagli tadris i§ini a§agidaki kimi qurmaq olar, alda olunan tadqiqat materiallari bela bir qanaata asas yaradir. Tutaq ki, sistemin sifirdan farqli hallari vardir. Gostarmaliyik ki, bu ancaq r <n olduqda mumkundur. Dogrudan da, r ila n arasinda ancaq r — n va r < n, munasibatlari mumkundur. r > n ola bilmaz, 9unki bircins sistemin A matrisinin sutunlari sayi n-dir. Ranq isa bundan boyuk ola bilmaz(Bu geni§lanmi§ matrisin axirinci sutunu sifirlardan ibaratdir). Bilirik ki, r — n olduqda sistemin ancaq sifir halli vardir. Biz isa sistemin sifir olmayan hallarinin da oldugunu farz etmi§ik. Bu isa ancaq r <n halinda mumkun ola bilir. Burada r < s oldugunu nazara alsaq, biz bu naticanin a§agidaki ifadasini alariq: Bircins xatti tanliklar sisteminda tanliklarin sayi machullarin sayindan az olduqda bu sistemin sifir hallindan alava sifirdan farqli istanilan qadar hallari da vardir.
Natica 2. n machullu n xatti bircins tanliklar sisteminin sifirdan farqli hallarinin varligi u9un onun determinantinin sifira barabar olmasi ham zaruri, ham da kafidir.
Burada sistemin determinantinin sifira barabar olmasi o demakdir ki, sistemin ranqi machullarin sayindan ki9ikdir: r < n; tarsina r < n olarsa, onda sistemin n-tartibli determinanti sifira barabar
olmalidir. Digar tarafdan bilirik ki, r <n olduqda sistemin nainki yalniz sifir halli, bundan ba§qa istanilan qadar sifirdan farqli hallari da vardir.
indi isa xatti bircins tanliklar sisteminin hallarinin xassalari ila tani§ olaq. Xassal.
fi — (bL, b2,..., bn) va y — (¿i, c2,..., cn) vektorlari (1) sisteminin hallidirsa, onda fi + y vektoru va Xfi vektoru da sistemin hallidir( burada X istanilan adaddir).
Xassa2. Bircins xatti tanliklar sisteminin hallarinin istanilan xatti kombinasiyasi da sistemin
hallidir. [2;205-207]
■ Xatti cabri tanliklar sisteminin hallinin ara§dirilmasi tacrübasinin manimsadilmasinin metodik sisteminin mazmun komponentinin mühüm elementlarindan biri da "Xatti bircins tanliklar sisteminin fundamental hallar sistemi"-dir. "Xatti bircins tanliklar sisteminin fundamental hallar sistemi "nin manimsadilmasi prosesini a§agidaki kimi sistem halina gatirmakla hadaflanan naticani hasil etmak mümkün olur:
Talabalara taklif olunur ki, bircins sistemin hallarini n — ól9ülü vektorlar kimi tasavvür edak. Bu halda bildiyimiza góra, n — ól9ülü vektorlar sistemindaki vektorlarin sayi bunlarin n ól9üsündan ("uygunlugundan") 9oxdursa, bela sistem xatti asili olur. Buradan isa aydin olur ki, bircins tanliklar sisteminin hallar 9oxlugundan xatti asili olmayan ela hallar sistemi se9mak olar ki, qalan har bir hall bu se9ilan hallar sisteminin xatti kombinasiyasi olar. Tahsilalanlara xitab edilarak vurgulanir ki, bu deyilanlar bizi bircins sistemlara aid olan mühüm bir anlayi§la-"fundamental hallar sistemi" anlayi§i ila tani§ olmaga sóvq edir. [7-9]
Tarif. Xatti bircins tanliklar sisteminin hallar 9oxlugunun maksimal xatti asili olmayan alt9oxluguna fundamental hallar sistemi deyilir.
Ba§qa sózla: Xatti bircins tanliklar sisteminin hallar 9oxlugunun bazisini ta§kil edan hallar sistemi fundamental hallar sistemi adlanir. Yaxud: Xatti bircins tanliklar sisteminin hallar 9oxlugunun ela xatti asili olmayan alt9oxluguna fundamental hallar sistemi deyirlar ki, bütün qalan har bir hallar bunlar vasitasila xatti ifada edila bilir.
Talabalara aydin olmalidir ki, bircins xatti tanliklar sisteminin ancaq sifirdan farqli hallari olduqda onun fundamental hallar sistemindan dani§maq mümkündür. [1]
Yeri galmi§kan bir cahata da xüsusi diqqat yetirmak garakdir: eyni bir bircins xatti tanliklar sistemi istanilan qadar fundamental hallar sistemlarina malikdir, lakin bunlari ta§kil edan vektorlar sistemlari maksimal xatti asili olmayan sistem(bazis) ta§kil etdiyindan bunlar ekvivalent olurlar, odur ki, buradaki hallar sayi barabar olmalidir. Qisa desak, müxtalif fundamental hallar sistemi istanilan qadar 9ox olsa da bunlarin har birini amala gatiran hallarin sayi eyni olmalidir. Burada prosesa davam olaraq a§agida ózüna yer alan teorem talabalara taqdim olunur.
Teorem. Bircins xatti tanliklar sisteminda onun matrislarinin r ranqi sistemdaki machullarin n sayindan ki9ik olduqda(r < n), bu tanliklar sisteminin istanilan qadar móvcud müxtalif fundamental hallar sisteminin har biri n — r dana haldan ibaratdir.
isbati : Bildiyimiz kimi, r <n olduqda (Xi-Xi + (X12X2 + ■■■ + ainxn — 0/
a2ixi + a22x2 + ■" + a2nxn = ^
(1) sisteminda sarbast machullar n — r sayda olacaq.
+ + ■" + ^sn^n — 0
Tutaq ki, xi, %2, .■■ , asas machullar, Xy+i, Xy+2,. ■ ■ , ^^ isa sarbast machullardir. Talabalara bildirilmalidir ki, sarbast machullara ixtiyari qiymatlar vermakla asas machullara isa buna uygun qiymatlar tapmaqla sistemin istanilan qadar hallini ala bilarik. Sarbast machullara verilan qiymatlar ixtiyari oldugundan onlar ü9ün ela qiymatlar sistemi se9a bilarik ki, buna uygun tapilan hallar sistemi xatti asili olmasin. Masalan, sarbast machullara bir - birinin ardinca (n — r) dafa :
X^+1 - 1, Xr+2 - 0, ■••, X^ - 0 ;
X^+1 - 0, X^+2 - 1, ■■■, X^ - 0 ;
X^+i — 0, X^+2 — 0, ■ ■>, x^ — 1 qiymatlari vermakla, asas machullar ü9ün uygun olaraq, har dafa tamamila müayyan
X1 - ^11, x2 - ^12, , xr -X1 - ^21, x2 - ^22, "■ , xr - ^2r,
X1 - ^n-r,1, x2 - ^n-r,2, ■■■ , xr - £n-
rsayda
qiymatlarini tapariq. Bu qayda ila verilmi§ sistemin n —
ar.
«1-(^11, ^12,- 1,0.....0)
«1-(^21, ^22,- ^2r, 0,1.....0)
n-r - (^n-r,1, ^n-r,2 , "■ , ^n-r,r, 0, 0, ■", 1)}
(2) kimi hallar sistemini tapmi§ olariq.
Vurgulanmalidir ki, bu hallar sistemi xatti asili deyildir. Dogrudan da, agar uygun matrisi yazsaq, burada sifirdan farqli (n — r) tartibli minorlardan birinin
Ф 0 oldugu a§kar görünür. Bu o demakdir ki, (2) - nin ranqi (n — r) — dir, ba§qa sözla
1 0^ 0
0 1. 0
0 0^ 1
n — r sayda vektor xatti asili olmayan sistem amala gatirir. Demali, agar biz sifirdan farqli istanilan bir (n — r) tartibli :
D -
c1,r+1 c1,r+2 ■■■ c1,n c2,r+1 c2,r+2 "■ c2,n
n-r, r+1 ^n-r,r+2
■ Cr,
Ф 0 determinantinin í
ci
(1 < í < n — r) satrinin
elementlarini sarbast machullar ü9ün uygun qiymatlar qabul etsak, onda asas machullara tamamila müayyan ctl,ct2,... , c¿r kimi müvafiq qiymatlar tapariq va (1) sisteminin : -(c¿1, c¿2, ■ ,c¿r , c¿r+1, c¿r+2, ■ ,c¿n) , (i - 1,2, ■ ,n —r) (3) kimi hallini alariq. Bu qayda ila tapilan a1, a2, ■.., an-r vektorlar sistemi xatti asili deyil ( uygun matrisin (n — r) tartibli D minoru sifirdan farqlidir).
Burada talabalarin nazarina 9atdirilir: Göstarmaliyik ki, xatti asili olmayan a1, a2, ■.., an-r hallar sistemi (1) - in mahz fundamental hallar sistemidir. Bunun ü9ün göstarmaliyik ki, (1) sisteminin ixtiyari bir halli (3) hallar sistemi ila xatti ifada olunur.
ß - (Ь1, Ь2, ■ , Ьг, Ьг+1, Ьг+2, ■ , Ьп) vektoru (1) sisteminin ixtiyari bir halli olsun.
ß- Я1а1+Я2а2 +—ЬЯп-гап-гbarabarliyinin ödanildiyini göstarmak lazimdir. D determinantinin satirlarini amala gatiran - (c¿,r+1,; c¿,r+2; „. , c¿,n) (í - 1,2, „. , n — r ) §aklinda (n — r) - öl9ülü vektorlar sistemi, D Ф 0 oldugundan xatti asili deyildir. 9gar bu sistema ß - (br+1, br+2, ■.. , bn) kimi vektor qo§saq, alinan «j^, a2, „. , an-r,ß vektorlar sistemi xatti asili olar (9ünki, sistemdaki vektorlarin sayi, bunlarin öl9ülarindan 9oxdur). Onda xatti asililigin tarifina göra Я1, Я2, ■, Яп-Г adadlari tapmaq olar ki,
ß - Я1а1+Я2а2 + —ЬЯп-гап-г (4)barabarliyi dogru olar.indi isa(1)bircins xatti tanliklar siteminin a1, a2, ■.., an-r va ß hallarinin : - Я1а1 + Я2а2 + —+ Яп-Гап-Г — ß (5)
r,r
kimi xatti kombinasiyasini nazardan ke9irak. Aydindir ki, vektoru da (1) sisteminin halli olmalidir (II xassa). (4) münasibatindan alinan fi — (A1a1 + Á2a2 + —+ An-ran-r) = 0 barabarliyi gostarir ki, halli, sarbast xr+1, xr+2, ... , xn machullarinin ancaq sifirlardan ibarat olan qiymatlarina uygun olan hallidir : = (cv c2,... ,cr , 0; 0;...; 0)
Onda hallindaki asas x1, x2,... ,xr machullarinin uygun xm = cm (m = 1,2,...,r) qiymatlari da sifir olmalidir: c1 = c2 = ■•• = cr = 0, 9ünki (1) ssiteminda sarbast machullarin hamisina sifir qiymatlar verdikda, sistemin asas machullari da ancaq sifir qiymatlar alir. Demali, halli (1) sisteminin sarbast machullarin sifir qiymatlarina uygun yegana sifir hallidir : = (0; 0;...; 0; 0; ...;0) = 0 . Onda (5) - dan : fi = A1a1 + A2a2 + —+ An-ran-r . [2;117] Talabalara aydin olmalidir ki, bu teorema asasan fundamental hallar sisteminin qurulmasinin üsulu da aydinla§ir.Bela ki, verilan sistemda r < n olarsa, avval onun ümumi hallini tapir, sonra isa sifirdan farqli (n — r) tartibli ixtiyari bir determinant gotürarak, bunun satir elementlarini uygun olaraq sarbast machullarin qiymatlari hesab edib,uygun xüsusi hallari tapirlar. Bu proses naticasinda (n — r) sayda hall mahz fundamental hallar sistemi olar. 9gar sifirdan farqli ba§qa bir yeni (n — r) tartibli determinat se9sak, hamin qayda ila yena da(n — r) sayda hallardan ibarat ba§qa bir fundamental hallar sistemi tapariq. Sarbast machullara qiymat vermak ü9ün, adatan (n — r) tartibli olmaq §arti ila 1 0 0.0
D=
0 1 0.0 0 0 1.0
Ф 0 determinantini se9irlar. Bu onunla alaqadardir ki, birinci, bu determinantin
0 0 0....1
satir elementlarini uygun olaraq sarbast machullarin qiymati olaraq se9dikda ümumi haldan asas machullarin qiymatlarini hesablamaq i§i xeyli asanla§ir, ikinci, bu determinantin sifirdan farqli oldugu darhal görünür.
■ Xatti cabri tanliklar sisteminin hallinin ara§dirilmasi tacrübasinin manimsadilmasinin metodik sisteminin mazmun komponentinin mühüm elementlarindan biri da "Bircins va bircins olmayan xatti tanliklar sistemlarinin hallari arasinda asililiq" dir. "Bircins va bircins olmayan xatti tanliklar sistemlarinin hallari arasinda asililiq" elementininnin manimsadilmasi prosesini a§agidaki kimi sistem halina gatirmakla hadaflanan naticani hasil etmak mümkün olur. Talabalara taklif olunur ki, bircins olmayan ixtiyari tanliklar sistemi götürak: (ХцХ1 + (X12X2 + —+ ащХп — bi a21x1 + a22x2 + + a2nxn — Ь2 ^
ttslX + aS2X2 + —+ aSnxn — bs
Bu sistemin sarbast hadlarinin sifirlarla avaz edilmasi naticasinda alinan dllXi + (X12X2 + ■■■ + a1nxn — 0
a21x1 + a22x2 + *" + a2nxn — 0
+ + *" + ^sn^n — 0
bircins sistema(l) sistemina nazaran gatirilmi§ sistem, yaxud (1)-a uygun bircins sistem deyilir.
Teorem.(l) sisteminin har hansi halli ila gatirilmi§ (2) sisteminin ixtiyari hallarinin cami, yena da (1)-in halli olur.
isbati. Tutaq ki, (c1; c2;...; cn) verilmi§ (1) sisteminin halli,(d1; d2;...; dn) isa (2)
sisteminin hallidir. indi (1) sisteminin ixtiyari bir i — ci ai1x1 + ai2x2 + —+ ainxn — ,( ¿ — 1,s ) tanliyinda x¡ — c¡ + d¡ (j — 1,n ) yazib, yoxlayaq 'Z}j=1 aij (cj + dj) — 'Z}j=1 aijcj + Y,1j=1 aijbj — bi + 0 — bt
Teorem.(l) sisteminin ixtiyari iki hallinin farqi (2) sisteminin hallidir.
isbati. Tutaq ki, (cx ;c2;...;cn) va (c'x ;c'2;...;c'n) verilmi§(1) sisteminin har hansi iki hallidir.(2)sisteminin har hansi bir î -ci ai1x1 + ai2x2 + —h ainxn = 0 tanliyinda Xy = Cy — c'y yazib yoxlayaq: £"=1 aiy (cy — c'y) = 2"=i ayc,- — 2"=i «¿yc'y = fy — fy = 0 Bu iki teoremdan bircins olmayan va buna uygun(gatirilmi§) bircins tanliklar sisteminin arasindaki alaqaya aid açagidaki muhum natica alinir:
Natica. Bircins olmayan va uyuçan (1) sisteminin har hansi bir hallini, onun gatirilmi§ (2) bircins sisteminin har bir halli ila toplamaqla(l) sisteminin butun hallarini tapiriq.
Xususi halda: (1) sisteminin umumi hallini (1)-in oz xususi halli ila (2)-nin umumi hallinin cami kimi hamin gostarmak olar. [5];[7-10]
için eluii-nazari yeniliyi. Açkar edilmi§dir ki, "Xatti cabri tanliklar sisteminin hallinin araçdirilmasi tacrubasinin manimsadilmasinin metodik sistemi" 1) talim prosesinin umumpedaqoji va spesifik invariantlari, 2)"imkan-harakat-yeni keyfiyyat" paradiqmasi, 3)"sistem-struktur" falsafi yanaçmasi asasinda formalaçdirilir.
Natica. 1) Xatti cabri tanliklar sisteminin hallinin araçdirilmasi tacrubasinin manimsadilmasi uzra tadris prosesi antropoloji proses oldugundan natica maraqli tarafin-tahsilalananin imkanlarinin harakat halina galma saviyyasi ila çartlanir. Odur ki, bu prosesin asasina qoyulmali paradiqma "imkan-harakar-yeni keyfiyyat" dusturu uzra formula edilmalidir; 2) Xatti cabri tanliklar sisteminin hallinin araçdirilmasi tacrubasinin manimsadilmasi tadris prosesi sistem oldugundan onun samaraliliyi mukammaliyindan asilidir, hansi ki, sistemin mukammalliyi onun emercent tabiatina alt sistemlarinin tabeliyi va eyni zamanda altsistemlararasi dialektikanin gozlanilmasi ila çartlanir; 3) Har hansi manavi axzetma formasinin, o cumladan Xatti cabri tanliklar sisteminin hallinin araçdirilmasi tacrubasinin manimsadilmasi saviyyasi tatbiq edilan metodik sisteminin elementlarinin arasindaki munasibatlarin maqsad asasinda tanzimlanmasindan asilidir; 4) Xatti cabri tanliklar sisteminin hallinin araçdirilmasi tacrubasinin manimsadilmasi uzra tadris prosesi konstruktvizim prinsipi asasinda qurulduqda daha effektli naticalarin aldaolunma muhiti nizamlanmiç olur.
9D9BÎYYAT
1. Bax§aliyev Y, 0bdülkarimli L.Cabr va adadlar nazariyyasi kursu.Baki , "Nurlan NPM", 2008.
2. 9kbarov M.Cabr va adadlar nazariyyasi. Baki, "Nurlan NPM", 2005.
3. Cabbarov Í.S.,Hümmatov M.M.Ali cabr kursu(Dars vasaiti).Baki, "Mütarcim", 2017.
4. Mammadov R.H.Ali riyaziyyat(Ali maktablar ûçûn darslik). I hissa. Baki, "Turan evi", 2013.
5. Qasimov V.9. Cabr va adadlar nazariyyasi . Baki, "Baki Universiteti", 2012.
6. ibrahimov F.N.,Abdurahmanov V.3. "Cabr" fanninin "Matrislar va determinantlar" bolmasinin tadrisi(Metodik vasait) Baki, "Mütarcim", 2018.
7. Курош А.Г. Курс высшей алгебры. Москва, «Наука», 1971.
8. Кострикин А.И. Введение в алгебру. Часть I. Основы алгебры. Москва, «Физматлит», 2004.
9. Фаддеев Д.К. Лекции по алгебре. Москва, «Наука»,1984.
10. Гельфанд И.М. Лекции по линейной алгебру. Москва,1971.
11. Скорняков Л.А. Элементы алгебры. Москва,1980.
12.Шмелькин А.Л. Алгебра (методические указания). Москва, Издательство Московского университета,1981.
