CC BY
4
The giving for the regular H(n)-distribution of the projective space is produced in the 1-st order frame. Its dual image is constructed concerning some involutory transformation for structure forms of the projective space.
УДК 514.75.
О.М. Жовтенко
(Калининградский государственный университет)
ВЫРОЖДЕННЫЕ ПАРАЛЛЕЛЬНЫЕ ПЕРЕНЕСЕНИЯ В СВЯЗНОСТЯХ, ИНДУЦИРОВАННЫХ ОСНАЩЕНИЕМ БОРТОЛОТТИ
КОНГРУЭНЦИИ ПЛОСКОСТЕЙ
Рассмотрено оснащение Бортолотти конгруэнции плоскостей в проективном пространстве. Приведены условия совпадения индуцированных групповых связностей двух типов. Дана геометрическая интерпретация совпадения групповых связностей. Описаны параллельные перенесения в связностях обоих типов, которые оказались свободно и связанно вырожденными.
Проективное пространство Pn отнесено к подвижному реперу {А, AJ}, деривационные формулы которого имеют вид:
dA=0A+юIAI, dAI=0AI+ю} А^А,
причем формы ю1, ю ^, ю1 удовлетворяют структурным уравнениям проективной группы GP(n):
DюI=юJлю ^, DюI=ю ^ лю.ъ Dю ^ =ю ^ лю^ + 81 юKлюK+юIлюJ (I, I, K =1,п).
В проективном пространстве Рп рассмотрено (п-т)-мерное семейство т-мер-ных плоскостей Ьт - конгруэнция плоскостей Вп-т [1]. Произведена специализация подвижного репера {А, Аа, Аа}: вершины А, Аа помещены на плоскость Ьт. Над семейством Вп-т построено главное расслоение G(Bn-m), типовым слоем которого является подгруппа стационарности G плоскости Ьт. Расслоение G(Bn-m) содержит подрасслоение проективных реперов Р(Вп-т) с типовым слоем - проективной группой GP(m) ^ G ^ GP(n), действующей на плоскости Ьт. Групповая связность в главном расслоении G(Bn-m) задана объектом связности
Г= ГГа Га Г Га Га Г /
1 I1 а,1 Ъа'1 аа, Гру1 ар,1 ар/.
Произведено оснащение Бортолотти конгруэнции плоскостей, состоящее в присоединении к каждой т-мерной плоскости Ьт (п-т-1)-мерной плоскости Рп-т-1, не имеющей общих точек с плоскостью Ьт. Плоскость Рп-т-1 определена совокупностью точек Ва=Аа+Л, а Аа +ХаЛ. В работе [1] доказано, что оснащение
О.М. Жовтенко
Бортолотти конгруэнции плоскостей индуцирует два типа групповой связности с
1 2
объектами Г и Г в ассоциированном расслоении 0(Бп-т). В первом случае ком-
1 0 0 0 0 1 1 поненты объекта связности Г = (Га, Гаа, ГЬа, Гру, Гар, Гар} охватываются посредством оснащающего квазитензора Х= (Ха, Ха } и фундаментального объекта
первого порядка А^ семейства плоскостей Бп-т по формулам [2]:
0 0 0 0
Га = К > ГЬа = АЬаХр -5ЬХа > Гаа = АаХр > Гау = ^у^ - 5РХу - ^р > (1) 1 1
таР=-^;маР, ГаР=-х умаР (маР=л^а+) (2)
2 0 0 0 0 2 2 Во втором случае компоненты объекта связности Г = (Га, Гаа, ГЬа, Гау, Гар, Гар}
охватываются с помощью компонент оснащающего квазитензора Х и их пфаффовых производных по формулам (1) и следующим:
2 0 0 0 2 0 о
ра _Т,а у _ ^ Ь -ра _ л ра -р _ л л ру _ л а р
Гар = Хар + Ху Гар Ха Г Ьр Ха Гр' Г ар = Хар + Ху Г ар Ха Г ар • (3)
Определение. Оснащение Бортолотти называется специальным, если пфаффовы производные компонент оснащающего квазитензора X имеют вид:
Хар = ХаХр + Х^Лу, Х^ = ХарХа + Х^Лу. (4)
Теорема 1. Если оснащение Бортолотти специальное, то оснащающая плоскость Рп.т.1 неподвижна, и наоборот.
Для доказательства достаточно рассмотреть дифференциалы точек Ба и равенства (4).
Теорема 2. Связности двух типов совпадают тогда и только тогда, когда плоскость Бортолотти неподвижна.
Действительно, равенства (4) являются необходимыми и достаточными условиями совпадения двух типов охватов и в то же время обеспечивают неподвижность плоскости Бортолотти.
Рассмотрим дифференциалы точек Ба, задающих плоскость Рп.т.1:
¿ва = (...)а Вр + (бХа + ХЬ®Ь -Хр «а +Ха®а +« -ХЬХр « -ХаХ; «р )Аа +
+(аХа -Хр®а + Х>а +юа -ХаХрЮр -ХаХр«р)А.
Выразим д Хаа и д Ха через ковариантные дифференциалы УХах и УХа (формулы (9), (10) работы [1]) и подставим в предыдущее выражение:
¿Ва = (...£Вр + (УХаа + (ХЬаГЬу + ХаГ - Х^у + Гау - ХаХ - Х^рА*)«)Аа +
Лх ^р ^ V у 'V ^ Ьу у хрА ау ау /ъа/ъу /ъа/ър2 »-Ьу ^ )^а
+ (^Ха + (ХааГау - ХрГау + Гау - ХаХу - Х^ХрА^ )« )А.
Из этих формул видно, что при УАа =0 и УАа =0 специальных смещений плоскости Рп-т-1 не выделяется, т.е. параллельное перенесение является свободно вырожденным [3]. Таким образом, справедлива
Теорема 3. В групповой связности, не являющейся связностью 1-го типа, параллельное перенесение оснащающей плоскости Рп-т-1 будет свободно вырожденным.
1
Найдем дифференциалы точек Ва с помощью объекта связности Г, компоненты которого удовлетворяют формулам (1, 2). Имеем
1
-'а Вр
Отсюда следует
Теорема 4. В групповой связности 1-го типа параллельное перенесение оснащающей плоскости Рп-т-1 будет связанно вырожденным, т.е. плоскость Рп-т-1 неподвижна в этой связности.
Аналогично находим дифференциалы точек Ва с помощью объекта связно-
2
сти Г, компоненты которого удовлетворяют формулам (1, 3):
2
¿Ва = (...) а Вр + № + (Яаар - ^р - А^р )юР)Аа +
dBa= (...)Р BB+V^ Aa + A.
2
+ (^ Аа + (Аар - АаАр - АааАуЛ^ар )юР)А. Из этого выражения с учетом формул (3) вытекает
Теорема 5. При специальном оснащении параллельное перенесение в связности 2-го типа будет таким же, как в связности 1-го типа, т.е. связанно вырожденным.
Теорема 6. При неспециальном оснащении параллельное перенесение в связности 2-го типа будет свободно вырожденным.
Список литературы
1. Жовтенко О.М. Роль оснащения Бортолотти конгруэнции плоскостей // Диф. геом. многообр. фигур. Калининград, 2000. №31. С. 28 - 33.
2. Шевченко Ю.И. Об оснащениях многообразий плоскостей в проективном пространстве // Там же, 1978. № 9. С. 124 - 133.
3. Шевченко Ю.И. Оснащения голономного и неголономного гладких многообразий. Калининград, 1998.
O. Zhovtenko
DEGENERATE PARALLEL DISPLACEMENTS IN THE CONNECTIONS, INDUCED BOTOLOTTI'S EQUIPMENT OF THE FAMILY OF PLANES
Botolotti's equipment of the family of planes in the projective space is considered. The coinsidence conditions induced group connection of two types are found. Their geometrical interpretation is given. Parallel displacements in the connections of both types are described. They are freely and connectly degenerate.
