CC BY
4
Дифференциальная геометрия многообразий фигур
N. Eliseeva
BUNCHES OF PLANES OF THE NORDEN-TIMOFEEV OF THE H /^-DISTRIBUTION
The constructions of planes of the Norden-Timofeev, associate with an internal normal of 1-st kind of H ni-distribution are considered. For equipping H-distribution two internal normalizations in sense of the Norden-Timofeev are obtained.
УДК 514.75
О.М. Жовтенко
(Калининградский государственный университет)
ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ИНТЕРПРЕТАЦИЯ СВЯЗНОСТИ, АССОЦИИРОВАННОЙ С КОНГРУЭНЦИЕЙ ПЛОСКОСТЕЙ
Продолжено исследование групповой связности в расслоении, ассоциированном с конгруэнцией плоскостей [1]. Дана геометрическая характеристика подобъектов этой связности посредством центрального проектирования и параллельных перенесений.
В п-мерном проективном пространстве Рп рассмотрено (п-т)-мерное семейство т-мерных плоскостей ^ - конгруэнция плоскостей Вп-щ [2]. Произведена специализация подвижного репера {А, Аа, Л^, при которой вершины А, Аа помещены на плоскость Система уравнений конгруэнции Вп-щ в специализированном репере имеет вид:
го"=Л"рЮР (а, Ь = 1,т ; а,р,у = т + 1,п).
С конгруэнцией Вп-щ ассоциируется главное расслоение Gs(Bn-m), базой которого является конгруэнция Вп-щ, а типовым слоем - 8-членная подгруппа стационарности GscGР(n) ^=п2- пт + т2+ п + т) плоскости Lm, причем проективная группа GР(n) действует в пространстве Рп. Ассоциированное расслоение Gs(Bn-m) содержит подрасслоение проективных реперов с той же базой, типовым слоем которого является действующая на плоскости Lm проективная фактор-группа GР(m) группы Gs.
50
О.М. Жовтенко
В ассоциированном расслоении Gs(Bn_m) исследуется групповая связность, которая задается по Лаптеву с помощью поля объекта Г= (Г®, ГЬа, Гаа, , Г^р, Гар> на базе ^-ш. Совокупность функций
Г0 = (Г®, ГЬа, Гаа } с Г образует подобъект проективной связности.
Произведено оснащение Бортолотти конгруэнции, состоящее в присоединении к плоскости Lm (п-т-1)-плоскости Pn_m_ь не имеющей с ней общих точек. Оно определяется оснащающим квазитензором Х= (Ха®, Ха }. Фундаментальный объект первого порядка Л®р
конгруэнции плоскостей и оснащающий квазитензор Х позволяют охватить компоненты объекта связности Г двумя способами. В первом случае получен охват компонент объекта связности
1 0 0 0 0 1 1
Г = (Га Гаа, ГЬа, Га, Г^ Гар} по формулЗМ [2]:
0 0 0 Га = Ха, ГЬа = ЛЬаХр-^ЬХа, Гаа = ЛааХр,
(1)
ГРУ = -ЛауХ р -0 рХу "°уХр, 1 1 г® р=_хума р , Га р=-хума р ,
где М^ =ЛуЬрХ® +8уХа. Во втором случае объект связности
2 0 0 0 0 2 2
г = (Г®, Гаа, Га, г®, Г® р, Г® р} охвачен по формулам (1) и следующим:
2 0 0 0 2 0 0 Гар = Ха р + Ху Га р -Ха ГЬр-Ха Гр ; Га р = Ха р + Ху Га р -Ха Гар .
Таким образом, оснащение Бортолотти конгруэнции плоскостей
1 2
Вп-т индуцирует два типа групповой связности с объектами Г и Г в ассоциированном расслоении Gs(Bn-m).
0 1 Теорема 1. Подобъект Г ру охваченных объектов связности Г
2
и Г характеризуется центральным проектированием плоскости Рп-т-1 + dРn_m_1, смежной с плоскостью Рп-т-1, на исходную плоскость Рп-т-1 из центра - образующей плоскости Lm.
51
0
Дифференциальная геометрия многообразий фигур
Доказательство. Плоскость Рп-щ-1 определяется системой точек
Ва= Ла+Я.ааЛа + А.
Учитывая формулы (1), приведем дифференциалы точек Ва, входящих в совокупность точек, определяющих смежную плоскость Рп-щ-1+ dРn-m-1, к виду
аВа = (6-ХрЮР)Ва + 5а Вр + (ХарЮР -ХрГрЛ^ -^р®")Л + а_тР- 7а_гь Лр ™у -\аЛ ™р
+ (ХаарЮр -ХарХЬаЛРуЮУ -ХарХа»р)Аа,
и 0 р
где 5а = юР- ГауЮУ. Проекция плоскости, смежной с плоскостью Бортолотти Рп-щ-1, на плоскость Рп-щ-1 из центра - плоскости Lm -
о
определяется формами 5а, которые, в свою очередь, выражаются с
о
помощью подобъекта связности Г ру.
Теорема 2. Охваченный подобъект проективной связности о о о
{Гр,ГЬа,Гаа} характеризуется центральным проектированием плоскости Lm + ёЬт, смежной с плоскостью Lm на последнюю из центра - плоскости Бортолотти Р„.т.].
Доказательство. Плоскость Lm определяется системой точек А, Л. Дифференциалы этих точек входят в состав точек, определяющих смежную плоскость Lm + Лт, и имеют вид
о
ал = (6-хаюа )А + юа Ва + 5а Ла,
аЛа = (6-ХаЮа )Ла + юРВа +5а Л + 5Ь Ль,
о о о о ь о о
где 5а =юа - гР юа, ~ь =®ь - Гаа ®а, 5 а = юа - Гаа юа. Проекция
плоскости, смежной с плоскостью Lm, на исходную плоскостью Lm из центра - плоскости Рп-щ-1 - определяется формами связности
о о о
5а, 5 а, 5а, которые, в свою очередь, выражаются с помощью комо о о
понент подобъекта проективной связности {ГР , ГЬа , Гаа } . 52
О.М. Жовтенко
Неохваченные подобъекты (Г®, Г£а, Гар} , Г¡ру объекта связности Г можно охарактеризовать при помощи следующих параллельных перенесений.
Теорема 3. Подобъект Г ¡ру характеризуется параллельным перенесением точки В, принадлежащей плоскости Р„.т.], т. е. ее смещением в (т+1)-мерной плоскости, натянутой на эту точку и плоскость Ьт.
Доказательство. Возьмем точку В в плоскости Рп_т_1. Ее разложение имеет вид В = Ба, причем -^аи = ^рюр, где форма и
играет роль множителя пропорциональности, а Д£,а = р ю".
Дифференциал точки В приводится к виду
ав = (9-ХрЮр)Б + Г(ХарЮр -X рХааЛеауюТ -ХаХрЮр)А + (Хаа рЮр -
-ХарХьалРЬуЮу -ХарХаюр)Аа + (Д^а рГруЮу)Ба.
Условия смещений точки В в (т+1)-плоскости, натянутой на эту точку и плоскость Lm, имеют вид
Г руЮ и
Утверждение теоремы следует из этого выражения.
Теорема 4. Подобъект проективной связности (Гр, ГЬР, Гар} характеризуется параллельным перенесением точки С, принадлежащей плоскости Ьт, т. е. ее смещением в (п-т)-мерной плоскости, натянутой на эту точку и плоскость Бортолотти Рп-т-1.
Доказательство. Берем точку С, принадлежащую плоскости Lm. Разложение точки имеет вид С =А+ £,а Аа, причем
д^а ча ^ьюь +юа , д^а = +^4.
Дифференциал точки С приводится к виду
ас = (9 + ^аЮа -Хаюр ХаЛРрюр)С + (юр + ^ЛРрюр)Ба +
+ (Д^ +юа -Грюр + ^?Ь(ГЬрЮр -юь)ьГЬрЮр)Аа.
Условия смещений точки Се Ьт в (п-т)-плоскости, натянутой на эту точку и плоскость Рп-т-1, имеют вид
Д^а +юа +^а^Ь(ГЬрЮр-юь)-Грюр -^ЬГЬрЮр =^аи .
Откуда следует утверждение теоремы.
53
Дифференциальная геометрия многообразий фигур
Список литературы
1. Жовтенко О.М. Роль оснащения Бортолотти конгруэнции плоскостей // Диф. геом. многообр. фигур. Калининград, 2000. Вып. 31. С. 14 - 19.
2. Близникас В.И. Некоторые вопросы геометрии гиперкомплексов прямых // Тр. геом. семинара / ВИНИТИ. М., 1974. Т. 6. С. 43 - 110.
3. Шевченко Ю.И. Об оснащениях многообразий плоскостей в проективном пространстве // Диф. геом. многообр. фигур. Калининград, 1978. Вып. 9. С. 124 - 133.
4. Лумисте Ю.Г. Проективные связности в канонических расслоениях многообразий плоскостей // Мат. сб.1973. Т. 91. Вып. 2. С. 211 - 233.
O. Zhovtenko
GEOMETRICAL INTERPRETATION OF THE CONNECTION, ASSOCIATED WITH THE CONGRUENCE OF PLANES
The research of group connection in the bundle associated with the congruence of planes is continued [1]. The geometrical performance of subobjects of this connection by means of the central projection and parallel displacements is given.
Работа поддержана грантом Минобразования РФ (СПб. КЦФЕ), кандидатский проект М03-2.1К-315.
УДК 514.76
В.А. Игошин, Е.К. Китаева
(Нижегородский государственный университет им. Н.И. Лобачевского)
О ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ ХАРАКТЕРИСТИКАХ КВАДРАТИЧНЫХ КВАЗИГЕОДЕЗИЧЕСКИХ ПОТОКОВ
В качестве приложения геометрического (геодезического, пульверизационного) моделирования [1] получен ряд результатов о подвижности и геометрических характеристиках квадратичных квазигеодезических потоков (КП) ненулевой кривизны. В частности, доказана теорема существования (теорема 2) и теоремы 3, 4 о полях абсолютного параллелизма в пространстве событий квазигеодезических потоков исследуемого класса.
54
