CC BY
5
4. Лаптев Г.Ф. Дифференциальная геометрия погруженных многообразий // Тр. Моск. мат. о-ва. 1953. Т.2. С.275-382.
5. Алшибая Э.Д. К геометрии распределений геометрических элементов в аффинном пространстве // Тр. геом. семинара / ВИНИТИ. М., 1974. Т.5. С.169-193.
6. Лаптев Г.Ф., Остиану Н.М. Распределения m-мерных линейных элементов в пространстве проективной связности // Там же. 1971. Т.3. С.49-94.
N.A. E l i s e e v a TANGENT EQUIPPED HYPERSTRIPS Hn-2 OF AFFINE SPACE An
Hyperstrips Hn-2 ^An , equipped by the field of m-dimensional tangent planes Л, are investigated. The field of Л-planes generates conjugate to itself field of tangent (n-m-2)-dimensional planes about asymptotical bunch of tensors for base surface Vn-2 of the hiperstrip Hn-2 . We designate SHn-2 the hyperstrip Hn-2, with conjugate system (Л,Ь) of the tangent equipping planes. In differential neighbourhood of the 2-nd order invariant bunches of Norden normals of the 1-st kind are construct for Л-,Ь-Д-distributions where T-distribution is distribution of tangent planes to the base surface Vn-2 of the hyperstrip Hn-2. Bompiani-Pantazi correspondences the 1-st and 2-nd kind normals of Л-,Ь-Д- distributions are introduced. In twos bunchs of inner normalizations in Norden sense for Л-,Ь-Д- distributions are found by means of indicated bijec-tion in the differential neighbourhood of the 2-nd order.
УДК 514.75.
О.М. Ж о в т е н к о (Калининградский государственный университет) РОЛЬ ОСНАЩЕНИЯ БОРТОЛОТТИ КОНГРУЭНЦИИ ПЛОСКОСТЕЙ
В проективном пространстве исследуется групповая связность в расслоении, ассоциированном с конгруэнцией плоскостей. Показано, что объект кривизны этой связности является псевдотензором. Произведено оснащение Бортолотти конгруэнции, состоящие в задании поля дополнительных плоскостей. Введено понятие ковариантного дифференциала и ковариантных производных оснащающего квазитензора относительно групповой связности. Ковариантные производные компонент оснащающего квазитензора образуют псевдотензор. Доказано, что оснащение Бортолотти индуцирует два типа групповой связности в ассоциированном расслоении.
Отнесем ^мерное проективное пространство Рп к подвижному реперу {A,AI},инфинитезимальные перемещения которого задаются формулами
ёЛ=0Л + ю 1А1, =0Л1 + ю + ю :Л (I,J,K= 1,п). Инвариантные формы проективной группы GP(n) удовлетворяют структурным уравнениям
БюД = юК лйК + (8Дюк + 8!кЙд)ЛЙК,Бю 1 = юД лш^Бю1 = ю} ЛЙД. В проективном пространстве Рп рассмотрим ^-^-мерное семейство m-мерных плоскостей Lm- конгруэнцию плоскостей Bn.m [1]. Произведем специализацию подвижного репера {А, Aa, Aa}, помещая вершины A, Aа на плоскость Lm. Здесь и в дальнейшем индексы принимают значения: а, Ь, c, d = 1,т ; а,Р, у, 8 = т + 1,п.
Система уравнений конгруэнции Вп-т имеет вид:
юа =ЛааРйР . (1)
Базисные формы юр удовлетворяют структурным уравнениям
Бюр =юу л(юР -Лрауюа). (2)
Продолжая систему уравнений (1), получим
ЛЛаар - ЛаауЛУЬрЮ Ь - 8аю а = Лааруйу , (3)
где
^ = ёЛаар -ЛаауЮР +Л>а -ЛаЬрЮI
С конгруэнцией Вп-т ассоциируется главное расслоение Gs(Bn_m) со структурными уравнениями (2) и следующими:
Бюа =ю ь лю Ь +юалюа, (4)
Ь +ю люа-ь = ю Ь лю С + (8Ью с +8сю Ь
Бюа =юЬ люЬ +юалюаа, (6)
Бю Ь = ю Ь лю С + (8 Ью с +8 С ю ь) люс +юа лю Ьа, (5)
Бюа = юу люУу +8аюа люа + юу лю^,
Бюа=юалю ь+юалюр+юалю %
Бйа =юалюа +юалюр >
где
Ю Ьа = Лрьайр -8 Ь й а > й аа =ЛРаайр > йау =-Л<Хауйр -8айу -8айР .
Базой главного расслоения Gs(Bn_m) является конгруэнция Вп_№ а типовым
2 2
слоем - 8-членная подгруппа стационарности Gs (8=п -nm+m +n+m) плоскости Lm. Ассоциированное расслоение Gs(Bn.m) содержит подрасслоение проективных реперов (2), (4)-(6) с той же базой, типовым слоем которого является проективная группа GР(m)^ Gs^ GР(n), действующая на плоскости Lm. В свою очередь, расслоение проективных реперов содержит каноническое расслоение Ю.Г. Лу-мисте[2,3] со структурными уравнениями (2),(4).
Рассмотрим преобразование слоевых форм с помощью базисных
© а = -Г в © а = © а -Г аЬа®а, ©а = © а -Г аа®°
© ° = -г °уюу, © а = © а -г аР®р, © ° = ©°-г °рюр-
(7)
(8)
Связность в главном расслоении задается по Лаптеву с помощью поля объекта групповой связности Г= {Г а,Г ь° ,Г аа , Г°у ,Г ар ,Г ар }на базе Вп-т:
лГа -Гь°Юь+грАрь°Юь +©а = ф арюр,
АГ -5 Ь (Г а ю с -Г са© С)-Г а© ь + Г ь°Ю а + Г ЬрАРСаЮ С +Ю Ьа = Г Ьар©р ,
ЛГ аа + Г 1© Ь + Г ар Арьа © ' + © аа = Г аар©Р >
лг°у -5а(Гу©а - ГаУ®а)+Га5А51у©а+®аУ = Г«х,
АГ аР -г а ©а+Г ар©а+Г аР© а -Г ьр©ь+Г аЛр®Ь=Г ару©7,
ЛГ ар + Г арЮ а + Г арЮу -Г ар©а + Г ау^р® а = Г ару©' •
Совокупность функций Г0= {Г а, Г Ьа, Г аа } с Г образует подобъект проективной связности .
Замечание. Объект групповой связности Г не является геометрическим объектом, а образует его лишь вместе с фундаментальным объектом первого порядка Ааар.
С учетом уравнений (8) получаем структурные уравнения для форм связности (7)
Бооа = 65Ь л(~Ь + Яар®а л©р,
Б65Ь = ¿5Ь л65С + (5Ь©с +5С¿5Ь) л¿5° + RЬaрЮa л©р,
°©а =(~Ь ^Ь + ^ар©^©13 >
Б©а = ©у л©а +5a6)a л©^ + R^юу л©5,
Ш- а ~Ь ~а . ~ р ~а . ~ ~а . т, а р у
а = ©а л©Ь + ©а л©р + ©а л© + RарушF лг ,
Б©а = ©а Л©а + ©а Л©р + ^ру©р Л©у ,
где компоненты объекта кривизны Я= {И-ар ДЬар ,Raар ,Raу5 , Raру , -^-ару } имеют вид:
та а = ф а — Г Ь Г а ^ = Г — Г Ь Г
RaP = ф [ар] 1 [а1 Ьр],RaaP = 1 а[ар] 1 а[а1 Ьр],
тз а _ га _гс га _Яаг гс _у га
"^Ьар = 1 Ь[ар] 1 Ь[а1 ср] 5Ь1 с[а1 р] 1 Ь[а1 р] ,
ра _га _рЛ Га _Дар ра
Rру5 = 1 р[у5] 1 р[у 1 л5] 5р 1 а[у 1 5],
Т? а _ га _ гЬ га _ г5 га _ г га
ару = 1 а[ру] 1 а[р1 Ьу] 1 а[р1 5у] 1 а[р1 5],
Т? — Р _ ра г _ г5 г
R ару = 1 а[ру ] 1 а[р1 ау ] 1 а[р1 5у ],
причем альтернирование производится по крайним индексам в квадратных скобках. Воспользовавшись уравнениями (8) и их продолжениями, получим дифференциальные сравнения для компонент объекта кривизны Я
Л^р - Кар® ь + К^®ь - о, АЯаар + ЯЬарюь + ЯаатЛтьрюь - о,
Л^ар -3р®с - Яеар®- *ар®Ь + *Ьар®а + КауЛ^р®° - 0
^ +3а (Яау5® а - а) + Я0уЛЛ> а - ^
ЛЯаРу + Кар«®а - КРу®а + Карг®! - КЬр«®Ь + Кар5ЛЪу®Ь - 0,
ЛЯару + Кару®8 + ру®а - Кар«®а + Кар5Лау®а - 0, где символ - означает сравнение по модулю базисных форм юа.
Теорема 1. Объект кривизны Я является псевдотензором [4,с.46], содер-
0= р ,КЬар'
Осуществим оснащение Бортолотти конгруэнции плоскостей Вп-т, которое состоит в присоединении к каждой плоскости (п-т-1)-мерной плоскости Рп.т-1, не имеющей общих точек с плоскостью Ьт. Плоскость Рп-т-1 зададим совокупностью точек
жащим подпсевдотензор Я0= (Я^, , Яаар}
Ва = Аа+^аа Аа + Ха
причем
^а + Ха® а + ® а =^аар®р » ^а +Ха® а + ® а = Хар®р ■ (9)
Внося в эти уравнения формы связности (7), получим
У^аа=Ур^>р ,У^^р^а®13 ,
где левые части
УХа = ^ -Хр® а +^Ьа®Ь + Ха®а +® ^ УХа = ¿Ха - Хр® а + Ха®а +® а
называются ковариантными дифференциалами компонент оснащающего квазитензора Х = (Х^, Ха ) относительно групповой связности Г, а коэффициенты при базисных формах в правых частях
Ул а _ л а . л а р у лЬ ра л ра ра
рХа = Хар +Ху1 ар - Ха1 Ьр - Ха1 р - 1 ар > ^^
УрХа =Хар +ХУ1 «р -ХаГар - 1 ар
- ковариантными производными компонент оснащающего квазитензора Х в связности Г.
Продолжая уравнения (9), найдем дифференциальные уравнения для пфаффовых производных компонент оснащающего квазитензора Х
АХар +ХауЛ«ар® а + Хар® а -Ху®«р + Х> ар - 0>
ЛХ^р +Хаа«ЛУЬр®Ь +Хар®а +Ха®р -Ха®«р + Х>Ьр - 0. Используя эти сравнения и уравнения (8), (9), получим
ЛУр^ +Ур^а® а +Уу^ааАуьр® Ь - 0,
ЛУр^а +УрА,> а +Уу^А>а - 0.
Теорема 2. Совокупность ковариантных производных (У^Лаа,УрЛа} компонент оснащающего квазитензора Л образует псевдотензор.
Фундаментальный объект первого порядка А^ и оснащающий квазитензор
Л= {Лаа, Ла } позволяют охватить компоненты объекта связности Г двумя способами. В первом случае, рассмотрев уравнения (3, 8, 9), получим охват компо-
1 0 о 0 0 1 1 нент объекта связности Г = {Га , Гаа , ГЬа , Гр^ , ðР, ðР} по формулам [5] :
0 0 0 Гаа = Ла ,ГЬа = АЬаЛр - 5ЬЛа ,Гаа = АааЛр , (ц)
0
Грау = -а°улр - 5°лу - 5°лр , 1 1 Гаар=-ЛауМар ,Г°Р=-ЛУМ°Р ,
где Му„ = АТоЛ'а +5!Ла. Во втором случае, учитывая теорему 2 и полагая
УрЛаа = 0, УрЛа= 0 в формулах (10), находим второй охват
2 0 0 0 0 2 2
р _ гр^ р т^а ра т-^а р ^
Г _ {Г а , Г аа ,Г Ьа , Гру , Гар , Гар }
по формулам (11) и следующим:
2 0 0 0 2 0 0 га —7а 7а Р у _ 7 Ь Га Га "Г — 7 -I- 7 РУ — 7а Р
Гар = Лар + Лу Гар лаГЬр лаГр ,Гар = Лар + Лу Гар Ла 1 ар •
Теорема 3. Оснащение Бортолотти конгруэнции плоскостей Вп-т индуциру-
1 2
ет два типа групповой связности с объектами Г и Г в ассоциированном расслоении 08(Вп.т)
Библиографический список
1. Близникас В.И. Некоторые вопросы геометрии гиперкомплексов прямых // Тр. геом. семинара / ВИНИТИ. М., 1974.Т.6. С. 43-110.
2. Лумисте Ю.Г. Индуцированные связности в погруженных проективных и аффинных расслоениях // Учен. зап. Тартуск.ун-та. 1965. Вып. 177 С. 6-41.
3. Лумисте Ю.Г. Проективные связности в канонических расслоениях многообразий плоскостей // Мат. сб.1973. Т. 91. N2. С. 211-233.
4. Шевченко Ю.И. Оснащения голономных и неголономных гладких многообразий . Калининград, 1998. 83 с.
5. Шевченко Ю.И. Об оснащениях многообразий плоскостей в проективном пространстве // Диф. геом. многообр. фигур. Калининград, 1978. N9. С. 124-133.
O.M. Z h o v t e n k o
THE ROLE BORTOLOTTI'S EQUIPMENT OF THE CONGRUENCE OF PLANES
In the projective space group connection is investigated in the bundle, associated with congruence of planes. It is shown, that curvature object of the connection is pseudotensor. Bortolotti's equipment of the congruence is made. It consist in the giving of field supplementary planes. The notion of covariant differential and covariant derivatives of equipping quasitensor in the group connection is introduced. Covariant derivatives of component of equipping quasitensor is pseudotensor. It is proved, that Bortolotti's equipment induces two types of group connection in the associated bundle.
УДК 514.75
V.V. K a i s e r
(Friedrich -Alexander-Universität Erlangen-Nürnberg)
SPEZIELLE DISTRIBUTIONEN AUF GRASSMANN'SCHER MANNIGFALTIGKEIT (IV)
Im ersten Teil des Artikels [1] sind die Ergebnisse zusammengefast, im zweiten Teil [2] ist analytischen Apparat gegeben, im dritten [3] Teil werden die Sätze 1.1-1.4 bewiesen und im Schlußteil des Artikels werden die übrigen Sätze 1.5-1.16 bewiesen.
4. Nichtholonome Komplexe. Berechnungen.
4.1. Allgemeine Klassifikation. Wie aus dem Lemma 2.1 folgt, kann jede beliebige 3-dimensionale Distribution K (nichtholonomer Komlex) auf der Grass-mann'schen Mannigfaltigkeit M mit Hilfe von einer Pfaffscher Gleichung
c1Q1+ c2Q2+ c3Q3+ c4Q4=0 (4.1)
(local) bestimmt werden, wobei alle glatten Funktionen ci auf M nicht zusammen verschwinden dürfen.
Es sei T=t0Ao+tA1 ein Punkt auf der laufenden Geraden leM. Aus (3.2) folgt, daß der Punkt T der Striktionspunkt (Brennpunkt) einer integralen Torse für K ist, wenn die Gleichungen des Systems (4.1), (3.3) gelten. Das letzte System besitzt bezüglich Q1 eine Lösung der Gestalt (2.4) mit A/=t°p, ^2=t0q, ^3=t1p, ^4=-t1q, wo
p=t0c2-t1c4, q=-(t°c1+t1c3). (4.2)
