CC BY
5
2. Rizza G.B. Varieta parakahleriane // Ann. Mat. Pura ed Appl. 1974. V. 98. № 4. P. 4761.
3. Sawaki S., Sekigawa K. Almost Hermitian manifolds with constant holomorphic sectional curvature // J. Diff. Geom. 1974. V. 9. P. 123-134.
4. Кобаяси Ш., Номидзу К. Основы дифференциальной геометрии. Т. 2 М.: Наука. 1981. 416 с.
5. Gray A., Hervella L.M. The sixteen classes of almost Hermitian manifolds and their linear invariants// Ann. Mat., Pura ed Appl. 1980. V. 123. №4. P. 35-58.
6. Кириченко В. Ф. Методы обобщенной эрмитовой геометрии в теории почти контактных метрических многообразий // Проблемы геометрии. М.,1986. Т. 18. С. 25-72.
7. Банару М.Б. Эрмитова геометрия 6-мерных подмногообразий алгебры Кэли // Дис. ... канд. физ.-мат. наук. М.: Изд-во МПГУ, 1993. 99 с.
8. Рашевский П.К. Риманова геометрия и тензорный анализ. М.:Наука, 1964. 664 с.
9. Банару М.Б. Об одном свойстве 6-мерных эрмитовых подмногообразий алгебры Кэли / Смоленский госпединститут. Деп. в ВИНИТИ 13.11.96. № 3328-В96.
10. Банару М.Б. О спектрах важнейших тензоров 6-мерных эрмитовых подмногообразий алгебры Кэли // Новейшие проблемы теории поля. Казань: КГУ-КЦ РАН, 2000. С. 18-22.
11. Картан Э. Риманова геометрия в ортогональном репере. М.: Изд-во МГУ, 1960. 298 с.
12 Gray A. Some examples of almost Hermitian manifolds // 1ll. J. Math. 1966. V. 10 №2. P. 353-366.
13. Банару М.Б. О паракелеровости 6-мерных эрмитовых подмногообразий алгебры Кэли // Диф. геом. многообр. фигур. Калининград, 1994. № 25. С. 15-18.
14. Кириченко В.Ф. Устойчивость почти эрмитовых структур, индуцированных 3-векторными произведениями на 6-мерных подмногообразиях алгебры Кэли: Сб. // Укр. геом. 1982. Т. 25. С. 60-68.
15. Кириченко В.Ф. Эрмитова геометрия шестимерных симметрических подмногообразий алгебры Кэли // Вестник МГУ. 1994. №3. С. 6-13.
16. Банару М.Б. О 6-мерных эрмитовых подмногообразиях алгебры Кэли // Диф. геом. многообр. фигур. Калининград, 2000. № 31. С. 6-8.
M.B. Banaru
ON PARAKAEHLERIAN AND C-PARAKAEHLERIAN MANIFOLDS
Criteria of parakaehlerianity and c-parakaehlerianity are found for almost hermitian manifolds. Exampes of 6-dimensional parakaehlerian and c-parakaehlerian are given.
УДК 514.75
О.О. Белова
(Калининградский государственный университет)
КОВАРИАНТНЫЙ ДИФФЕРЕНЦИАЛ ОСНАЩАЮЩЕГО КВАЗИТЕНЗОРА НА ГРАССМАНОВОМ МНОГООБРАЗИИ
Продолжено изучение групповой связности в расслоении,ассоциированном с многообразием Грассмана.Оказывается, что объект групповой связности содержит единственные простой и простейший геометрические подобъекты. Рассмотрено оснащение Бортолотти, задаваемое полем квазитензора на грассмановом многообразии. Найдены ковариантный дифференциал и ковариантные производные оснащающего квазитензора относительно групповой связности. Доказано, что ковариантные производные образуют тензор. При внешнем дифференцировании ковариантного дифференциала введен тензор неабсолютных перенесений.
Отнесем проективное пространство Рп к подвижному реперу {А,А1}, деривационные формулы которого имеют вид:
ёА = 0А+ю1А1, ёА1 =0^ +ш {Ат +ш:А, (1)
где базисные формы ш1, ш (, ®1 проективной группы ОР(п) , действующей в пространстве Рп, удовлетворяют структурным уравнениям
Вш:= ш"лш ^, БШ1 =ш {(1Д,К= 1, п),
Бш ^=ш К лш К+Ш1Лш:+5 ^ шК лшК (2)
Рассмотрим в пространстве Рп многообразие Грассмана У=Ог(ш,п) ш-мерных плоскостей Ьш. Поместим вершины А, Аа на плоскость Ьш (а,Ь,е,ё=1,ш; а,Р,у,ц,п=ш + 1,п). Из формул (1) получаем уравнения стационарности плоскости Ьш: ша=0, ш а =0.Следовательно, ша, ш а являются главными формами, а остальные формы ша, ш Ь, ша, ш а, ша, ша -
вторичными. Над многообразием Грассмана V есть главное расслоение И(У), типовым слоем которого служит подгруппа стационарности ИсОР(п) плоскости Ьш. Зададим групповую связность в главном расслоении И^) способом Лаптева [1]. Формы связности имеют вид:
ш а=ша-ь а ша-Г аь ш а, ш ь=ш ь-Ча ша-Г ьа ш а, ша=ша-Гааша-П Ь„ ш Ь , ша =ш а -Г аршР-П § ш Ь, (3)
ша =ша -ь аУ шу-Г а; ш а, ш ь=шь-ь ^ш^ар ш а,
причем компоненты объекта связности Г={Ьа, Г аь, ЬЬа, Г ьа, Гаа, П
аа :
г Ьр П Ьр , Ь Ьу , Г Ь ар, О ар } удовлетворяют дифференциальным сравнениям [2]:
ль а -ььа юъ+г а юь+ю а -о, аг ?+(5 ъь а -г са к-о,
Аь Ъа +(5 а Гъа+5 ъ Гса)юс +(-5 ЪЬ а -5 ъь а +Г ъа )Юс-5 ъ Юа -0,
АГъса +(55Пъа +5ъП5а +5^- (5ъГас + 5ъГас)юй + 5ъюа - о,
АГаа+(Пъа +ьъа)юъ - ° АПъа + Гаа^ + Гшюс + ^юа - 0,
АГ аР + П арЮа + П аърЮъ + (5 ъь^ар -5а Ц,р Ц - Ь>а - о, (4)
ап ар+(5 ъ г аР+5 со а р) юс+(5 а г аър -5а г % к - гръ юа-о,
аьа+5агаУюа+(га;-5аьа)«а -^^р) - о, лга;+(5ъьаРу+5апъУ )юъ - 5аг»«с - 5а«в - о,
АЬав + (°аР + ГаР К - ГаР®а + ЦфЮу - 0,
лааР+ьаРша+павюъ - п>а+гааршу - о, где оператор А действует следующим образом:
ЛГ^ас _ .лрас ра^ с р^асрас ё рёс а А1 ъа - 51 ъа + 1 ъаЮё - 1 ъРЮа - 1 ёаЮъ + 1 ъаЮё ,
а символ - означает сравнение по модулю базисных форм юа, ю а •
Теорема 1. Объект групповой связности Г содержит единственные простейший и простой [3] геометрические подобъекты Г1=(Ьаа,
-раЪ та -рае т-< т-тЬ > т-< _/т-< т а -раа 1
1 а ' ьЪа> 1 Ъа' 1 аа' П аа /' 1 ^Х1 1> ^ Ру > 1 Ру }■
Определение 1. Подобъект Г3={ь ¡¡¡у, Гру} объекта связности Г, дополняющий простейший подобъект Г1 до простого подобъекта Г2 и не являющийся геометрическим объектом, назовем объектом псевдосвязности. Формы групповой связности (3) подчиняются структурным уравнениям
В «а - Юъ Л «ъ + яарюа АЮР + Я>а А «ъ + яаърс «а А «в,
В«ъ -«ъ айс+ йъ лйа +5ъ®с лйс + яъарйа лшв + Я^^й0 лшв + яъ^роа Л®5,
Бша - «а айъ а л«р+йа лйа + яару®Р л«1 + ЯаРуйр лоъ + Яа^оъ , бйа -йр лйа +5а« лйа + я¡ауцшу лйц + яа;цшу лйЦ + я<й лйЦ, (5) Бйа - ~а л йа + йа л йр + ЯаруюР лшг+ карушр л + каъруюР л Юъ,
т,™ р - Л? а паъ паъ^а р ас р асё р ^ъ ^с р а р аъ р аъс р а где я - {яар, яар, яар , Яъар, Яъар, Яъар, Яаар, каар, каар, яару , яару, яару , яруц,
Я¡Ц, Яауа|ъ, Яару, кару, каъру} - объект кривизны групповой связности, компоненты которого выражаются [4] через объект связности Г и пфаффовы производные его компонент.
Произведем оснащение Бортолотти многообразия Грассмана, которое состоит в присоединении к каждой т-мерной плоскости ьт (п-ш-1)-
мерной плоскости. Рп-т-ь не имеющей общих точек с плоскостью Ьт. Определим плоскость Рп-т-1 совокупностью точек Ба=Ла+Я аЛа + ЯаЛ.
Находя дифференциалы точек Ба и учитывая относительную инвариантность плоскости Ьт, получим дифференциальные уравнения компонент оснащающего объекта Я = {Яаа, Яа}
¿Яа + ЯаШЬ - Яар®а + Яа®Я + ®а = Яар®Р + ^«Ь' ^
¿Яа - Яр®а + ЯаШа + Ша = Яар®Р + Аар®в.
В работе [2] построен первый охват объекта связности Г с помощью объекта Я. Внося в уравнения (6) формы связности (3), найдем выражения компонент ковариантного дифференциала объекта Я относительно групповой связности, задаваемой объектом Г, через ковариантные производные
^Яах = УрЯ>Р ЯааШР, УЯа = УрЯаШР ЯаШ^,
где компоненты ковариантного дифференциала имеют вид:
УЯа = ¿Яа + ЯаШЬ -ЯР®а +Яа®а +®а , ^Яа = ¿Яа -ЯрШа + ЯаШа + Ша, (7) а ковариантные производные выражаются по формулам
^РЯа = ЯаР - ЯаЦьр + ЯуЦф - ЯаЦ - Гар ,
УЬла л аЬ ^ , ат уЬ л т^аЬ тгаЬ
РЯа"Яар-ЯаГсР + ЯуЬар - ЯаГр - Пар > (8)
^Яа = ЯаР - ЯуЦф + ЯааГар - Ьар > ^Яа = Л11аР + ЯуЦф - ЯЬаПЬр - ^р .
Теорема 2. Ковариантные производные (8) оснащающего квазитензора Я в групповой связности Г образуют тензор.
Доказательство. Продолжая дифференциальные уравнения (6) с помощью структурных уравнений (2), получим
АЯаР + Я>1 + Яр®а + ЯаР®а + Яа®р - 0
АЯ^ + Я>Ьа + Я^Ш1 + АЬарШа + Я^ - 0,
АЯаР + (АааР + Яар )ша - ЯРШа - ЯаШР - °,
ААаар + ЯарШа + ЯЬФШЬ + Я«Шр + Ярша - °.
Используя уравнения (4), найдем дифференциальные сравнения для кова-риантных производных (8)
АУрЯаа +УрЯаШа +уЬЯ>Ь - 0, АУ£Я^ + VIЯаШа +УрЯааШЬ - 0,
АУрЯа+ (V;Яа+VpЯaа )Ша - °, А^Яa+VpЯaШа + V;ЯЬаШь - 0.
С помощью структурных уравнений (2) найдем внешние дифференциалы от компонент ковариантного дифференциала (7)
БУА,аа = УЛ,ьа л®ь -VAap л5Р + У^ л Ша + Т^шР лю7+ Тр^ш13 л + Тр^ шР л»?,
DV^a = V^a лШа -V^p ЛШР + ТаруШР ЛШУ + ^рушР Л + ^ру^ Л :
где
T¿Y - RaPy +^ЬаRbpY RüpY + RPy , TaPy - RаРу RüpY + RaPy ,
Tab — Г? ab _i_ ^c Г? ab ^a T? цЬ л pab ça _ ta a л и ца , T, b та a ТсхРу - R«Р^ aRcPy цRаР^ аRРу , SaPY _ KаРу ЛцRаР^ ЛаKbPy ,
rr^abc _ tí abc . T,d т-> abc л a т-> цЬс л т-> abc oab _ т^ab л т-> |iab . лС T^ab TaPy - RаРу +ЛаRdPy - ЛцRаРу + ЛаRРу , SaPy - KаРу - ЛцRаРу + ЛаKcPy •
Определение 3. Объект Т= {т ^, т ^, т ^, т ару ^ хру}по аналогии с
работой [3] назовем объектом неабсолютных перенесений.
Теорема 3. Объект неабсолютных перенесений Т образует тензор.
Доказательство. Учитывая дифференциальные сравнения объекта кривизны R, найденные в статье [4], получим сравнения
АТ<РРУ + Та[Ру]®Ь + Tapy®a = ° AT(apC + (SdS0C3y + ^^Ру ])®d = °
AT(pPY + 2T<a[pY]®с + (2SbT<PPY +SCSaру )®С = ° ATaPy + (S0t[Py] + Т<^ )roa = °
AS0.py + (TX + 2Sïpy К + 2TaPy®a = ° ASa?PY + T¿pbY®c + SCaSía[Py]®С = ° где квадратные скобки означают альтернирование по крайним индексам в них, причем, если в скобках содержаться верхние и нижние индексы, то альтернирование производится по паре индексов.
Список литературы
1. Евтушик Л.Е., Лумисте Ю.Г., Остиану Н.М., Широков А.П. Дифференциально-геометрические структуры на многообразиях // Проблемы геометрии / ВИНИТИ. М., 1979. Т. 9. 248 с.
2. Белова О.О. Связность в расслоении, ассоциированном с многообразием Грас-смана // Диф. геом. многообр. фигур. Калининград, 2000. № 31. С. 8-11.
3 Шевченко Ю.И. Оснащения центропроективных многообразий. Калининград, 2000. 113 с.
4. Белова О.О. Объект кривизны связности в расслоении, ассоциированном с многообразием Грассмана // Проблемы мат. и физ. наук. Калининград, 2°°°. С. 19-22.
O.O. Belova
THE COVARIANT DIFFERENTIAL OF EQUIPPING QUASITENSOR ON THE GRASSMAN'S MANIFOLD
Study of the group connection in stratification, associated with the Grass-man's manifold, was continued. It is turned out, that object of the group connection contains only simple and simplest geometric subobjects. Bortolotti's equipment assigned by field of the quasitensor on the Grassman's manifold was cosidered.
Covariant differential and covariant derivatives of the equipping quasitensor in the group connection were found. It is proved, that covariant derivatives are tensor. When outward differentiating covariant differential, the tensor of nonabsolute movings was introduced.
УДК 514.76
Р.Ф. Билялов
(Казанский государственный университет) СПИНОРЫ НА РИМАНОВЫХ МНОГООБРАЗИЯХ
Спинорное представление ортогональной группы О(п) расширено до действия полной линейной группы Оь(п) на тензорном произведении пространства метрических тензоров и пространства спиноров. Это позволяет рассматривать спиноры в произвольных реперах и в координатах. Спиноры становятся элементами расслоения, ассоциированного к главному расслоению линейных реперов. Построение ковариантных производных и производных Ли становится чисто технической задачей.
У ортогональных групп О(р^) существуют тензорные и спинорные представления, причем последние не допускают расширения до представления объемлющей полной линейной группы Оь(п), n=p+q. Поэтому для задания спиноров на римановых многообразиях вводятся поля ортогональных реперов. При переходе от одного поля ортогональных реперов к другому с помощью некоторого поля ортогональных преобразований спиноры преобразуются с помощью соответствующего поля спинорных преобразований. Эта необходимость использовать только ортогональные реперы при рассмотрении спиноров на римановых многообразиях приводит к трудностям уже при построении производной Ли спиноров. При переносе с помощью точечного бесконечно малого преобразования х=х'+^ ортогонального репера е - (еа) из точки х4£, в точку х перенесенный репер е(х) перестает быть ортогональным репером, следовательно, переход от этого репера е(х) к реперу е(х) описывается неортогональным преобразованием.
