CC BY
6
М.Б. Банару
8. Idem. On six-dimensional Hermitian submanifolds of Cayley algebra satisfying the G-cosymplectic hypersurfaces axiom // Annuaire de l'universite de Sofia «St. Kl. Ohridski». 2000. T. 94. P. 91 - 96.
9. Он же. Две теоремы о косимплектических гиперповерхностях 6-мерных эрмитовых подмногообразиях алгебры Кэли // Изв. вузов. Сер. мат. 2002. №1. С. 9 - 12.
10. Арсеньева О.Е., Кириченко В.Ф. Автодуальная геометрия обобщенных эрмитовых поверхностей // Математический сборник. 1998. Т.189. №1. С. 21 - 44.
11. Gray A. Vector cross products on manifolds // Trans. Amer. Math. Soc. 1969. Vol. 141. P. 465 - 504.
12. Кириченко В.Ф. Эрмитова геометрия 6-мерных симметрических подмногообразий алгебры Кэли // Вестн. МГУ. Сер. мат., мех. 1994. № 3. С. 6 - 13.
13. Kurihara H. The type number on real hypersurfaces in a quaternionic space form // Tsukuba J. Math. 2000. Vol. 24. P. 127 - 132.
14. Норден А.П. Теория поверхностей. М.: Изд-во ГИТТЛ, 1956. 260 с.
15. Gray A. Some examples of almost Hermitian manifolds // Illinois J. Math. 1966. Vol. 10. № 2. P. 353 - 366.
16. Лихнерович А. Теория связностей в целом и группы голономий. М.: Изд-во ИИЛ, 1960. 216 с.
M. Banaru
ON KENMOTSU HYPERSURF ACES IN SIX-DIMENSIONAL HERMITIAN SUBMANIFOLDS OF CAYLEY ALGEBRA
It is proved that a Kenmotsu hypersurface in a six-dimensional Hermitian submanifold of Cayley algebra is minimal if and only if its type number is equal to four. It is also proved that a Kenmotsu hypersurface in a six-dimensional Hermitian submanifold of the octave algebra cannot be totally umbilical.
УДК 514.75
О.О. Белова
(Калининградский государственный университет)
СВЯЗНОСТИ ТРЕХ ТИПОВ В РАССЛОЕНИИ НАД ОБЛАСТЬЮ ПРОЕКТИВНОГО ПРОСТРАНСТВА
В проективном пространстве рассмотрена область, описанная точкой. Над областью возникает главное расслоение, типовым слоем которого является подгруппа стационарности точки.
21
Дифференциальная геометрия многообразий фигур
В этом расслоении задана фундаментально-групповая связность по Г.Ф. Лаптеву. Доказано, что оснащение Бортолотти (нормализация Нордена) рассматриваемой области индуцирует центро-проективные связности трех типов в ассоциированном расслоении. Получены условия совпадения охватов и формулы, связывающие охваты трех типов. Дана геометрическая интерпретация индуцированной связности 1-го типа.
Отнесем п-мерное проективное пространство Рп к подвижному реперу {А,А:}, деривационные формулы которого имеют вид
ал = ел+ю1л1, ал = ел^ ©I л1+ю1л, (1)
где линейная форма е играет роль множителя пропорциональности, а формы ю1, ю^, ю: (1Д,...= 1,п) проективной группы GP(n), действующей в пространстве Рп, удовлетворяют структурным уравнениям Картана:
Бю1 = ю1 лю1, В(»1 = ю^ лю^ -юк а(81юк +8^;), Вю: = лю1. (2)
В проективном пространстве Рп рассмотрим область V, описанную точкой А, т.е. многообразие Грассмана Gr(0,n). Из формул (1) видно, что точка А фиксируется в области V при ю1 =0, т.е. формы ю1 - главные. Они удовлетворяют структурным уравнениям (21). Внешние дифференциалы вторичных форм ©I, ю: имеют вид (22) и (23). Итак, над областью V построим главное расслоение G(V) - расслоение центропроек-тивных реперов, типовым слоем которого является подгруппа стационарности G точки А. Расслоение G(V) содержит подрасслоение линейных реперов L(V) со структурными уравнениями (21) и (22).
Зададим связность в главном расслоении G(V) способом Лаптева. Рассмотрим формы фундаментально-групповой связности в G(V):
ю;=ю - ^к^ ют =ют- г1кюК- (3)
Компоненты объекта связности Г={ ГЦк, Гп } удовлетворяют дифференциальным уравнениям
ДГ1к-81юк-8к»1 = Г1кь»Ь, АГЫ + Гкюк = Г^, (4) где оператор Д действует обычным образом. Из уравнений (4) следует, что объект Г содержит простейший подобъект Г1={ Г } - объект линейной связности.
Структурные уравнения форм связности (3) запишем в виде
22
О.О. Белова
Бю1 = юк лю^ + Я^ьюк ай1, = юц ли; + Я1Жюи люк , (5)
причем компоненты объекта кривизны R={ Я^, Япк } связности Г имеют следующие выражения:
ЯЖЬ = Г1[кь] + ГМ[кГМ], Я1Ж = Г1[1к] + ГЬЦ ГЖ] (6)
(квадратные скобки означают альтернирование по крайним индексам).
Продолжая дифференциальные уравнения (4), получим сравнения по модулю базисных форм ю1:
ДГ икь + Гикюь + Г 1ьюк + Г ьк ю1 -8ьГжЮмк = 0, ДГ пк + Г Ию + 2Ги юк + Г К ю1 + Гк1 ю1 = 0
(7)
Учитывая сравнения (7) и равенства (6), находим дифференциальные сравнения, которым удовлетворяют компоненты объекта кривизны R:
Я1кь - 0, Д Яцк + Яьикюь - 0, (8)
т.е. объект кривизны R является тензором, содержащим подтензор { Я1кь }.
Произведем оснащение Бортолотти [1] (нормализацию Нордена [2]) области V, которое состоит в присоединении к каждой точке А гиперплоскости Рп-1, не проходящей через А. Определим гиперплоскость Рп-1 совокупностью точек В:= Л:+Х:А. Находя дифференциалы точек В: и учитывая относительную инвариантность гиперплоскости Рп-1, получим дифференциальные уравнения компонент оснащающего объекта Х= {Х^:
ДХг+ю^ Хцю1. (9)
Дифференциальные уравнения (4; 9) позволяют найти первый
1 0 01
охват Г = {ГИк, Гц } объекта связности Г квазитензором Х:
0
гик = -8иХк -8кхI, (10)
01
Г п = -Х 1Х и. (11)
Продолжая дифференциальные уравнения (9), получим сравнения
ДХп+ХхЮд+ХхЮх - 0. (12)
23
Дифференциальная геометрия многообразий фигур
Учитывая в уравнении (9) равенства (3), находим выражения ко-вариантного дифференциала объекта Х относительно групповой связности, задаваемой объектом Г: УХ1 = УгХ 1юг, где компоненты ковариантного дифференциала имеют вид
УХ1 = dX1 - X гю 1 + ю:,
а ковариантные производные выражаются по формулам
УТХ! =ХП + ХкГ1 -Гп. (13)
С помощью структурных уравнений (5) находим внешние дифференциалы от компонент ковариантного дифференциала:
Б УХ1 = -УХ; л+ Тпкю1 лйк,
где
Тпк = ^к Х ь^ик. (14)
Теорема 1. Объект неабсолютных перенесений [3] Т={Т1Ж} образует тензор.
Действительно, учитывая дифференциальные сравнения (8), получим сравнения Д Тщ, = 0.
Действуя оператором Д на ковариантные производные (13), получим, что они образуют тензор, т. е. ДУХ = 0. Приравнивая выра-
0
жения (13) нулю, подставляя туда охват Г 1к (10), находим второй
2 0 02
охват Г = {Гж, Гп } компонент связности Г, где
02
Г 1г = Хп -2ХхХх. (15)
3 0 03
Третий охват Г = {Г 1к, Гп } строим при помощи уравнений (4) и сравнений (12), тогда
03
ГII = -Хп. (16)
Теорема 2. Оснащение Бортолотти (нормализация Нордена) области V индуцирует центропроективные связности трех типов в расслоении центропроективных реперов G(V), ассоциированном с областью V проективного пространства Рп.
24
О.О. Белова
Следствие 1. Связности трех типов совпадают тогда и только тогда, когда выполняется следующее условие: Хп=
Следствие 2. Связность 1-го типа является средней по отноше-
1 2 3
нию к связностям 2-го и 3-го типов, т.е. Г = Г+Г .
2
Замечание. Аналогичный результат получен в статье [4]. Из формул (7; 10; 11; 14 - 16) находим выражения объекта Т в рассмотренных связностях:
01 02 1 03
Тик = О, Тпк = -(XпХк-XкX+ XюХ:-XЖХД Тик = 0.
Дадим геометрическую интерпретацию связности 1-го типа. Рассмотрим дифференциалы точек В^
ав1 = [ е+ю+(Г]К +5Kx 1)юк]Би + +[ VXI + (Ги-XKГ]K-XIX]А. (17)
Учтем построенные охваты:
0 01
ав1 = (е - xKюK)вI+со И в;+vx] А. (18)
Теорема 3. Гиперплоскость Бортолотти Рп-1 в связности 1-го типа переносить параллельно нельзя.
Доказательство. Приравнивая нулю компоненты ковариантного
01
дифференциала VX] = 0, получим dBI= [...](В; т.е. гиперплоскость Рп-1 остается на месте.
0
Теорема 4. Подобъект линейной связности Г1 характеризуется центральным проектированием гиперплоскости Рп-1 + йРп-1, смежной с гиперплоскостью Рп-1, из центра А: 0
Гх:Рп-1 + ¿Рп-1 —Рп-1.
Доказательство следует из формулы (18), так как при проектировании из центра последнее слагаемое исчезает, а остальные суще-
0
ственные слагаемые определяются формами ю] .
Теорема 5. Связность 1-го типа принадлежит пучку [5] связно-стей 1 -го типа.
25
Дифференциальная геометрия многообразий фигур
Доказательство. В равенстве (17) введем обозначения
ln = Гц -XKrj -XjXj. Действуя оператором Д, получим, что объект
l = {ln} является тензором: Д1ц = 0. Обращение в нуль тензора l определяет принадлежность групповой связности Г пучку 1 -го типа, объ-
1 01 1 ект которого обозначим Г , тогда Г еГ.
Список литературы
1. Bortolotti E. Connessioni nelle varieta luogo di spazi // Rend. Semin. Fac. Sci. Univ. Cagliari. 1933. № 3. C. 81 - 89.
2. Норден А.П. Пространства аффинной связности. М.; Л., 1950.
3. Шевченко Ю.И. Оснащения центропроективных многообразий. Калининград, 2000. 112 с.
4. Белова О.О. Связности трех типов в расслоении, ассоциированном с многообразием Грассмана // Проблемы мат. и физ. наук. Калининград, 2001. С. 3 - 5.
5. Скрягина А.В. Пучок связностей 1-го типа, индуцированный оснащением Бортолотти плоскостной поверхности // Там же. 2000. С. 35 - 38.
O. Belova
CONNECTIONS OF THREE TYPES IN THE BUNDLE OVER AREA OF THE PROJECTIVE SPACE
In the projective space the area described by a point is concidered. Over area there is a main bundle, standard fiber which one is a subgroup of a stationarity of a point. In this bundle preset fundamental-group connection on the Laptev. It is proved, that rigging of Bortolotti (the normalization of the Norden) considered area induces centerprojective connections of 3 types in associate bundle. The conditions of their coincidence are obtained. The geometrical interpretation of induced connection of 1-st type is given.
Работа поддержана грантом Минобразования РФ (СПб КЦФЕ), кандидатский проект М03-2.1К-550.
УДК 514.75
С.Ю. Волкова
(Балтийский военно-морской институт)
26
