CC BY
6
Библиографический список
1. Кобаяси Ш., Номидзу К. Основы дифференциальной геометрии. М.: Наука, 1981. Т.2 . 414 с.
2. Чешкова М. А. О паре гиперповерхностей в евклидовом пространстве // Геометрия многомерных пространств: Межвуз. темат. сб. науч. тр. / Алтайский ун-т. Барнаул, 1994. С. 78-85.
3. Шуликовский В.И. Классическая дифференциальная геометрия. М.: ГИФМЛ, 1963. 540 с.
4. Бессе А. Многообразия Эйнштейна. М.: Мир, 1990. Т. 1. 318 с.
M. A. C h e s h k o v a
ON A GEOMETRY OF A CENTRAL PROJECTION OF A PAIR OF HYPERSURFACES
A pair of smooth hypersurfaces M, M and the central projection f: M^ M in Euclidean space are examined.
УДК 514.76
СВЯЗНОСТИ ГОЛОНОМНЫХ И НЕГОЛОНОМНЫХ ЦЕНТРОПРОЕКТИВНЫХ МНОГООБРАЗИЙ
Ю.И. Шевченко
(Калининградский государственный университет)
Понятия проективной связности и пространства проективной связности определяются разными методами, имеют различный смысл и продолжают развиваться [1]-[17]. Широко известны объект проективной связности Томаса, проективная связность Картана, центропроективная и проективная связности в главных расслоениях соответствующих реперов. На дифференцируемом многообразии применяются разнообразные способы описания проективных связностей [18]-[22].
В статье производится одна из возможных проективизаций дифференцируемого многообразия, в результате которой касательные пространства многообразия становятся центропроективными пространствами той же размерности. Такое многообразие называется центропроективным. Выделяются голономные и него-лономные центропроективные многообразия. С помощью этих многообразий естественно определяются центропроективная связность в голономном и него-
лономном случаях при одновременном их рассмотрении. Используется способ Лаптева [11], [14] задания связности в главном расслоении и трактовка А.К. Рыбникова [22] понятия связности.
Показано, что объекты кручения и кривизны центропроективной связности в неголономном случае не являются тензорами, а в голономном случае - тензоры. Определены обобщения нормализации Нордена, оснащений Картана и Бортолот-ти, выяснена их роль. Доказано, что нормаль 2-го рода нельзя перенести параллельно в общей центропроективной связности, но относительно так называемой нормализованной связности она переносится абсолютно параллельно.
1. Проективизация. Рассмотрим п-мерное многообразие V некоторого класса дифференцируемости. В любой точке Ле^ имеется касательное векторное пространство Тп размерности п. Произведём следующее построение:
1) наделим [23] каждое векторное пространство Тп структурой аффинного пространства с центром A и обозначим его An; 2) дополняя центроаффинное пространство An несобственной гиперплоскостью Ln_1, получим [3, с.105], [6, с.495] расширенное пространство Pn=AnuLn_1; 3) расширим действие линейной (центроаффинной) группы GL(n), преобразующей центроаффинное пространство Лп, до действия коаффинной (центропроективной) группы GA*(n) в цен-тропроективном пространстве Рп; 4) выполним аналогичные действия [22] с касательными пространствами высших порядков [24]. Этот процесс назовём про-ективизацией дифференцируемого многообразия а его результат - центро-проективным многообразием Wn. Таким образом, центропроективное многообразие есть дифференцируемое многообразие, касательные пространства которого превращены в центропроективные пространства той же размерности, но не задано отображение соседнего центропроективного пространства на исходное пространство, называемое проективной связностью [5, с.339], [7], [11].
Исследуем центропроективное многообразие Wn. Отнесём центропроективное пространство Рп к подвижному реперу {Л, Л1 }, тогда для дифференциала точки Л имеем
ёЛ= ш Л+ ш1А ( у,к,1,т=1~п ), (1)
где чёрточки над аналитическими точками не пишутся; ш, ш1 - линейные дифференциальные формы, причём последние линейно независимы. В пространстве Рп
фиксирован центр Л, поэтому система уравнений ш1 =0 вполне интегрируема,
т.е. внешние дифференциалы форм ш1 имеют вид
Бш1=ш ]лш 1. (2)
Используя
Б(ал)=о, (3)
продифференцируем уравнение (1) внешним образом
АБю + (dAi -юjAj -юАх)лш1 = 0. (4)
Для разрешения этого уравнения по лемме Картана требуется выполнение структурного уравнения вида
Dю = ю1 лш . (5)
Подставляя его в уравнение (4) и разрешая, получим
dA =юЛх + юjAj A + юJAj , (6)
причём новые точки A^ симметричны :
A[ij] =0. (7) Они принадлежат соприкасающемуся пространству, т.е. касательному проективному пространству 2-го порядка P2^Pn,
dim P2=dim Pn + Cl + C 2 = 1 n (n + 3).
Возьмём внешние дифференциалы от обеих частей структурных уравнений (2),(5) :
юJ л(Dю 1 -юJ лшк) = 0 , ю1 л(Dш -юJ л^) = 0. Разрешим полученные уравнения по обобщённой [20] лемме Картана
Dю1 = юJ люk + юk лю-к , (8)
Dю=юJ л^+юJ лю , (9)
причём
ю ^ люj лю k = 0 , юлю1 люJ = 0. (10)
Уравнения (10) выполняются в голономном случае, когда формы ю , ю^ симметричны :
ю [Jk] = 0, ю [1J] = 0. (11)
Однако равенства (11) не являются необходимыми [20, с.142] для справедливости условий (10), поэтому в общем случае формы ю , ю^ несимметричны по
нижним индексам. Учитывая, что
D(dAi)=0, (12)
продолжим уравнения (6) :
dA,J = ю kAkJ + ю kAjk +юЛу +ю ,Aj +ЮJ Л, +ю ^ +ю^ Л + ю kA^ k, (13)
причём точки Aijk согласно лемме Картана симметричны по индексам j,k :
Ai[jk]=0. (14)
Альтернируя уравнения (13) с использованием соотношений (7), найдём
Ю k ]Ak + Ю [ij 1A + Ю kA[i = 0' откуда вытекают равенства (11) и A[ij]k=0, которые вместе с соотношениями (14) дают симметричность точек А^к по всем индексам. Точки Аук принадлежат касательному пространству 3-го порядка Р3з P2,
dim Р3= dim Р2+ С— + 2C2 + C3 = — n(n2 + 6n +11) .
6
Дальнейшие продолжения уравнений (13) вводят симметричные точки A ■ \ , принадлежащие касательному проективному пространству Pr порядка г.
Размерность проективного пространства Pr совпадает с размерностью [20], [23], [24] линейного пространства Tr того же порядка, касательного к дифференцируемому многообразию Vn : dim Pr =dim Tr = СГ+г — 1.
2. Неголономность. При фиксации точки А центропроективного многообразия Wn уравнения (1), (6), (8), (9) упрощаются :
5А=%А , 5AX = %AX + % jA + %i A ; (15)
D % 1 = % k а% k , D %х=% j А % j, (16)
где 5 = d|^ , % = Ю ^ . Равенства (15) являются деривационными формулами подвижного репера 1-го порядка R1 ={А, Ai } центропроективного пространства Pn, в котором действует коаффинная группа ОА (n) со структурными уравнениями (4). Пространство Pn и группу ОА(п) обозначим P1 и PD1; назовём их проективным пространством и проективно-дифференциальной [20] группой 1-го порядка,
dim PD1=n(n+1).
Продолжая структурные уравнения (8), (9), получим
DЮ^ = Ю^ АЮi — Ю^ АЮl — Ю 1j АЮk + Ю1 АЮ^, (17)
1 • nj — Ю^ АЮl — Ю^ АЮ k ' •
k k k k D Ю=Ю ц АЮ— ^АЮ j — Ю^АЮ i +Ю А^ , (18)
причём Ю^ АЮk АЮ1 = 0 , Юр. А Юj А Юk = 0. Из уравнений (13),(17), (18) следует
k А , _k А , _ л , _ л , _k
5Aij = %Aij +% rAkj +%iA1k +% ,Aj +%jA, +% kAk +%yA > (19)
(20)
D%jk = % 1k А% 1 — % 1k А%1— %ji А%k
k k k D % ij = % у А % k — % ik А %k — % kj А %k
где формы % 1к, симметричны по нижним индексам согласно условиям (11). Равенства (15), (19) есть деривационные формулы подвижного репера 2-го порядка Я2={ А, Ар А^} проективного пространства Р2 (А еР1 с Р2), в котором
действует группа Ли со структурными уравнениями (16), (20). Эту группу обозначим PD2 и назовём [20] проективно-дифференциальной группой 2-го поряд-2 1
ка, dimPD = — п(п + 1)(п + 3) . Продолжения структурных уравнений (17), (18) и
фиксация точки Ae Wn приведут к действующей в проективном пространстве Pr(А eP1 с...сPr 1 сPr) проективно-дифференциальной группе PDr порядка г, dimPDr= (П +1)С0П+Г -1).
Если предположения (3),(12),... не справедливы, т.е. дифференциалы dA, dAi,... не являются полными (см., например, [6, с.469], [19]), то получить уравнения (6),(13),... путём продолжений уравнения (1) не удаётся. Однако, будем предполагать, что они имеют место, но точки Aij,Aijk,... несимметричны. Тогда нельзя
доказать симметричность форм ю , щ; Ю , щк;.- по нижним индексам. В этом общем случае будем говорить о неголономном проективном многообразии \УП (п>1), в каждой точке A которого имеется неголономное касательное проективное пространство ?г порядка г (г=1,2,...), в котором действует неголономная проективно-дифференциальная группа NPDr, причём
dimPr = n(1 + n+...+nr -1), dimNPDr =(n+1)dimPr = n(n +1)(nr -1).
n -1
Обозначая Dr и NDr голономные [4], [20] и неголономные [8], [20] дифференциальные группы, имеем таблицу включений
ND1 с ND2 с .. . с NDr с
D1 с D2 с .. . с Dr с
PD1 с PD2 с .. . с PDr с
NPD1 с NPD2 с .. . с NPDr с
GL(n) = GA*(n) =
кроме того, NDr с NPDr.
В неголономном случае при обозначениях Wn и Pr можно не употреблять
тильду, а для различия размерностей подпространств писать dim Pr =DimPr. Итак, под центропроективным многообразием Wn подразумевается, вообще говоря, неголономное многообразие.
3. Существование. Покажем существование голономных и неголономных центропроективных многообразий, исходя из соответствующих дифференцируемых многообразий [24]. Формы Wi называются [20] структурными формами дифференцируемого многообразия Vn. Их продолжения W ^ удовлетворяют
уравнениям (8), из которых следует Бш1 = шк лш^ . Сравнивая это уравнение с уравнением (5), положим
ш = ш 1 , ш 1 = ш к. (21)
Свёртывая уравнения (17) по индексам ^ j, найдём
»к +ш 1
Сопоставляя это с уравнениями (9), убеждаемся в справедливости второй совок
»1] =ш к]
Dю^ = -юд лшк + ю лш 1М.
ведливости втор(
купности равенств (21), а также в необходимости соотношений ю- = юL. Для
произвольного порядка r нужно взять
ю =ю ¡^. (22)
Определение 1. Если формы ю j j , ю j i центропроективного многообразия Wn связаны зависимостями (22), то назовём его многообразием Лемлейна [18] и обозначим W^.
Выше доказано существование многообразия Лемлейна W^ с помощью дифференцируемого многообразия Vn, причём в общем случае многообразия Vn и W^ одновременно голономны, либо неголономны.
4. Расслоения центропроективных реперов. Над многообразием Wn возникает главное расслоение центропроективных реперов 1-го порядка C!(Wn) со структурными уравнениями (2), (8), (9), типовым слоем которого является цен-тропроективная группа C1=GA(n), действующая в касательном центропроек-тивном пространстве Pn. Это расслоение содержит подрасслоение линейных реперов L(Wn^ уравнениями (2), (8), базой которого служит многообразие Wn, а
типовым слоем - линейная группа L=GL(n)cC1, действующая неэффективно в (п-1)-мерном проективном пространстве направлений [13] касательного центропроективного пространства Pn.
С неголономным многообразием Wn ассоциируется расслоение неголоном-ных центропроективных реперов 2-го порядка C 2 (Wn ). Оно имеет структурные уравнения (2), (8), (9), (17), (18), базу Wn и типовой слой - неголономную проек-
тивно-дифференциальную группу 2-го порядка C2 = NPD 2. Над голономным многообразием Wn строится расслоение голономных центропроективных реперов 2-го порядка C2(Wn) с теми же структурными уравнениями, к которым присоединены условия (11), и типовым слоем - проективно-дифференциальной группой 2-го порядка C2= ND2. Продолжения уравнений (17), (18) приводят к структурным уравнениям главных расслоений центропроективных реперов высших порядков.
5. Центропроективная связность. Фундаментально-групповая связность в главном расслоении центропроективных реперов C1(Wn) задаётся способом Лаптева с помощью форм
е ;=ш ;-г; ю k,e1 = ю х-гц ю1, (23)
где Г^, Г - некоторые функции. Внешние дифференциалы форм (23) имеют вид
D е; =е k ле k +юk л (уг^ + ю г£ С юk лю l, Dеl = е|леJ +юл(угц + гкюk + юц)-гГюлюk, ( )
где дифференциальный оператор У действует следующим образом:
уг; = dгJk -г; ю ^ г^ ю! + г^ ю l.
Согласно теореме Картана-Лаптева [11], [14] центропроективная связность в расслоении G1(Wn) задаётся полем объекта г = {Г^, г } на базе Wn:
У^ + ю ^ = ГJ1k1 ю \ УГЦ + Гк ю k + ю и = г^ юk. (25)
Подставляя эти дифференциальные уравнения в систему (24), запишем структурные уравнения форм центропроективной связности
эе1 = ек лек + я^ юк лю1, =е jле + % ю ^ люк,
причём компоненты объекта центропроективной кривизны R={ Я^ ,Яук} выражаются по формулам
Я;к1 = ^[Ы] - Гj[kгт1], Яук = Гi[jk] - г;иг1к], (26)
где квадратные скобки обозначают альтернирование по крайним индексам в них.
Внося формы центропроективной связности (23) в структурные уравнения (2), (5), получим
Эю1 =юj ле; + юj люк, Эю = ю1 ле. + Б--ю1 люj,
1 1)
причём компоненты объекта кручения [18] центропроективной связности S={ £ ±5} имеют вид: = Г^, 8±р Г[iJ]. Результат альтернирования дифференциальных уравнений (25) запишем следующим образом
УS1k +юlJk] - 0, УБ) + Бкюк + юй] - 0, (27)
где символ - означает сравнение по модулю базисных форм ю1. Продолжая уравнения (25), найдём
у) - г;ю т - гтк ю тт+г;ю т1+ю ^ - о,
УГцк - Гц ю;к - г) ю 1к + Г^кю 1 + Гю 1к + ю Цк - о, откуда с помощью уравнений (25) и формул (26) получим
vRjkl -г; ш mkl] - о, (28)
VRljk + R!jkш i - гшщ + ш ltjk] -
Из сравнений (27), (28) следует
Теорема 1. Объекты кручения S и кривизны R центропроективной связности неголономного центропроективного многообразия Wn не являются тензорами, для голономного многообразия Wn эти объекты - тензоры.
Замечание. Задающий связность в расслоении C1(Wn) объект центропроективной связности Г содержит [9, с.206], [18, с.121] объект линейной связности rjk, определяющий связность в подрасслоении L(Wn).
6. Нормализация и оснащения. В каждом касательном центропроективном пространстве Pn рассмотрим не проходящую через точку касания A гиперплоскость Njj. Она является аналогом нормали 2-го рода Нордена [25, с.197]. Зададим
нормаль Njj совокупностью точек B^Ai+A^A. Их дифференциалы приводятся к виду
dBi= ю Bi+ ш l Bj+(VAi+ ш i)A+ ю J(AiJ+AiAJ), (29)
откуда вытекают уравнения
VAi+ш i=AiJ шJ, (30)
обеспечивающие инвариантность нормали Njj. Продолжая их, найдём
VAiJ-Ak ш k + ш iJ-0. (31)
Для единообразия изучения голономного и неголономного центропроективных многообразий в голономном случае будем считать функции Ay симметричными. Подставляя уравнения (30) в равенства (29) и преобразуя их, имеем
dBi= ш Bi+( ш j +Ai ш J)BJ+ш JBip (32)
где
BiJ=AiJ+(AiJ-AiAj)A. Точки BiJ удовлетворяют сравнениям
VBiJ-Q BiJ+ш kj Bk+ ш iBJ+ш JBi,
откуда видно, что они вместе с точками Bi определяют продолженную нормаль 2-го рода N jj =[BiJ,Bi]: Nnc N jj, A0 N jj =P2; Dim N jj =n2+n-1, dim N jj = 1 n(n+3)-1.
Теорема 2. Нормализация 2-го рода многообразия Wn и её продолжение сводят центропроективную связность к линейной связности. Доказательство даётся формулой
N
Г =AiJ + rik A, (33)
проверяемой с помощью соотношений (25), (30), (31).
Определение 2. Центропроективную связность, задаваемую полем объекта
N
(Г , Г ), назовём нормализованной.
Возьмём точки Cij=Aij+ цк Ak+ ц^ A, причём в голономном случае коэффициенты симметричны: ц ^ =0, ц^ ^=0. Подействуем на них операторомУ:
УСу-юЦ+(Уцк+ю к+8кюj+8кю 1 ^+(Уцlj+цк юк+ ю^ Совокупность точек С±| инвариантна, если выполняются уравнения
Уц к+ю )+8 кю j+8к ю 1=ц к1 ю1, (34)
уцlj + цк ю к+ ю 1|= ц 1)1Сюк • (35)
Квазитензор {цк, ц^} определяет аналог плоскости Картана [2] - плоскость
С=[Ц]:
СпРп=0, СФРП=Р2; DimC=n2-1, dimC= \ п(п+1)-1. Подобъект цк задаёт аналог 1-ой нормали Нордена [25] - плоскость NI=Aф С=[СуД], DimNI= п2, dimNI= 1 п(п+1).
Определение 3. Нормализацией центропроективного многообразия Wn называется присоединение к каждой точке Ae Wn нормалей двух родов N1 и N11:
N1^=^ ^+Рп=Р2; AeNII=Pn, причём не предполагается существование плоскости Картана Сс^.
Теорема 3. Нормализация многообразия Wn позволяет задать линейную связность в расслоении линейных реперов L(Wn). Доказательство вытекает из формулы
N
г)=цк - 8к V 8кх 1, (36)
справедливость которой подтверждают соотношения (25), (30), (34).
Следствие (Т.2, Т.3). Нормализация многообразия Wn индуцирует нормализованную центропроективную связность.
Определение 4. Композиционным оснащением [26] центропроективного многообразия назовём присоединение к нему полей двух плоскостей: плоскости Картана С и нормали 2-го рода
Это оснащение порождает нормализацию, поэтому индуцирует нормализованную центропроективную связность.
Теорема 4. Композиционное оснащение многообразия Wn даёт возможность задать центропроективную связность, не являющуюся нормализованной. Доказательство дают формула (36) и следующая
с
Г =ц (37)
проверяемая с помощью соотношений (25), (30), (34),(35).
Рассмотрим симметричные в голономном случае точки Dij=Aij+VijA, для которых
УБу- ю Dij+( ю к)+8 к ю)+8 к ю 1 ^^^у^ ю к -X ю -X ю + ю ij)A• Если выполняются дифференциальные сравнения
Уvij-Xk ю к -X ю j-Xj ю 1+ ю ц-0, (38)
то инвариантна гиперплоскость В=[Бу,Вк] соприкасающегося пространства Р , содержащая нормаль 2-го рода Мл и не проходящая через центр A, причём
Б1тВ=п2+п-1, dimB= 1 п(п+3)-1. Объект Vij образует геометрический объект лишь в совокупности с квазитензором Х1, определяющим нормаль 2-го рода Мп=ВпРп. Итак, аналог гиперплоскости Бортолотти [12], [27] - плоскость В задаётся квазитензором ^у,Х}.
Определение 5. Оснащением Бортолотти центропроективного многообразия Wn назовём присоединение к каждой точке AeWn плоскости В: A©B=P .
Теорема 5. Оснащение Бортолотти многообразия Wn сводит центропроек-тивную связность к линейной.
Доказательство следует из формулы
в
г^ Г) Xk+XiXj, (39)
справедливость которой подтверждают соотношения (25), (30), (38).
Выясним условия совпадения разными способами охваченных (33), (37), (39) компонент Гц объекта центропроективной связности Г в предположении, что
N
многообразие Wn и линейная связность нормализованы ( Г=Г^ ):
гв =гс ц 1) = Vу +ц)Хк ^С = NI пВ 1) 1) Vk=ц 1)-ц к) X к ^ В = N11 © С, т.е. оснащение Картана, подчинённое нормализации 1-го рода (Сс^), эквивалентно оснащению Бортолотти, порождающему нормализацию 2-го рода (В^ц);
С N
Г) = Г ^ ц 1) = X1) + ц к X к - X1X) ^ С = N1 п NII, т.е. оснащение Картана порождено нормализацией, точнее, нормализацией 1 -го рода и продолженной нормализацией 2-го рода;
В N
Г -х 1 в=N11,
т.е. оснащение Бортолотти порождено нормализацией 2-го рода, точнее, её про-
N
^ т-а т-а
должением, причём этот случай не зависит от охвата 1 ^ = 1 ^ .
Теорема 6. Нормализация 1-го рода многообразия Лемлейна порождает нормализацию 2-го рода.
к
Доказательство. Нормализация 1-го рода задаётся полем квазитензора Цу . Из системы уравнений (34) следует Уц |к + Ю |к +(п+1) Ю к =0. На многообразии
Лемлейна Ю |к=Юк, поэтому можно положить Ак=-ц ^. Квазитензор Ак
п + 2
определяет нормаль 2-го рода Кп.
Замечания. 1) В голономном случае А.К. Рыбников [22] называет нормаль 1-го рода N проективной нормалью, нормаль 2-го рода Кп - касательным оснащением, плоскость Картана Сс^ - оснащением нормали, плоскость Бортолотти БзКд - оснащением соприкасающегося пространства.
2) Задание поля оснащённых проективных нормалей равносильно [22] заданию проективной связности Картана без кручения; для центропроективной связности аналогичное утверждение не справедливо.
3) Структура голономного центропроективного многообразия по существу совпадает с проективной структурой Лаптева [20], но отличается по форме аналитического описания, что вызывает различие при задании связностей [22].
4) Продолженная нормаль в голономном случае, фактически, совпадает с продолженным касательным оснащением [22].
5) Если на голономном многообразии Wn при п>1 функции Ау не считать симметричными, то будут несимметричными точки Бу и продолженная нормаль ^ заполнит соприкасающееся пространство Р2, но формула (33) сохранится.
7. Параллельный перенос. Вводя формы центропроективной связности (23) в дифференциальные уравнения (30), получим ДА^А^ Ю \ причём ковариантный дифференциал ДА1 и ковариантные производные А^ квазитензора А1 выражаются по формулам
ДА-ёАгА, 00,, А1ГАу-Г^+Ак Гк. Внешний дифференциал от ковариантного дифференциала ДА1 имеет вид
БДА1= 0;лДАj+(Я^ -А^к)ю^ ЛЮк.
Значит, система уравнений ДАj=0 вполне интегрируема вдоль любой линии lcWn, проходящей через точку А и задаваемой уравнениями Ю1 = р1 $, где р1 -функции на линии 1, $ - параметрическая форма.
Теорема 7. Ковариантные производные Xi|j квазитензора Xi относительно
центропроективной связности Г образуют тензор, а по отношению к нормализованной связности равны нулю.
Доказательство. Ковариантные производные Xi|j удовлетворяют дифференциальным уравнениям УXi|j—0, проверяемым с помощью соотношений (25), (30),
(31), т.е. составляют тензор. Равенства Xi|j=0 эквивалентны формуле (33). Преобразуем формулу (29):
УВ1=ю В^ i ю jBj+AXiA+ю jEij, (40)
где
Eij=Bij-Xi|jA, УEij-юEij+ юк В+юiBj+юjBi,
т.е. инвариантна плоскость E=[Eij,Bk], являющаяся плоскостью типа Бортолот-ти.
Если центропроективная связность нормализована, то Xi ^=0, AXi=0, Eij=Bij, E=NII, т.е. любое смещение нормали 2-го рода М есть её параллельный перенос в нормализованной связности.
В общем случае согласно формуле (32) нормаль всегда смещается внутри продолженной нормали N д. С другой стороны, из формулы (40) при AXi=0 вдоль линии 1 следует, что нормаль должна переноситься в гиперплоскости E. Но En NII =МП, поэтому нормаль будет переноситься параллельно в общей центропроективной связности лишь тогда, когда она остаётся на месте.
Теорема 8. Нормаль 2-го рода при произвольном смещении вдоль многообразия Wn переносится абсолютно параллельно в нормализованной центро-проективной связности, но, вообще говоря, не может переноситься параллельно в произвольной центропроективной связности.
Поясним теорему. Уравнения параллельного переноса AXi 11 =0 эквивалентны системе
Р] =0. (41)
Эти п линейных однородных уравнений с п неизвестными рJ должны определять линию 1, вдоль которой осуществляется параллельный перенос. Обозначим
r=rank(Xi|j), тогда 0<г<п. Система (41) определяет линию 1 с произволом дап Г 1, т.е. существует (п-г) - мерное подмногообразие 1n-rсWn, вдоль которого нормаль переносится параллельно. В общем случае г=п- есть только тривиальное решение рJ =0, т.е. нормаль М нельзя перенести параллельно (1п-г= 10=A). В особом случае г=0 ^ Xi|j=0 - любой набор рJ является решением системы (41), т.е. смещение нормали вдоль произвольной кривой 1 является параллельным пе-
реносом относительно нормализованной связности (1n-r=1n=Wn). В остальных случаях 0<г<п - вдоль одних кривых параллельный перенос реализуется, вдоль других - нет. Размерность подмногообразия параллельности 1п-г зависит от структуры поля нормалей N¡1 и характера центропроективной связности Г.
Библиографический список
1. Cartan E. Leçons sur la theorie des espaces a connexion projective. Paris, 1937. 308 p.
2. Картан Э. Пространства проективной связности // Тр. семин. по вект. и тенз. анализу. М.;Л., 1937. Вып.4. С.160-173.
3. Веблен О. и Уайтхед Дж. Основания дифференциальной геометрии. М., 1949. 230с.
4. Вагнер В.В. Теория дифференциальных объектов и основания дифференциальной геометрии // Основания дифференциальной геометрии. М., 1949. С.135-223.
5. Лаптев Г.Ф. Дифференциальная геометрия погруженных многообразий // Тр. Моск. мат. о-ва. 1953. Т.2. С.275-382.
6. Фавар Ж. Курс локальной дифференциальной геометрии. М., 1960. 560 с.
7. Картан Э. Пространства аффинной, проективной и конформной связности. Казань, 1962. 210 с.
8. Лумисте Ю.Г. Связности в однородных расслоениях // Мат. сб. 1966. Т.69. С.434-469.
9. Близникас В.И. О геометрии некоторых классов оснащённых расслоенных пространств: Дис. ... д-ра физ.-мат. наук. Вильнюс, 1970. 339 с.
10. Лаптев Г.Ф., Остиану Н.М. Распределения m-мерных линейных элементов в пространстве проективной связности. I // Тр. геом. семин. М., 1971. Т.3. С.49-93.
11. Остиану Н.М., Рыжков В.В., Швейкин П.И. Очерк научных исследований Германа Фёдоровича Лаптева // Там же, 1973. Т.4. С.7-70.
12. Столяров А.В. Двойственные линейные связности на оснащённых многообразиях пространства проективной связности // Проблемы геометрии. М., 1976. Т.8. С.25-46.
13.Чакмазян А.В. Связность в нормальных расслоениях нормализованного подмногообразия V в P // Там же, 1978. Т.10. С.55-74.
14. Евтушик Л.Е., Лумисте Ю.Г., Остиану Н.М., Широков А.П. Дифференциально-геометрические структуры на многообразиях // Там же, 1979. Т.9. 248 с.
15. Ивлев Е.Т., Кулеш В.А. О распределениях Д2 m расслоения Pm n / Томск. Политех. ин-т. 1982. 30с. Деп. в ВИНИТИ, № 1257-83.
16. Шевченко Ю.И. Об оснащении Картана // Дифференциальная геометрия многообразий фигур. Калининград, 1983. Вып.14. С.107-110.
17. Шевченко Ю.И. О проективной связности Картана, индуцированной на поверхности // Там же, 1988. Вып.19. С.121-126.
18. Лемлейн В.Г. Локальные центропроективные пространства и связности в дифференцируемом многообразии // Лит. мат. сб. 1964. Т.4. №1. С.41-132.
19. Vaisman J. Asupra geometriei directiilor de pe o varietate differentiabila // An. Univ. Timisoara. Ser. stiinte mat.-fiz. 1964. V.2. P.249-263.
20. Лаптев Г.Ф. Основные инфинитезимальные структуры высших порядков на гладком многообразии // Тр. геом. семин. М., !966. Т.1. С.139-189.
21. Cruceanu V. Structures et connexions classiques sur une variete differentiable // Ann. sti. Univ. Iasi. 1976. Sec. la. V.22. №2. P.181-190.
22. Рыбников А.К. Проективные и конформные нормали и связности // Изв. вузов. Мат. 1986. №1. С.60-69.
23. Вагнер В.В. Алгебраическая теория касательных пространств высших порядков // Тр. семин. по вект. и тенз.анализу. 1956. Вып.10. С.31-88.
24. Шевченко Ю.И. Связности голономных и неголономных дифференцируемых многообразий // Дифференциальная геометрия многообразий фигур. Калининград, 1994. Вып.25. С.110-121.
25. Норден А.П. Пространства аффинной связности. М., 1976. 432 с.
26. Шевченко Ю.И. Структура оснащения многообразия линейных фигур // Тез. докл. VI Прибалт. геом. конф. Таллин, 1984. C.137-138.
27. Bortolotti E. Connessioni nelle varieta luogo di spazi // Rend. Semin. Fac. Sci. Univ. Cagliari, 1933. V.3. P.81-89.
J u. I. S h e v c h e n k o
THE CONNECTIONS OF HOLONOMIC AND NONHOLONOMIC CENTROPROJECTIVE MANIFOLDS
Concepts of projective connection and spaces of projective connection are defined by different methods, have different meanings and continue to develop. The object of projective connection of Tomas, the projective connection of Cartan, the centroprojec-tive and projective connections in principal bundles of correspronding frames are well known today. Different methods of description of a projective connection are applied on a differentiable manifold.
One of the various projectivisations of the differentiable manifold is conducted in this article and as a result of which tangent spaces of a manifold become centroprojec-tive spaces of the same dimention. Such a manifold is called a centroprojective one. Holonomic and nonholonomic centroprojective manifolds are selected. Using these manifolds the centroprojective connection is naturally defined in the holonomic and nonholonomic cases under the condition of their simultaneous consideration. Laptev's method of the representation of a connection in a principal bundle and Rybnikov's interpretation of the concept of a connection are used.
It is shown that the torsion and the curvature objects of a centroprojective bundle in the nonholonomic case are not tensors, but they are tensors in the holonomic case. The generalizations of Norden's normalization, Cartan's and Bortolotti's framings are defined and their role is also explained. It is proved that the normal of the second kind cannot be carried in parallel in a general centroprojective connection, but relatively to the so-called normalized connection it is carried absolutely parallel.
