CC BY
6
УДК 514.75
Е.В. Б о н д а р е н к о
(Калининградский государственный университет)
СВЯЗНОСТИ НА МНОГООБРАЗИИ ЦЕНТРИРОВАННЫХ ПЛОСКОСТЕЙ В ПРОЕКТИВНОМ ПРОСТРАНСТВЕ
С помощью способа Лаптева исследуется групповая связность в расслоении, ассоциированном c многообразием центрированных плоскостей в проективном пространстве. Показано, что объект кривизны групповой связности в случае него-лономного пространства параметров не является тензором, а в голономном случае -тензор, содержащий 4 подтензора. Произведено сильное аффинное оснащение многообразия, состоящее в задании полей плоскостей Картана и нормалей 2-го рода. Введено понятие ковариантного дифференциала и ковариантных производных оснащающего квазитензора относительно групповой связности. Совокупность последних образует тензор, содержащий 3 подтензора. Доказано, что сильное аффинное оснащение индуцирует 2 типа групповой связности в ассоциированном расслоении.
Отнесем п-мерное проективное пространство Pn к подвижному реперу {А,А^ (I,J,K= 1,п), инфинитезимальные перемещения которого определяются формулами
dA=0A+юIAь dAI=0AI+ю {А'+юА. (1)
Структурные формы ю1, ю ю [ проективной группы GP(n), удовлетворяют уравнениям Картана [1]
Dю К =ю К лю ^ + (8 К +8 ^ юк)лю', DюI=юKлю К, DюI=ю К люк. (2) В пространстве Рп рассмотрим т-мерную центрированную плоскость Ьш (1<т<п). Произведем специализацию подвижного репера {А,Аа,Аа} (а,Ь,с,...= 1,т; а,Р,у,...=т + 1,п), помещая вершину А в центр плоскости Ьт, а вершины Аа - на плоскость Ьт. Из формул (1) следуют уравнения стационарности плоскости Ьт: юа=0, юа=0, юа =0.
Система уравнений г-мерного многообразия В * (1<г<т(п-т)+п) центрированных плоскостей Ьт в параметрической форме имеет вид:
юа = Ла0юа=Ла0юа = Лаа10(3)
где формы Пфаффа 01, являющиеся структурными формами г-мерного гладкого многообразия Уг - пространства параметров, удовлетворяют уравнениям
В01 =0J л01 (У,к... = й). (4)
Дифференцируя уравнения (4) внешним образом и применяя обобщенную лемму Картана [2], получим
Б01 =0к л0к +0к л01к, 0}к л0^ л0к = 0.
Замечание 1. Для голономного гладкого многообразия Уг формы 6^ симметричны по нижним индексам, а для неголономного гладкого многообразия [3] - несимметричны.
Продолжая систему уравнений (3), получим
ЛЛа + Л?ю « = 0, АЛ™ = 0, ААд| - Л«ю а = 0, (5)
где Л - дифференциальный оператор, действующий по закону
АЛ« = ^ -Л« юаь - Л« 6) +ЛРЫю«,
а символ = означает сравнение по модулю базисных форм 6i . Система функций Л=( Ла, Л«, Л«) является фундаментальным объектом 1-го порядка многообразия В*.
Из уравнений (2) следует, что с многообразием В* ассоциируется главное расслоение GS*( В*) со структурными уравнениями (4) и следующими: Эю а = ю а лю а +6' АЮ ^ , Эю а = ю а Аю а +6' АЮ а| , Бю« = Юр лю" +61 лю«, Бю« = ю«А^+юа люа, (6)
Бю а =ю ь лю ь +ю« люа +61 лю «1,
где
ю Ь1 = Лаы ю « -5 ь (Л? ю « +ЛС ю с) -Ла1 ю ь, ю а1 = Л« юа: ю«1 =-Ла1 юа -5« (Л1 юу +Лаюа) - Люр , ю«1 =-Л ю« .
Базой главного расслоения GS*( В^) является многообразие В^, а типовым слоем - 8*-членная подгруппа стационарности GS*(S*=n(n+1)-m(n-m)) плоскости Ь*т.
Групповую связность в главном расслоении GS*( В*) зададим с помощью форм [4]
ю а = ю а -ГЬ161, ю a = ю-Га161, ю « = ю« -Г« 61, ю « = ю « -Г «1 61, ю« = ю«-Г «1 61.
Компоненты объекта связности Г={ Г Ь1, Г а1, Г«, Г Г«1 } удовлетворяют дифференциальным уравнениям
ЛГ Ь1 +ю ьы = Г Ь,6 ^ ЛГ а1 + Г Ь1 ю ь +ю а1 = Г ^6 ^
Ала' - Аа| юа + А«' юа = А«^, ЛГ «1 +ю«1 - Г«1^, (8)
ЛА«1 + А«| ю а + А«| юр - Аа'юа = А«у6J■ С учетом (6,8) получаем структурные уравнения для форм связности
бюь =юь люс + RЬ1J61 л6J,
Бюа = юь люь + Ra1J 61 л6,
Бюа =юI люа + Я< 01 л0),
□«а=юа люь+ю алю а+кси01 л01.
Бю а =юалюа +ю алю р+ Яау 01 л01,
где компоненты объекта кривизны групповой связности Я= (ЯЪц, Яа1), Я<, Я<у, Яау } выражаются по формулам:
тэ а _ га _ге га о _ Г _гЪ г
ЯЪу = 1 Ъ[у] 1 Ъ[11 ей, Яау = 1 а[у] 1 а[11 Ъ1],
а _ га _гТ Г< оа _ ра _гЪ ра _гр га
с
Р
ос _ га _ ГТ Га оа _ га _ГЬ Г^ — ГР Га ГСП
ЯРЧ = 1 Р[Ц] 1 Р[11 Т1], Яау = 1 а[у] 1 а[11 Ъ)] 1 а[11 Р)], (9)
Я = Г —Г а Г —ГР Г
Яс1) 1 а[1)] 1 а[11 а)] 1 а[11 р)],
причем альтернирование производится по крайним индексам в квадратных скобках.
Продолжая уравнения (8), получим
аг ъч — г Ък 0 к)—г а ю Ъ) + г Ъ1 ю а) +ю ^ - о,
А1 ау — Гак0| — ГЪуюЪ — ГЪ1 юЪ) + ГЪюъj +ю^ - 0 ,
а1 а—Г ак 0к —Г с1 юр)+Г Р1 юа +ю<у -0,
¿га1)—г ак 0к—г Ъ1)®а+)+Г 51ю Ъ)—Гр1 юС) + Г<1 юр)—^ь!ю<+<] - о,
^ С1) — Гак0к — Гау®С + ГСу®р+ Гшюа) — ГрюС) + Га1юС) — юа] = где
ю Ъу = ЛЬу® С — 8 Ъ(Ла®с + Ле]® е + Ле ю е)) — Ла® Ъ — Л ® Ъ) + Л<Ъ1 ю)
юСи =—Л<ачюр—8с(л>у +л,ю а+Ла ю а))—Лс®р —Л<а1
/■.л _ Да „ ,а _ _да „
ю а1) Лауюа , юау Л 1)юа .
Теперь согласно формулам (9) найдем дифференциальные сравнения для компонент объекта кривизны Я групповой связности
АЯЪу + Г Ък 0к)] - 0, АЯа1) + Я) Ъ + Г ак 0^] - 0,
АЯ<1) + Г<к0и - 0, АЯ<1)— ЯЪуюС + ЯСуюр + ГСк0и - 0,
АЯс1) — Яа1)юС + ЯСуюр + ЯСуюа + Гск0И - 0.
Теорема 1. Если пространство параметров Уг неголономно, то объект кривизны Я образует геометрический объект лишь вместе с объектом групповой связности Г и фундаментальным объектом многообразия.
Теорема 2. Если пространство параметров Уг голономно, то объект кривизны Я является тензором, содержащим 4 подтензора
Я а (тз а о 1 о а (тз а тэ а тэ а >
Ъ1), (ЯЪу,Яау}, Я <1), (Яау , ЯЪ1), Я ¡¡1) }.
Осуществим сильное аффинное оснащение [5] многообразия В* полями следующих геометрических образов : 1) (п-т-1)-плоскости Рп-т-ь не имеющей об-
щих точек с плоскостью Ь*т; 2) ^-^-плоскости Рш-1, принадлежащей плоскости
т -
*
"т
Ь*т и не проходящей через ее центр А.
Оснащающие плоскости определим системами точек
В„= А а+А,аа Аа А, Ва = Аа + Х а А,
причем
Ах« + Ю а = Ха В1, А^а а + ®а = Ха б1, АХ а + Ю а = Х ах б1 . (10)
Продолжая эти уравнения, найдем
АХ1; -Ха„юр + ХЬюа + ю^ - 0,АХо; -ХкюЬ + ю„ - 0,
"а1 -ХрЮа1 + ХаЮ Ь1 + юа1 = 0,АХ а1 -Х Ью а1 + ю а1 АХа1 + Х«1 Юа + Х>а1 -ХрЮ« - 0
(11)
Внося формы связности в дифференциальные уравнения (10), получим
1 Х^Э1, УХа=У 1 Ха01, УХ а = У 1Х а 01, (12)
где левые части этих формул
уха = м«- хрю а+Х«юа+Ха»а+юа -
УХа = ^Ха - Хрюа + Хаюа + юа - УХа = dХа - ХЬюЬ + юа-
называются ковариантными дифференциалами компонент оснащающего квазитензора Х = (Хаа, Ха, Х а) относительно групповой связности Г. В правые части (12) входят выражения
У1 Хаа = Хш +ХарГш -ХаГЬ1 - Г^ У1Ха = Ха1 +ХЬГш - Га1, ^^
У1 Ха = Ха1 +ХрГО! -ХаГа1 - Га1,
называемые ковариантными производными оснащающего квазитензора Х в связности Г. Воспользовавшись формулами (8,10,11) найдем
АУ | Хаа - 0, АУ|Ха + У|Х> а - 0, АУ | Х а - 0. Теорема 3. Совокупность ковариантных производных {У1 Хах,У1 Ха,У1Ха} компонент оснащающего квазитензора Х образует тензор, содержащий 3 подтензора У1 Хаа, У1Ха, {У 1 Хаа,У1 Ха}.
Фундаментальный тензор Л и оснащающий квазитензор Х позволяют охватить компоненты объекта связности Г двумя способами. В первом случае, рассмотрев соотношения (5, 8, 10), получим охват объекта связности
1 0 1 0 1 1 а у у а у а р Ь1 - 1 а1 - 1 р1 - 1 а1 - 1 а1}
0
^а = - -
Ь1 ЛЬ1 Ха 5ЬЛ1 Ха 1М1 (5ЬХс + 5сХЬ,-
0 (14)
■ — — Дат, а Я^Л^ Х - М . - Л Х
.1 1 а1 = Ла1 Ха ХаХЬ 1У±| > 1 а1 "
аЛ I ХаХр VЛ Ь1
1 = { ГЫ - Га1- Гра - Га- Га|} по формулам [6] .
)
ГЬ1 = ЛаЬ1 Хаа -5ЬЛаХа - МС(5ЬХс +5сХь),
0
Гра1 = -Л« Хар + 5а (Лу1 ХауХа - М1) - ЛаХр, 11 Га1 = Ла1 Ха - ХаХЬ, ^ = - ХаХр(ЛЬ1 + ХЬЛ! )-
1
ГИ| = XаXbXbaMa - XßXaaAßäi + aXaßAß - X0Mi, (15)
где Ma = Aj -A0Xaa, M, = AjXa +A0Xa, l^=Xa-X0Xa.
Во втором случае, учитывая теорему 2 и полагая V,Xax= 0, V,Xa= 0,
2 0 2 0 2 2 ViXa = 0 в формулах (13), находим второй охват Г = {ra , ra|, Г^, Г®, Го|} по
формулам (14) и следующим
2 0 2 0 о 2 0 2
Tai =X ai +X b Tai, Г0 =Xaa, +Xaß Г0-X0 Га , Го, = Xo + Xß Г0-Xaa Ta,.
Теорема 4. Сильное аффинное оснащение многообразия В* индуцирует 2
типа групповой связности в ассоциированном расслоении Gs*(B*) с объектами
1 2 ГиГ .
Замечание 2. Формула (15) уточняет соответствующую формулу работы [6].
Библиографический список
1. Кобаяси Ш. Группы преобразований в дифференциальной геометрии. М.: Наука, 1986. 224 с.
2. Лаптев Г.Ф. Основные инфинитезимальные структуры высших порядков на гладком многообразии // Тр. геом. семинара / ВИНИТИ. М., 1966. Т.1. С. 139-189.
3. Шевченко Ю.И. Линейные связности голономного и неголономного гладких многообразий // Тр. геом. семинара. Казань, 1997. Вып. 23. С. 175-186.
4. Евтушик Л.Е., Лумисте Ю.Г., Остиану Н.М., Широков А.П. Дифференциально-геометрические структуры на многообразиях // Проблемы геометрии / ВИНИТИ. М., 1979. Т.9. С. 5-247.
5. Лумисте Ю.Г. Индуцированные связности в погруженных проективных и аффинных расслоениях // Учен. зап. Тартуск.ун-та. 1965. Вып. 177. С.6-41.
6. Шевченко Ю.И. Об оснащениях многообразий плоскостей в проективном пространстве // Диф. геом. многообр. фигур. Калининград, 1978. N9. С.124-133.
E.V. B o n d a r e n k o
CONNECTIONS ON THE MANIFOLD CENTRE PLANES IN THE PROJECTIVE SPACE
By mean's of Laptev's way group connection is investigated in the bundle, associated with manifold of centre planes in the projective space. It is shown, that the curvature object of a group connection in case of the nonholonomic space parameters is not tensor, but in holonomic case - tensor, containing four subtensors. Strong affine equipment of the manifold, consisting in the giving of fields Cartan's planes and normals of second kind. The notion of covariant differential and covariant derivatives of equipping quasitensor in the group connection is introduced. Covariant derivatives of
18
E.B. EoudapeuKO
equipping quasitensor is tensor, containing three subtensors. It is proved, that strong affine equipment induces two types of group connection in the associated bundle.
