CC BY
4
5. Норден А.П. Пространства аффинной связности. М.: Наука, 1976. 432 с.
6. Столяров А.В. О фундаментальных объектах регулярной гиперполосы // Изв. вузов. Мат. 1975. № 10. С. 97-99.
7. Столяров А.В. Проективно-дифференциальная геометрия регулярного гиперполосного распределения да-мерных линейных элементов // Пробл. геометрии / ВИНИТИ. М., 1975. Т. 7. С. 117-151.
8. Столяров А.В. Двойственные линейные связности на оснащенных многообразиях пространства проективной связности // Там же, 1977. Т. 8. С. 25-46.
9. Столяров А.В. Дифференциальная геометрия полос // Там же, 1978. Т.10. С.25-
54.
10. Фиников С.П. Метод внешних форм Картана в дифференциальной геометрии. М.; Л.: ГИТТЛ, 1948. 432 с.
11.Чакмазян А.В. Двойственная нормализация // ДАН Арм.ССР. 1959. №4. С.151-
157.
12.Cartan E. Leçons sur la théorie des espaces â connexion proective. Paris, 1937.
13.Cartan E. Les espaces â connexion projective // Тр. семин. по векторному и тензорному анализу / М.: Изд-во Моск. ун-та, 1937. Вып. 4. С. 147-159.
14.Mihâilescu T. Geometrie differentiala projectiva. Bucure§ti Acad. RPR, 1958. 494 p.
A.V. S t o l y a r o v
CONTRACTIONS OF THE PROJECTIVE CONNECTION SPACES INDUCED ON AN EQUIPPED HYPERSTRIP
Geometries of two equipments (in A.P.Norden's and E.Cartan's sense) of m-dimensional reqular hiperstrip, immersed in the n-dimensional projective space (m<n<1) are investigated by construstion of fields of geometric enveloped by fundamental and equipping objects. The results are obtained with application of the theory of connections in fiber spaces in Laptev's form.
УДК 514.75
ПАРАЛЛЕЛЬНЫЕ ПЕРЕНЕСЕНИЯ НОРМАЛИ ПОВЕРХНОСТИ АФФИННОГО ПРОСТРАНСТВА
А.Н. С ы р о к в а ш и н а
(Калининградский государственный университет)
В аффинном пространстве способом Лаптева исследуется групповая связность в расслоении, ассоциированном с поверхностью как многообразием касательных плоскостей. Кривизна связности является тензором, содержащим два подтензора касательной и нормальной линейных связностей. Произведено
оснащение поверхности, состоящее в задании поля нормалей. Введено понятие ковариантного дифференциала и ковариантных производных оснащающего квазитензора относительно групповой связности. Ковариантные производные оснащающего квазитензора образуют тензор. Показано, что оснащение поверхности индуцирует два типа групповой связности в ассоциированном расслоении. Первая связность характеризуется невозможностью параллельного перенесения нормали. Введено понятие особого поля нормалей. Во второй связности нормаль неособого поля переносится абсолютно параллельно при произвольном смещении.
Отнесем ^мерное аффинное пространство An к подвижному реперу { Л,^ }, перемещения которого задаются формулами
ал = ю1 ^, ои,к=Т~п). (1)
Базисные формы ю1, ю \ аффинной группы GA(n), dimGA(n)=n(n+1), действующей в пространстве An, удовлетворяют уравнениям Картана
Бю1 = ю1 лйI, БюI = юK лю(2)
В аффинном пространстве An рассмотрим m-мерную поверхность Sm (1 < m<n) общего вида и произведем специализацию подвижного репера R={A,еi,еa} (i,j,k,...= 1,т; а,Р,у,... = т + 1,п), помещая вершину A в текущую точку поверхности Sm, а векторы еi - в соответствующую касательную плоскость Система дифференциальных уравнений поверхности Sm в репере R имеет
вид:
юа = 0, юа=Лаю ^ (3)
Замыкая первую подсистему, получим
Лш = 0. (4)
Продолжая вторую подсистему, найдем
ДЛа = Лакюк АЛа = 0,
где А - дифференциальный оператор, действующий по закону
дла = ала - лакюк - лаю к + лр®а.
Функции ла - составляют фундаментальный тензор поверхности Sm.
С поверхностью Sm ассоциируется главное расслоение G(Sm) со структурными уравнениями
бю; =ю] лй], (5)
Бю' = юк ЛЙ'к +юк ЛЙ -к, (6)
Бюа=юулюа+юк лй^, (7)
бю а = юа л юР +юалю ь (8)
где
ю ]к=ла^юа, юак=-л<ак юр. (9)
Базой главного расслоения G(Sm) является поверхность Sm, а типовым слоем -подгруппа стационарности G^GA(n) центрированной касательной плоскости
причем dimG=(n-m)2+nm. Расслоение G(Sm) содержит два подрасслоения со структурными уравнениями (5),(6) и (5),(7) касательных и нормальных реперов, типовыми слоями которых являются линейная группа GL(m), действующая в центрированной касательной плоскости Тт, и факторгруппаGL(n-m), действующая в нормальном факторпространстве Ln-m=An/Tm.
Групповую связность в главном расслоении G(Sm) зададим [1] с помощью форм
5) = ы]-Г£ык, 5 «=5«-^ ы \ 5« = ы«-Г^ы1. (10)
Компоненты объекта связности Г = (Г?к,Г^,Г^) удовлетворяют дифференциальным уравнениям
АГ^к +5 )к =Г^ 5 Ч АГр« + 5« =Г«5 (11)
АГ« -Г]к5« + Г« 5'=Г'кюк. (12)
Функции Г?к, Г|« образуют подобъекты касательной и нормальной линейных связностей. С учетом (11), (12) получаем структурные уравнения для форм связности (10)
Бы1 =5к лык + ык л ш 1, Б5 « =5 р л 5 « + Я «¡го1 лй1 , (13)
=5« лйр +5« лй1 + Я«¡кы лы где компоненты объекта кривизны R={Я^Я«, Я^к}групповой связности имеют вид:
ТЭ 1 _Т"11 _13а _Т^а _Т^^Т^а /1 /|Л
Я1к1 =Г 1[к1] Г ¡[кГш|1], Яр11 =Гр[и] Гр[1 ГуЦ], (14)
^«¡к=^.«[¡к]+Г1[1 га к]- г«Р[1 гр к]. (15)
Продолжая уравнения (11), (12), получим
АГ 1к1 - Г5 ¡Л - Гкт 5 + Г£ 51т + Л«к15 « - 0,
АГр« - Гркык - Г;Ш^ + ГрУ5« - Л«к®к - 0, (16)
АГ1 -Г«15 5к +Г«15 к -Ги ы«к -Г1к15«+ Г1 5р =
Из соотношений (11), (12), (16) с помощью форм (14), (15) найдем дифференциальные сравнения для компонент объекта кривизны R групповой связности
АЯ1к1 - 0, АЯ- 0, АЯ«к - Як1 ы« + Я« кыр - 0. (17)
Теорема 1. Объект кривизны R групповой связности является тензором, содержащим два подтензора касательной и нормальной линейных связностей
Т? 1 р«
Осуществим оснащение поверхности Sm полем (п-т)-плоскости - нормали
Nn-m:Tm+Nn-m=An. Плоскость ^-т определим совокупностью векторов е« = е« ^ причем
АХ1« +5« = Х« 51 . (18)
Продолжая эти уравнения, найдем
ла" + А>к-Ар®а - о. (19)
Вводя формы связности (10) в дифференциальные уравнения (18), получим УХ1а — У - Х1аюгде выражения
УА^ - - Ар® а + А-,® + й а , (20)
V-А^АрГР -АкаГ-к -Г,а- + Аа (21)
называются [2, c.45] ковариантным дифференциалом и ковариантными производными оснащающего квазитензора А^. Воспользовавшись формулами (11), (12), (18) можно показать, что ЛУА^ - 0,т.е. справедлива
Теорема 2. Ковариантные производные квазитензора А^ образуют тензор. Найдем внешний дифференциал от ковариантного дифференциала УАа с помощью формул (13)
где
буаа - -уа^ а йа + уа-а ай1 + б-й- а йк.
о1 _тэ1 _^^Т?р _ 11 Т? 1
Ба-к — ^ а-к Ар ^ а- к Аа ■
Подействовав оператором Л на функции Ба^ и воспользовавшись дифференциальными сравнениями (17), получим Л -0. Значит, - тензор. Из уравнений (21) видно, что если Б а- к -0, то система УА'а — 0 вполне интегрируема.
Фундаментальный тензор Л — {Л"-} и оснащающий квазитензор А — (А^}
позволяют охватить объект связности Г двумя способами. В первом случае, рассмотрев формулы (11), (12) и входящие в них выражения (9), получим охват
1 о1 0 а 1 1 объекта связности Г — (Г - к, Гр1, Га-} по формулам
о1 оа
Г-к — Лак Аа, 1° Р1 —-л«а; , (22)
11
Га- — -Г-кАка + г"А'р + ЛРкАкаА'р . (23)
Во втором случае, учитывая теорему 2 и полагая У-А" — 0 в формуле (20),
2 0 1 0 а 2 1
найдем второй охват Г — (Г-к,Гр1,Га-} по формулам (22) и следующей
21 01 0Р
Га- — — Г - к а1" + Га- А'р + А'а ■ Таким образом, доказана
Теорема 3. Оснащение поверхности Sm полем нормалей N п^ индуцирует два
1
типа групповой связности в ассоциированном расслоении G(Sm) с объектами Г и
2
Г.
Найдем дифференциалы векторов е а— е а+А1а е1 с помощью объекта связ-
1
ности Г:
ёЕ а— У а1" е1 + (йР+А1айр)Е р.
Рассмотрим, проходящую через точку A линию р:Аер^т с дифференциальными уравнениями й-р'й. Уравнения УА^ — 0вдоль линии р эквивалентны
1
системе линейных однородных уравнений У- А^р- — 0 с т неизвестными р- и т(п-т) уравнениями, имеющей в общем случае тривиальное решение р- =0, т.е. линия р вырождается в точку А. Следовательно, справедлива
Теорема 4. Нормаль ^-т нельзя переносить параллельно в связности 1-го типа.
Аналогично находим дифференциалы тех же векторов с помощью объекта
2
связности Г:
2 2 с1Еа = У А'ае + (А'а - ЛркА^А'р)йЦ + (й" + А>?)Ер (У Аа = 0).
Дифференциальные сравнения для функций Л^А^ Ар совпадают с дифференциальными сравнениями для пфаффовых производных А1^ (19). Поэтому можно положить
Аа = ЛР-к АкаАр. (24)
Будем говорить об особом поле нормалей при выполнении равенств (24).
Теорема 5. Нормаль ^-т неособого поля при произвольном смещении пере-
2
носится абсолютно параллельно в связности Г .
При выполнении (24) дифференциальные уравнения для оснащающих век- - 2 „ - 2 торов Еа примут вид: ёЕа — УА^е + (й" + А1айр )Ер (УАа — 0). Следовательно, справедлива
2
Теорема 6. Нормаль Nn-m особого поля в связности Г переносить параллельно нельзя.
Библиографический список
1. Лаптев Г.Ф. Дифференциальная геометрия погруженных многообразий // Тр. Моск. мат. о-ва. 1953. Т.2. С.275-382.
2. Шевченко Ю.И. Оснащения голономных и неголономных гладких многообразий. Калининград, 1998. 82 с.
A.N. S y r o k v a s h i n a
PARALLEL DISPLACEMENTS OF NORMAL OF SURFACE IN THE AFFINE SPACE
In the affine space by means of Laptev's way group connection is investigated in the bundle, associated with surface as manifold of tangent planes. The curvature of the connection is tensor, containing two subtensors of tangent and normal linear connec-
tions. Equipment of the surface, consisting in the giving of normals field, is made. The notion of covariant differential and covariant derivatives of equipping quasitensor in the group connection is introduced. Covariant derivatives of equipping quasitensor are tensor. It is shown, that equipment of the surface induces two types of group connection in the associated bundle. First connection is characterised by impossibility of par-alled displacement of the normal. The notion of special field of normals is introduced. In the second connection normal of non-special field displaces absolutely parallel under arbitrary movement.
