CC BY
8
УДК 514.76
А.В.Шульц1
1 Балтийский федеральный университет им. И. Канта, Россия tonja92@mail.ru ORCID: https://orcid.org/0000-0003-1530-1394 doi: 10.5922/0321-4796-2019-50-20
Индуцированные связности двух типов на поверхности аффинного пространства
В аффинном пространстве исследуется фундаментально-групповая связность в расслоении, ассоциированном с поверхностью как многообразием касательных плоскостей. Объект кривизны фундаментально -групповой связности является тензором, содержащим два простейших подтензора касательной и нормальной линейных связностей. Построен тензор неабсолютных параллельных перенесений. Получено два охвата объекта связности. Найдены аналитические и геометрические условия совпадения двух типов охватов.
Ключевые слова: поверхность аффинного пространства, фундаментально-групповая связность, оснащение.
Рассмотрим п -мерное аффинное пространство Ап с подвижным репером {А, е }, А — радиус-вектор точки А , исходящий из некоторого центра. Перемещения репера задаются формулами
ёА = а>1в1, ёе1 = ю'!е1, 1,J,К,... = 1,п. (1)
Поступила в редакцию 30.01.2019 г. © Шульц А. В., 2019
Базисные формы с1 , с/ аффинной группы GA(n), dimGA(n) = n(n +1), действующей в пространстве An, удовлетворяют уравнениям Картана:
Dc = С л С, DaCj = с л С • (2)
Рассмотрим га-мерную поверхность Sm (1 < m < n) в аффинном пространстве An. С учетом разбиения индекса I = (a, а) деривационные формулы (1) принимают вид
dA = Cet +С4, dei = caej +Сea, dea=c'ae1 + Саер- (1' ) Произведем специализацию репера
R = {A,e,a (a,J,k,... = 1,m; a,p,y,... = m +1,n)
следующим образом: поместим вершину A в текущую точку поверхности Sm, а векторы ei — в соответствующую касательную плоскость Tm .
Из (1') видно, что уравнения поверхности Sm в адаптированном репере имеют вид
ca=о, G>a=Aj^c. (3)
Если базисные формы со = 0, то точка A и касательная плоскость Tm фиксируются.
Замыкая первую подсистему, получим Ajj = AJJi. Продолжая вторую подсистему, получим уравнения AAJj л С = 0, разрешая которые по лемме Картана придем к уравнениям
AAJJ = AJjkC, AJj]k = 0, AJjk] = 0, (4)
где квадратные скобки обозначают альтернирование, а тензорный дифференциальный оператор A действует по закону
л ла л ла ла k ла k , лв а
ЛАУ = А г -АС] +Аср,
то есть функции А'а образуют тензор, который называется фундаментальным тензором поверхности Sm .
С поверхностью Sm ассоциируется главное расслоение ) со следующими структурными уравнениями:
Ба = С л аС, (5)
БсС =а>С л а + ск л а>Ск, (6)
г\ а у а k а /п\
Бср = а>В лсу + с л сВ, (7)
Бс'а = Са л СВ + Са лС] , (8)
где
г ла г а ла 1 /г.ч
С = А]Са, СВк = ~АкСр . (9)
Базой главного расслоения ) является поверхность Sm , а типовым слоем — подгруппа стационарности О с ОЛ(п) центрированной касательной плоскости Тт, причем dimG = (п - т)2 + пт.
Утверждение 1. Расслоение ) имеет фактор-расслоение Ь2^т ) касательных реперов со структурными уравнениями (5, 6) и фактор-расслоение Ь 2(Ят) нормальных
(п - т)
реперов со структурными уравнениями (5, 7).
Типовым слоем расслоения Ь 2 ) является линейная
т
группа Ь 2 = ОЬ(т), действующая в центрированной каса-
т
тельной плоскости Тт, а типовым слоем расслоения
Ь 2(Бт) — линейная группа Ь 2 = GL(п - т), дей-
(п - т) (п - т )
ствующая в нормальном центрированном факторпространстве
Ап-т Ап ^ Тт •
Фундаментально-групповую связность в главном расслоении 0(Бт) зададим с помощью форм
I гг к ~а а г^а 1 1 гтг ; /т
Юд = Ю д - ГкЮ , ЮР=ЮР- Гр Ю , Юа=Юа- ГадЮ • (10)
Продифференцировав (10), получим:
га ~к , к / л 1 \ т-^я т-^1 к 1
=Ю ЛЮк + а Л (лГк + Юк) - ГкГяЮ Л Ю ,
г-ч ~а ~г ~а 1 / л -г^а а \ -г-<У г-<а 1 / /1 1 \
Эа>р = а>'р л а>у + а л (АГр + а р) - Г'рГ^ а лю , (11)
=аал +ар л +а л (АГа- Г1®а+Га®р)+
Согласно теореме Картана — Лаптева [2], из уравнений (11) следует, что компоненты объекта связности Г = {Г ,Га Гад} удовлетворяют следующим уравнениям (см. [1]):
АГк + адк = ГкЮ ,
АГР +а; =д, (12)
Г - ГкЮа + Г ар = ГФЮ •
Утверждение 2. С учетом дифференциальных уравнений (12) структурные уравнения (11) примут вид
~ к к 1 иЮд = Юд лак + Я^а л а ,
~у ~а па 1 д
иЮр =ар ла>у + ЯрдЮ л а ,
=Юд ЛЮ'д + Юрр ЛЮР + Кдка] Л Ю ,
где компоненты объекта кривизны Я = {Я'р, К°ру, } выражаются по формулам
Г)' _ 1—'1 т-ттт-г' Г)' _ Т->а т-гу ра
Я]к1 = 1 ][к1] - 1 ][к1 т1 ], ЯР1] = 1 Р[1]] - 1 Р[11 у]], (13)
Я1 = 11 + 11 - 11
Ло]к ~ 1 а[]к] ^ 1 1[ак] 1 а[ф1 рк]'
причем альтернирование выполняется по крайним индексам в квадратных скобках.
Продолжая (12), получим сравнения для пфаффовых производных компонент объекта Г = {г1ы ,1р] } (ср. [1]):
лг)ы- ^си- 11кс11+гЛkсpl+А'са=0,
л т-га т-га к т-га у т-гу а *а к __ п /л л\
А1вл -1а -1 сВ +1Рау - АыСр = 0, (14)
¿ф- аф+а*- - ^а+г'kсp=0,
где символ = означает сравнение по модулю базисных форм сс . При альтернировании в силу условий (43) сравнения (141,2) упрощаются:
¿Л ]- ^сф ] + г¡'[kсpl ] =0, (15)
л а а у г-.у а р.
лгр['l] -гr['ср] +1Р'су] = 0.
Применяя оператор А к выражениям (13) и учитывая соотношения (9, 12, 15), получим следующие сравнения (ср. [1]):
ЩИ = 0, ¿ЯР] = 0, АЯф - ВС + Ярркср = 0. (16)
Из сравнений (16) вытекает
Теорема 1. Объект кривизны Я фундаментально-групповой связности является тензором, содержащим два простейших подтензора касательной и нормальной линейных связно-
стей ], КРи.
Оснащение поверхности Бт состоит в присоединении к каждой ее точке (п - т) -мерной плоскости Nп-т : Тт + Nn-m = Ап.. Нормаль Nn-m зададим совокупностью век-
т°р°в Еа= еа +ЯОхе1.
Уравнения инвариантности нормали имеют вид
А1а + ю*а = 1% а 1. (17)
Продолжая их, найдем уравнения на пфаффовы производные оснащающего квазитензора 1а :
л л/ лк 1 л/ р л/ к
А1а +К Юкд -1р = ^кЮ • Вводя формы связности (9) в дифференциальные уравнения (16), получим V 1а д1а а1, где ковариантный дифференциал V 1а и ковариантные производные Vд1а объекта 1а выражаются по формулам
v1 =1 -1 +1 ~+~а,
Vд1а =*Г5-1Г -Г\ +1% . (18)
Утверждение 3. Ковариантные производные квазитензора 11 образуют тензор.
Действительно, применяя к (18) оператор А и учитывая (12, 17), получим сравнения А(у д1а ) = 0.
Внешний дифференциал от ковариантного дифференциала V 1а можно привести к виду
DVЛa = V1 лЮд - V! л Юр + З'дЮ лак • (19) где Б! имеет вид (ср. [1])
адк
8ф = К'сдк - ЯрВ-ф + 1Щк, А'ф = 0 .
Утверждение 4. Объект кручения S'ajk является тензором.
Из уравнений (19) видно, что если S'ajk = 0, то система V Ла = 0 вполне интегрируема, то есть задает абсолютное параллельное перенесение, следовательно, тензор S'ajk будет называться тензором неабсолютных параллельных перенесений.
Фундаментальный тензор А = аА] } и оснащающий квазитензор Л = {Ла } позволяют охватить объект связности 1 двумя способами. В первом случае, рассмотрев формулы (12) и входящие в них выражения (9), получим охват объекта связно-1 [ 0г ' 1 г ] сти 1 = <|11В1 V по формулам
0 0 1 1р = А]кЛа, 1 = -АА]ЛР, 1 = -АрЛрЛр . (20)
Обращение в нуль тензора V]Ла имеет инвариантный смысл и приводит ко второму охвату для компонент Гга] :
2 Г 0 0 2 ] 2 0 0
г=^г;k ,га,г [, 1=Лф+Хр1В-л 1]. (21)
Замечание: Полученные охваты объектов аффинной и линейной связностей удовлетворяют условию
0 0 1]к лЛ +1Р] Лр =
Учитывая (17) в (12), получим:
АТ]к -Аа]кАЛа = 1 -АрЛ )С,
¿1 - А'АлЛр=+АрЛрр а,
¿1] + ЛрЛрА/Ла +АрР]Лр АЛр = 1+А] ЛрЛр +АрЛа Лр С.
Соберем слагаемые под оператором А следующим образом:
А(Г'дк-ЛадкХа) = (Г-Лад1 -ЛЦ )Ю ,
АГ + Л,лр)=Г + +1Ю, (22) а(Г\ +лЛр1р 1)=Гк +Л11 +41р 1 +41)ак.
Тогда
0 0
Г1 аа У г-- а а 1к а 1к
- к = Л]кАа1 + Л]ЫАа , Г рд = -ЛЫАр] - Лкг]Ар ,
1
Гф = -4Цк1р1и - 4Ц 1р 1ак - 411а 1рк ■
Пусть V1 = 0, тогда из (18—21) следует:
2
Га] = 1 - 2Л]к1аХр,
2
Гсдк = -2(Лр 1р1ак + 41'а 1рк + 4р11р) -
Найдем аналитические условия совпадения двух типов охватов:
1 2
Г1 — Г1 Лр У 1к — У 1 Лр 1к У У — Лр 1к У
Г ад =Г ад , -ЛкдАрАа = Асд - 2ЛJkAaAр, Асд = Л]кАаАр ■
Найдем геометрические условия совпадения:
йЕа = (юра + 1аа!)Ер + (1Щ - 1ка 1рЛр)а% ,
йЕа = (ар+1аюр)Е р ,
тогда плоскость Nп-т = ярап( Е а) неподвижна.
Теорема 2. Два типа охватов совпадают тогда и только тогда, когда плоскость Nn_m неподвижна.
Подставив (10) в уравнения (12), получим:
"" 1Г;к — Г;ы + г^ + Г^ГЫ - - л^га1,
г-<к г^у у,а р ук
"Г Рг ~Гр1] +Гу Г Р; +1рк1г] -1р,Гу +ЛкгГР] •
Найдем Г, V1Г, V, Г, V, Г :
V, г; - л»4 + ла}кЛ +лалЛл ХР+лЛа ъ,
2
"I Г - лри4 + ЛЛЪаЪР , (23)
Уг-<а _ а ^к *к лу *к лI ла лУ ^ 0к
; Г рг - -лылр; - лы;лр - лгклг;лулр - лулкглулр ,
V2; г; - - ллущ - ЛЛАЪ - лалулъ •
Проальтернируем равенства (20) по крайним индексам:
1 г 0 2 г 1 а 0а 2 а
Г;к] - К';к1, "[I Г;к] - 0, ; Грг] - Щ;, ; Грг] - 0 •
Теорема 3. Альтернации ковариантных производных компонент объектов аффинной и линейной связностей первого типа равны соответствующим компонентам тензора кривизны, а для второго типа они обращаются в нуль.
Список литературы
1. Сыроквашина А. Н. Параллельные перенесения нормали поверхности аффинного пространства // Диф. геом. многообр. фигур. Калининград, 1999. Вып. 30. С. 84—88.
2. Евтушик Л. Е., Лумисте Ю. Г., Остиану Н. М., Широков А. П. Дифференциально-геометрические структуры на многообразиях // Проблемы геометрии / ВИНИТИ. М., 1979. Т. 9. С. 5—248.
A. Shults1 1 Immanuel Kant Baltic Federal University 14 A. Nevskogo St., Kaliningrad, 236016, Russia
1 tonja92@mail.ru ORCID: https://orcid.org/0000-0003-1530-1394 doi: 10.5922/0321-4796-2019-50-20
Induced connections of two types on a surface of an affine space
Submitted on January 30, 2019
In the affine space the fundamental-group connection in the bundle associated with a surface as a manifold of tangent planes is investigated. The principal bundle contains a quotient bundle of tangent frames, the typical fiber of which is a linear group acting in a centered tangent plane and a quotient bundle of normal frames, the typical fiber of which is a linear group acting inefficiently in a normal quotient space. The curvature object of the fundamental-group connection is a tensor that contains two primary subtensors tangent and normal linear connections. The tensor of non-absolute parallel transference is constructed. Two envelopment of the connection object is obtained. Analytic and geometric conditions of coincidence of two types of envelopment are found. The covariant derivatives of equipping quasitensor form a tensor. The alternations of the covariant derivatives of the objects of the affine and linear connections of the first type are equal to the corresponding components of the curvature tensor and for the second type they vanish.
Keywords: surface of affine space, fundamental-group connection, equipment.
References
1. Syrokvashina, A.N.: Parallel displacements of the surface normal affine space. Differ. Geom. Mnogoobr. Figur. Kaliningrad. 30, 84—88 (1999) (in Russian).
2. Evtushik, L.E., Lumiste, Yu. G., Ostianu, N.M., Shirokov, A.P.: Differential-geometric structures on manifolds. Journal of Soviet Mathematics, 14:6, 1573—1719 (1980).
