CC BY
9
УДК 514.76
Ю. И. Шевченко1
1 Балтийский федеральный университет им. И. Канта, Россия ESkrydlova@kantiana.ru
Иерархия пространств проективной связности
Рассмотрено расслоение проективных реперов над гладким многообразием — главное расслоение, типовым слоем которого является проективная группа. Задание фундаментально-групповой связности в этом расслоении превращает его в пространство общей проективной связности. Получены дифференциальные уравнения компонент тензора кривизны, их ковариантные производные и аналоги тождеств Бианки.
При совпадении базисных и слоевых индексов выделен частный случай, названный пространством пред-картановой проективной связности. С помощью приклеивания слоев к базе пространства предкартановой связности получено пространство проективной связности Картана. В этом случае тензор кривизны преобразуется в тензор кривизны-кручения, который содержит тензор аффинной кривизны-кручения с подтензором кручения.
Построена иерархия рассмотренных пространств, в начале которой — расслоение проективных реперов, в середине — пространства проективной связности (общее, предкартаново и картаново), в конце — проективное пространство.
Ключевые слова: расслоение проективных реперов, проективная связность, аналоги тождеств Бианки, предкартанова проективная связность, приклеивание, проективная связность Картана, тензор кривизны-кручения, тензор аффинной кривизны-кручения.
Поступила в редакцию 30.05.2018 г. © Шевченко Ю. И., 2018
1. Связность в расслоении проективных реперов
Рассмотрим расслоение проективных реперов Оп(п+2)(Ут) над т -мерным гладким многообразием Ут, типовым слоем которого является проективная группа Оп^п+2). Структурные уравнения расслоения Оп(^п+2)(Ут) имеют вид [1; 2]
ёв1 = в л в) (/,... = 1т), ёю = ю лю13 + в лЗЗ (I,... = 1,п),
(1)
Л I К 1.С-1 К , I , пк I
=юз люк + 0_,юк лю + C0J лю +в люл, лю_7 +в лю^.
Продолжим эти уравнения, то есть замкнем и разрешим по лемме Лаптева [3]:
ёв]=в) лвк+вк л в к, ёЗЗ = З лю^ -З1к л вк +ю л ю^- +вк л З^,
, I К I I К I п1 I ,
dюJk = юJk люк - юкк люJ - юл лвк +юJ люк + (2)
+ юл лю + 5° (юк л зЗ +юкк люК ) + в л юш, ёю^ л - юу л а>ю - юк л в^к +вк л ю^,
причем (см. [4])
в[]к] = 0, Зук] = 0 ю[к1 ] = 0 ю[к] = 0, (3)
где символ = обозначает дифференциальное сравнение по модулю базисных форм в1, а квадратные скобки дают альтернирование.
В главном расслоении Gn(n+2)(Vm) зададим фундаментально-групповую связность способом Лаптева — Лумисте [5] с помощью форм
~1 = а1 — Ljd1, SJ = coJ — rjkek, ~J = aJ — Гцд1 . (4)
Используя структурные уравнения (1), найдем внешние дифференциалы форм (4):
dS1 = ~J л ~J + в1 л (Abj — rJ соJ + 33) — LJ}eJ л rjkek ,
~j ~ K ~j , cJ ~ ~ K ~ ~ j , УЭ^ Г ^ J—J ,
dcj = coJ л coK + öJaK л а + coJ л а +в л [AI Jk +
у К ' ^ ^ ^ ш ^ ^ ^ ^ ^ ку / \ у^-И Jk
+! (ГКк®К - 4 <К ) +ГЛс® - LkC^}J +®Л ] " (5)
- (Г Г+!!гаьК в лв,
d<aI = л ~J + в1 л (АГ1} + Г соК + а>1з-) - Г в1 л Глвк, где тензорный дифференциальный оператор А действует так:
АГл = Г + Г <К - ГКк < - гв .
Согласно теореме Картана — Лаптева [6] зададим поле объекта проективной связности Г = (Ь33- ,Гл ,Г3- } :
А-г < J= ,
АГЛ + ! (ГКк< К - 4 < К ) + гл<1 - 4 < J + <к = ГЛ1в, (6) АГИ +гК < К + <11 = ГЦкв .
Подставим эти дифференциальные уравнения в структурные уравнения (5):
dа1 = ~л ~J + л вк , dа'1 = л ~К + !~К л ~К + SJ л ~1 + В?швк л в1, (7) d<~1 = л юJ + Ящв1 л вк ,
причем компоненты объекта кривизны Я = , Я1Ш, Я1^к } выражаются следующим образом:
= Т - Т"7 Г1
Н ]к ] Н Л Jk ]'
^Ы = Г[к1 ] - Г{кГК1 ] - °.]ГК[кТ1] - Г[кТ1] , (8)
Щк = Г [ }к ]- Г гы ].
Следовательно, компоненты объекта Я антисимметричны по базисным индексам:
51(]Ы ) = 0, (и) = 0, ЯI (]к) = 0, (9)
где круглые скобки обозначают симметрирование.
Утверждение 1. Проективная связность в расслоении проективных реперов Сп(п+2)(Ут) задается с помощью форм
(4), которые определяются объектом проективной связности Г = {Ту ,гЫ }, компоненты которого удовлетворяют
дифференциальным уравнениям (6). Формы проективной связности (4) подчиняются структурным уравнениям (7), которые вместе с уравнениями (1 х) составляют систему структурных уравнений пространства проективной связности Gn(n+2)m. В уравнения (7) входят компоненты объекта проективной кривизны Я = ,Я^,Я1ук}, выражающиеся по формулам (8) через компоненты объекта связности Г и их пфаффовы производные.
2. Тензор проективной кривизны
Продолжим дифференциальные уравнения (6) и запишем результат в виде сравнений:
А^ы - - Л + - Щк + З]к = 0,
АГк + 0 (Гкк1юК + ГккЗ3 - Таюк - тКюк1) + ^ы® + Гкз/ -
II II , г^К I ¡-.I К ы пР , 1
- Тк1 юJ - Ткюл +1Jk юК1 - 1 Ккюл - 1 Jpвkl + юлй = 0,
Г + ГIJJkюJ + ГIJJюJk - Гюк - 1 вЛ + юЛк = 0.
Проальтернируем эти сравнения по базисным индексам и учтем сравнения (3):
^[Лк] - ГJI[Лк]ю - ГJI[3 + Лк] = 0 ,
ЛГ:[Ы] + 0 (гкк]юК + Гк[к31] - ^ы]юК - ТКкюК1 ]) + 1 [к1 ]ю +
+ Г3[к3/] - Т_к1 ]ю3 - Т_кюЛ] + Г]\кюК1 ] - ГК[кюЛ] = 0, (10)
АГ[Лк] + Г/[]кю + Г/июл] -1 [юк] = 0.
Запишем дифференциальные сравнения для произведений, входящих в формулы (8):
К1 ]+Лл ]+1 к^п+ЛЫ у =0,
А(Г/[кГЩ + 01 [кТ1] + 1 [кА1]) + ГК[1®к] + +
+ Гг [к3/] + А^Л, ] + 0 (4ПКк ] + ГК [к^Ц ) = 0,
ЛГГк ] + ^^к ] + Гг [к®!;] - Лк ]ю = 0 =
где
^к =юЛ +Гк® , = 3/ - Л,
&Л = - Л, = +гКюК .
Вычтем сравнения (11) из соответствующих сравнений (10), используем формулы (8) и запишем результат в виде дифференциальных уравнений:
Л - ЯЛ = ,
А^м + 0 (ЯКк1юК - 5КюК ) + Л - SыюJ = ЯЛ , (12)
АЯт + Яю = Ящв1 .
Из этих уравнений с учетом условий антисимметрии (9) следует антисимметрия пфаффовых производных компонент объекта Я по парам базисных индексов:
^к )1 = 0, Я (М), = 0, Я (зк = 0. (13)
Утверждение 2. Объект кривизны проективной связности Я = (вЩ,Я^,Ящ} является тензором, компоненты которого
удовлетворяют дифференциальным уравнениям (12), причем тензор Я не имеет подтензоров.
При Я = 0 уравнения (7) упрощаются:
, ~ I ~ J ~ I
dco = со л со^, , d~ = л ~К + ! ~К л ~К + ~J л ~ , (14)
d ~ = л ~J .
Это структурные уравнения проективной группы О
п(п+2) ■
Утверждение 3. Если тензор проективной кривизны Я обращается в нуль, пространство проективной связности Оп(п+2) т вырождается в прямое произведение Оп(п+Т) х Ут со
структурными уравнениями (1 х ,14).
3. Аналоги тождеств Бианки
Для нахождения ковариантных производных компонент тензора Я относительно проективной связности внесем формы связности (4) в дифференциальные уравнения (12):
Щк- Я1 ~ '7=в3к1в,
Ая1ш + !! (ЯКк1 ~К - ~К) + Яа~1 - 4~ = Щк1рвР , (15) АЯЩ + Я1]к~J = Ящв',
где ковариантные производные выражаются через пфаффовы производные следующим образом:
в]к1 = в]к1 в Л + Я.1]кХ1 ,
п1 _ п1 _ РК Г1 л. Т?1 —
^Лр- Л/к1р ЛЛГ Кр ЛКк11 Jp
- ! (ЯШ4р - вк1 ГКр ) - ЯМ4р + вк1Гр, Я1]к1 = ЯЩ + ЯЛк ГИ - Я1]кГЛ ,
(16)
а дифференциальный оператор А действует по закону
аяЯм = ^м + ЯМ ~К - ЯКк1 ^ - ^рIвв - ЯЛрв1р .
Замкнем структурные уравнения (7):
(А] - Я] ~J) лв лвк = 0,
[Аяш + ! (ЯКк1 ~К - ~К) + Як1 ~1 - ^а ~J] лв лв = 0 ,
(АЯщк + ЯЩк ~) л в лвк = 0.
Подставим в эти кубичные уравнения дифференциальные уравнения (15):
Щв лвк л в1 = 0, Як/ л в1 лвр = 0 , Ящв] лвк л в1 = 0,
откуда следует
в[]к1 ] = 0 Я[к1р] = 0 Я1 []к1 ] = 0 . (17)
Условия антисимметрии (9, 13) дают антисимметрию ко-вариантных производных (16):
в(]к)1 = 0, ЯJ(к1)р = 0, Я1 (]к)1 = 0 ,
что позволяет перейти в равенствах (17) от альтернирования к циклированию:
в{]кЦ = 0 Я(к1р} = 0, Я1 (]Щ = 0 . (18)
Утверждение 4. Ковариантные производные (16) компонент тензора кривизны Я = ,Я1Ш,Яук} относительно проективной связности, задаваемой объектом Г = {ь! ,Г]к ,Гц },
подчиняются аналогам тождеств Бианки (18).
Продолжим дифференциальные уравнения (15) с помощью структурных уравнений (1], 2Ь 7):
А~к1 - J - Б^в? - Б^вр = 0, А~Ир + 0 Фкыю К - ЯИРРК ) + Ла1 -
- SЫp<~J - ^Гд^кр - ЯЛдв1р = 0
АЯщ + Щыю - Щр^г - ^р^А = 0 .
Проциклируем эти дифференциальные сравнения по трем базисным индексам, затем используем условие (3Х) полуголо-номности [4] базы Ут и антисимметрию (9) компонент тензора кривизны Я:
Щщ - ^= ^
АЯ]{к1р} + 0J (ЯК{к1р}ю К - 5{к1р}юК ) + Я{к1р}юI - S{klp}ЮJ = 0,
АЯ {]кЦ + = 0. (19)
Утверждение 5. Циклированные ковариантные производные Б^и}, Я^кр}, ЯI{к} компонент тензора проективной кривизны Я образуют тензор, компоненты которого удовлетворяют дифференциальным сравнениям (19), поэтому аналоги тождеств Бианки (18) инвариантны в совокупности.
4. Пространство предкартановой проективной связности
Рассмотрим частный случай т = п , когда базисные и слоевые индексы принимают одинаковые значения. Тогда ограничимся одной серией индексов: ',... = 1,п . Структурные уравнения (11, 7) для пространства Оп(п+Т) п, которое назовем пред-картановым (ср. [7]), запишем в виде
Св = в1 л вв,
Сс' = С л (С + Б'в л вк, =а>( л ( + 8(к Л С + с^! Л С + Я!квк Л <
С(г =с Л(1 + Щкв лв .
(20)
Дифференциальные уравнения (15) для компонент тензора
' Я' Я }
предкартановой кривизны Я = {Бг,к, Я'к1, Яик } примут вид
АБ'к - = Щк1в ,
+ 3)- Брк1ср) + Як® - = Я)к1рвр, (21)
(г) , х'т (р ?рс ы( - Быс
АЯ(') ,к + &',кС = Я!квв,
\') 1к т лЧ]кш1 - 1Ч]к1 где, например,
АБ^ = СБ)к + Б'С - Бв - Б'вк .
Замечание 1. В уравнениях (20), (21) опущен знак «~», чтобы не загромождать записи.
5. Пространство проективной связности Картана
Отождествим структурные уравнения (20х) и (202), то есть положим
в =С, вв =( + Бг]квк . (22)
Это означает приклеивание (см., например, [6, с. 110, 118]) к
*
точкам базы Vn проективных пространств Pn = Gn(n+2)/ GA (n),
*
где GA (n) — коаффинная (центропроективная) подгруппа проективной группы Gn(n+2). В результате приклеивания проективные пространства Pn становятся центропроективными про-
г>0
странствами Pn .
Утверждение 6. При отождествлении (22) пространство предкартановой проективной связности Gn(n+2)n превращается в пространство проективной связности Картана Pnn, структурные уравнения которого запишем в виде
i i j i i j k acó = со л со j + Sjkсо л со ,
i i k i qí k i i k l
a с j = с j л ck + о с ck л с + с ■ л с + rjkl с л с , (23) dci = а- л Юс + rijkс1 л сk .
Замечание 2. Обозначение Картана Pn n соответствует проективному расслоению Pn (Vn) [1; 2] с заданной геометрической связностью, которое имеет структурные уравнения (201_2).
Замечание 3. Связность Картана не является (см., например, [8, с. 167]) фундаментально-групповой связностью в главном расслоении, так как базисные формы i перемножаются со слоевыми формами с j в структурных уравнениях (23 2).
Условия приклеивания (22) упрощают дифференциальные уравнения (21), которые запишем в следующем виде:
As'ik = 0 Arjk + jс = 0, Arjkl - °is¡iсp - skiсс = 0, (24) где, например,
Л i i i l i i l i l As1k = ds1k + s1k с l- slkс 1- s1lс k.
Замечание 4. Тензор кривизны Я = ,Я]а,Я3]к} пространства предкартановой проективной связности Оп(п+Т)п после перехода к пространству проективной связности Картана Рп п называют тензором кривизны-кручения г = , ], ] }.
Утверждение 7. Тензор проективной кривизны-кручения г = {^]к, г]к1, г3]к } пространства проективной связности Картана Рпп, компоненты которого удовлетворяют дифференциальным сравнениям (24), содержит [9] тензор аффинной кривизны-кручения г = , г]к1} с подтензором кручения
* = {з]к}.
Если тензор кручения аннулируется = 0), то пространство Рп п называется пространством проективной связности Картана Рп',п без кручения. Структурные уравнения (23) для пространства Рп',п запишем в виде
ёа = со1 л со'],
1 ' к ' к / ' I г>' с*' \
"а1 = а1 лак + а л (г]к1а - 31ак- Зка]), (25)
= а' л СО] + со1 л г3]как .
В этом случае центропроективные пространства Р(° служат касательными пространствами к базе Уп .
Утверждение 8. База Уп пространства проективной связности Картана без кручения Р'пп является центропроектив-
ным многообразием [10] со структурными уравнениями (25), причем связность Картана не порождает в нем центропро-ективную связность.
6. Иерархия
Подведем итог. Задание фундаментально-групповой связности в расслоении проективных реперов Gn(n+2) (Ут) над гладким многообразием Ут превращает расслоение в пространство проективной связности Gn(n+2) т . Совпадение базисных и слоевых индексов (т = п) дает частный случай расслоения проективных реперов Оп(п+Т) (Уп). Задание связности в
нем приводит к пространству предкартановой проективной связности Оп(п+Т) п . С помощью приклеивания из пространства
Gn(n+2) п получается пространство проективной связности Кар-тана Рпп с тензором проективной кривизны-кручения г, содержащим тензор аффинной кривизны-кручения г с подтен-зором кручения 5 . Если 5 = 0, то имеем пространство проективной связности Картана без кручения Р'п п . При аннулировании более широкого тензора г = 0 пространство Рп',п превращается в пространство проективной связности Картана без аффинной кривизны-кручения Р^ . Наконец, если тензор проективной кривизны-кручения обратится в нуль (г = 0), то пространство Р;,п преобразуется в проективную группу Gn(п+2),
из которой можно построить проективное пространство Рп .
Изобразим иерархию указанных пространств:
п(п+2),т
А ^
^п(п+ 2) (Ут ) ^п(п+2),п ^ Рп,п ^ Рп,п ^ Рп,п ^ &п(п+ 2) ^ Рп,
^ А
^п(п+ 2) (Уп )
где стрелка показывает переход к особому случаю, а двойная стрелка указывает на дополнительное построение в предыдущем пространстве, позволяющее получить другое пространство. Эта иерархия показывает место пространств проективной связности Картана с точки зрения главных расслоений (ср.: [8, с. 167]).
Список литературы
1. Лумисте Ю. Г. Индуцированные связности в погруженных проективных и аффинных расслоениях // Уч. зап. Тартуского ун-та. 1965. № 177. С. 6—42.
2. Шевченко Ю. И. Касательные и соприкасающиеся пространства проективного расслоения // Диф. геом. многообр. фигур. Калининград, 2007. Вып. 38. С. 143—150.
3. Лаптев Г. Ф. Основные инфинитезимальные структуры высших порядков на гладком многообразии // Тр. геом. семинара / ВИНИТИ. М., 1966. Т. 1. С. 139—189.
4. Шевченко Ю. И. Голономные и полуголономные подмногообразия гладких многообразий // Диф. геом. многообр. фигур. Калининград, 2006. Вып. 37. С. 179—187.
5. Шевченко Ю. И. Приемы Лаптева и Лумисте задания связности в главном расслоении // Диф. геом. многообр. фигур. Калининград, 2015. Вып. 46. С. 168—177.
6. Евтушик Л. Е., Лумисте Ю. Г., Остиану Н. М., Широков А. П. Дифференциально-геометрические структуры на многообразиях // Проблемы геометрии / ВИНИТИ. М., 1979. Т. 9. С. 5—248.
7. Шевченко Ю. И. Об обобщениях проективной связности Кар-тана на гладком многообразии // Вестник Балтийского федерального университета им. И. Канта. Сер.: Физ.-мат. науки. Калининград, 2014. Вып. 10. С. 60—68.
8. Кобаяси Ш. Группы преобразований в дифференциальной геометрии. М., 1986.
9. Shevchenko Ju. I. Tensor of Affine Torsion-Curvature of Projective Cartan's Connection // Избр. вопр. соврем. матем. Калининград, 2005. С. 49—52.
10. Шевченко Ю. И. Оснащения центропроективных многообразий. Калининград, 2000.
Yu. Shevchenko1 11mmanuel Kant Baltic Federal University 14 A. Nevskogo ul., Kaliningrad, 236016, Russia ESkrydlova@kantiana.ru
Hierarchy of spaces of projective connection
Submitted on May 30, 2018
We consider the bundle of projective frames over a smooth manifold, i.e. the principal bundle whose typical fiber is the projective group. The giving fundamental-group connection in this bundle transforms it into a space of general projective connection. Differential equations of components of the curvature tensor, their covariant derivatives and analogues of Bianchi identities are obtained.
When the basic and fiber indices coincide, a special case is identified, called the space of a pre-Cartan projective connection. By means of gluing the fibers to the base of the pre-Cartan connection space we obtain the space of the Cartan projective connection. In this case the curvature tensor is transformed into a curvature-torsion tensor, which contains the tensor of affine curvature-torsion with a torsion.
A hierarchy of the considered spaces is constructed, which there are a bundle of projective frames is at the beginning of the hierarchy, the space of projective connection (general, pre-Cartan and Cartan) is in the middle, a projective space is at the end of the hierarchy.
Keywords: bundle of projective frames, projective connection, analogues of Bianchi identities, pre-Cartan projective connection, gluing, projective Cartan connection, curvature-torsion tensor, tensor of affine curvature-torsion.
References
1. Lumiste, Yu. G.: Induced connections in embedded projective and affine bundles. Uchen.app. Tartu University. 177, 6—42 (1965) (in Russian).
2. Shevchenko, Yu.I.: Tangent and contiguous spaces of a projective bundle. Differ. Geom. Mnogoobr. Figur. Kaliningrad. 38, 143—150 (2007) (in Russian).
3. Laptev, G.F.: Main infinitesimal structures of higher orders on smooth manifold. Tr. Geom. Semin. VINITI. M., vol. 1, 139—189 (1966) (in Russian).
4. Shevchenko, Yu.I.: Holonomic and semi-holonomic submanifolds of smooth manifolds, Differ. Geom. Mnogoobr. Figur. Kaliningrad. 37, 179—187 (2006) (in Russian).
5. Shevchenko, Yu.I.: Methods of Laptev and Lumiste for the definition of connectivity in the principal bundle. Differ. Geom. Mnogoobr. Figur. Kaliningrad. 46, 168—177 (2015) (in Russian).
6. Evtushik, L.E, Lumiste, Yu. G., Ostianu, N.M., Shirokov, A. P.: Differential-geometric structures on manifolds. Journal of Soviet Mathematics, 14:6, 1573—1719 (1980).
7. Shevchenko, Yu.I.: On generalizations of the projective Cartan connection on a smooth manifold. IKBFU's Vestnik. Ser. Physics, Mathematics, and technology. Kaliningrad. 10, 60—68 (2014) (in Russian).
8. Kobayasi, Sh.: Groups of transformations in differential geometry. Moscow (1986) (in Russian).
9. Shevchenko, Ju. I.: Tensor of affine torsion-curvature of the projective Cartan's connection. Izbr. vopr. Sovrem. Math. Kaliningrad, pp. 49—52 (2005) (in Russian).
10. Shevchenko, Ju.I.: Clothings of centroprojective manifolds. Kaliningrad (2000).
