Проективная связность Лаптева — Остиану, ассоциированная с распределением плоскостей Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 514.75

Ю. И. Шевченко

(Российский государственный университет им. И. Канта Калининград)

ПРОЕКТИВНАЯ СВЯЗНОСТЬ ЛАПТЕВА — ОСТИАНУ, АССОЦИИРОВАННАЯ С РАСПРЕДЕЛЕНИЕМ ПЛОСКОСТЕЙ

В многомерном проективном пространстве рассмотрено распределение плоскостей. Предложен способ задания ассоциированной с распределением обобщенной проективной связности (проективной связности Лаптева — Остиану) с помощью поля объекта связности, содержащего квазитензор связности. Доказано, что объект кривизны-кручения этой связности образует тензор, включающий тензор линейной кривизны-кручения с подтензором кручения проективной связности, который содержит тензор аффинного кручения. Показано, что полувырожденная обобщенная проективная связность без аффинного кручения характеризует полу-голономность распределения. Вырождение проективной связности Лаптева — Остиану лишает ее проективного кручения и превращает в центропроективную связность. В каноническом случае проективной связности Лаптева — Остиану задание поля квазитензора связности эквивалентно нормализации 1-го рода распределения.

Ключевые слова: распределение плоскостей, проективная связность, тензор кривизны-кручения.

1. Отнесем «-мерное проективное пространство Рп к подвижному реперу {А, А1} (1,...=1,п) с деривационными формулами

ёА= ЗА + а1 А1, ёА1 = ЗА1 + со}1А1 + а1А, (1)

причем структурные формы a1 ,aJ, a I проективной группы GP(n), эффективно действующей в пространстве Pn, удовлетворяют уравнениям Картана (см., напр., [1, с. 173])

Da1 = О л О, DaJ =0 люк + ок л£2'ж, DaI =aJ л о; (2)

qIjK =~sJ°K -SK(3)

В пространстве Pn рассмотрим распределение, то есть п-па-раметрическое семейство Sn центрированных га-плоскостей

P0. Поместим вершины A, At (i,... = 1,m) подвижного репера (A,Aj} на плоскость Рт0 , причем А — в ее центр. Тогда из деривационных формул (1) следуют уравнения распределения Sn

оа = AJJaJ (а,... = m + 1,n). (4)

Продолжим уравнения (4). Сначала продифференцируем их внешним образом

(AAJJ - 3<ао ) лО = 0, (5)

где SJ — обобщенный символ Кронекера, а дифференциальный оператор А действует следующим образом:

AAJ = dAJJ + Ja - AJaj - AKaK.

Замечание 1. Действие тензорного оператора А нельзя формально ограничивать на часть компонент объекта, к которому он применяется. Например, часть компонент тензора, вообще говоря, не образует тензор.

Теперь разрешим квадратичные уравнения (5) по лемме Картана:

AAJ -Sao= aJJKok, (6)

A =aKJ. (7)

Утверждение 1. Фундаментальный объект 1-го порядка A = (AJ } распределения Sn является квазитензором [2].

2. С распределением Sn ассоциируется [3] главное расслоение центропроективных реперов Ст(т+1}(Рп), принадлежащих

плоскостям Р, со структурными уравнениями (21) и следующими:

Оа. = а. ла'к + ак ла'.к, = а. ла. + а3 ла3; (8)

°]к = Л"кС'а - 5)°К - Зк, = Л>к . (9)

Запишем часть структурных уравнений (21) для форм а' и уравнения (81) в другом виде:

Оа' = 0 ла. + а3 лв'3, (10)

Оа. = а* ла'к + ЗЗак лак + а. л а' +ак л в)к; (11)

в) =8КаК в)к =ЛКК -¿'За. (12)

Определение 1. Гладкое многообразие со структурными уравнениями (2Ь 10, 11, 82) назовем обобщенным расслоением [4] проективных реперов над проективным пространством Рп и обозначим Ст(т+1)+[т](Рп). Это многообразие можно также назвать расслоением приклеенных проективных реперов.

Поясним обозначение. Буква т заключена в квадратные скобки, так как т форм О, которые выглядят как слоевые, входят в состав базисных форм а1. Назовем их базисно-слоевыми формами. Формы оС, а{ являются слоевыми формами расслоения центропроективных реперов Ст(т+1/Рп). При фиксации точки А пространства Р« слоем расслоения От(т+1}+[т] (Рп) становится не проективная группа ОР(т) = От(т+1)+т, а цен-тропроективная группа Ст(т+1).

3. Применим прием Лумисте [5] задания связностей в главных расслоениях к обобщенному расслоению &т<т+1)+[т](Рп). Рассмотрим преобразование базисно-слоевых

форм шi и слоевых форм оС-,&1 с помощью линейных комбинаций базисных форм а1:

сЗ = 0 - СЗа3, 33. =аС - П'как, со =а -П3а3, (13)

3 С С ' ' ' 3 ' х '

где С) ,П\К,П$ — некоторые функции, дифференциальные

уравнения для которых получим ниже. Найдем внешние дифференциалы форм (13)

Бё' = со1 л со) + со$ л (йС) - СксоК + в) ),

Всо) = со) л со'к + 8)сок л сок + со) л со' + соК л (йП)К - П)ьсоьк + в)к ),

Вё1 = о) л со ) + со$ л (йП$ - Пксо'к + соц ).

Внесем в правые части формы (13)

Вё' = ё л ё) + со$ л (АС) + в)) + (8) - С) )П)Ксо$ л сок,

Вё' = ёк л ё', + 8'ё, лёк + ё. лё' +

1 1 к 1 к 1

(14)

+ с к л (АП\К - 8)СК с - СК с +в)к) - [ПП + + 8](8ккП^ +ПШС{) + 8КП + П 1кС)] ск лшь, В ё1 = ё. лё ^ + со $ л (АП$ + П$ соу + соц ) - П$П1К со $ л сок.

Применим теорему Картана — Лаптева [6] в рассматриваемом случае. Это делали Г. Ф. Лаптев и Н. М. Остиану в работе [7] при использовании несколько другого аналитического аппарата. В дальнейшем будем говорить о проективной связности Лаптева — Остиану, которая обобщает классическую проективную связность Картана [8], поэтому ее можно также называть обобщенной проективной связностью. Внутренние проективные связности Лаптева — Остиану построены в статье [7] и в работах А. В. Столярова (см., напр., [9]).

Зададим поле объекта обобщенной проективной связности

АС) +в) = С)к ск, АП$ + П$ + =П$к с к,

АП -8)СК ск - СК с 1 +в)к =П)) с \ (15)

Откуда с помощью обозначений (92, 12) следует

Утверждение 2. Объект проективной связности Лаптева — Остиану П = (С), П'к, П$} образует квазитензор лишь вместе с фундаментальным квазитензором Л распределения

Бп. Квазитензор {П,Л} содержит простейший [10] квазитензор связности С'а, являющийся подобъектом объекта плоскостной обобщенной аффинной связности [11], и простой [10] квазитензор {С3, П.к, Л}.

Подставим дифференциальные уравнения (15) в структурные уравнения (14):

Бё' = 3 л ё'. + Я' а3 л ак, Бё = ё3 л 3 + Я3ка3 л ак, Оё. = лё'к + ЗЗёк л ёк + ё. л ё' + ЯЗ^ а>к ла>ь, (16)

где компоненты объекта кривизны--кручения Я = {Я'к, ЯЗ^, Я3к } обобщенной проективной связности выражаются по формулам

причем альтернирование выполняется по крайним индексам в квадратных скобках.

Теорема 1 [12]. Проективная связность Лаптева — Ос-тиану, ассоциированная с распределением Бп в проективном пространстве Рп, задается полем объекта П, компоненты которого удовлетворяют уравнениям (15) и определяют формы связности (13) со структурными уравнениями (16), содержащими компоненты объекта кривизны-кручения Я (17).

Итак, пространство обобщенной проективной связности Ртп, ассоциированное с распределением «п, определяется

структурными уравнениями (21, 16). Отметим, что формула (171) с учетом обозначения (18) показывает, что объект кручения Я'к проективной связности Лаптева — Остиану строится с помощью поля квазитензора связности С'3 и компонент П.к

объекта связности П.

4. Найдем дифференциальные сравнения для компонент объекта кривизны-кручения Я. Предварительно из очевидного ра-

(17)

(18)

¿3 =З3 - 3

венства Aô'j = 0 с учетом уравнений (4) распределения Sn получим уравнения для обобщенных символов Кронекера 5J, 5[ :

A5J +5[ o[ = 0, A5[ = -5jAkK oК. (19)

Левые части уравнений (191) для символа 5J и уравнений (151) для компонент квазитензора связности с учетом обозначений (121) совпадают, поэтому разности LJ (18) образуют тензор:

ALJ - 0, (20)

где символ - означает сравнение по модулю базисных форм со1. Компоненты этого тензора входят в формулы (17i,3) для компонент R'JK,R'jKL объекта кривизны-кручения R. Обращение тензора LJ в нуль приведет к существенному упрощению этих формул, поэтому назовем LJ тензором невырожденности обобщенной проективной связности.

Продолжим дифференциальные уравнения (15), а именно: раскроем оператор A и обозначения (92, 12), продифференцируем внешним образом, разрешим по лемме Картана и запишем результат в виде сравнений:

ACJK + CJ j - CLQJK -555'кa>K-58AKo[ - 0, (21) An]KL +nkKCL-ПКCL -П)МOM-5'(П^ck + CKo^) -- CKL C - CK OjL + ЛKKL oK - «L CK + 55K ЛК OK - 0,

AnJK - ПjJ oK - ПА + П5К O jj + nJ O K + ЛК OK - 0.

Альтернируем полученные сравнения по двум индексам с использованием симметричного выражения (3) форм O2'JK и симметрии (7) функций Л[К :

AC[JK] + C[JOjK] - 5K5K]OK - 5^ЛК]OK - (0, AJ1j[KL] +П)[К OkL] -Пк[КO jL ] - C'[KL] Oj - C[k OjL] -85 (C[ KL ] Ok + CjK OkL] -5[КЛК] °k)-^[K5'l] OK - <0,

Arji[JK] - Пj[JOK] + ПЬк]O j + Пi[JO jK] - 0.

(22)

Согласно формулам (17), используя (1523, 20, 22), получим:

АЯ)к + С) с'к] - 88 са - Ц) (8\СК ] о к + СК] с J -в)к}) - 0,

АЩкь + Пк[ к (с 'к)]-в)])-П'к[К(о>%]-в))]) -8)[Скюс +

+ С[Кс)] - 8[КЛ]°а + )к[К (П[)]сI + ск)])1 -- (С[К)] - С[кП)] )с 1 - С[Кс 1)] + 8'[КЛ]+

+ ПякС'ыо - 4к (Пыо + с 1)] ) - 0

ДК-ак-П][)(<1 -в)к]) + (П1[)К] + 88С) Пкк ] ) с 1 - 0. Подставляя обозначения (9, 122) форм а)'1-к,со),0)к, выражение (18) компонент тензора )) и пользуясь формулами (17а,3) для компонент Я)к ,Я)К) объекта кривизны-кручения Я, найдем

АЯ)к - 0, АЯ)к + Щжс 1 - 0, (23)

АЩю -8)Я1 с к - Я'ю с 1 - 0.

Эти дифференциальные сравнения для компонент объекта кривизны-кручения Я проективной связности Лаптева — Ос-тиану непосредственно обобщают сравнения для компонент тензора кривизны-кручения классической проективной связности Картана [13].

Теорема 2. Объект кривизны-кручения Я = (Я'Ж,Я'^Х), Я)К} обобщенной проективной связности является тензором, содержащим подтензор Я')К — тензор кручения и подтензор Я = (Я)к, Я'1К) } — тензор линейной кривизны-кручения проективной связности Лаптева — Остиану.

Замечание 2. В случае проективной связности Картана тензор Я принимает вид {Я]к,Я'1к1} и называется [13] тензором аффинной кривизны-кручения классической проективной связности.

5. Рассмотрим особые случаи пространства обобщенной проективной связности. Если кручение отсутствует

Я]к = 0, (24)

то структурные уравнения (161) упрощаются:

В ё' = ё1 лё], (25)

а дифференциальные сравнения (233) принимают вид: ЛЯ]^ = 0. Сравнения (232) внешне не изменяются.

Следствие 1 (теор. 2). В пространстве проективной связности Лаптева — Остиану без кручения Р'т п тензор линейной

кривизны-кручения Я вырождается в тензор линейной кривизны Я'1КЬ, отличный от тензора кривизны плоскостной линейной связности [3], а тензор проективной кривизны-кручения Я превращается в тензор проективной кривизны (Я]ХЬ,ЯШ }.

Пусть Я = 0 — нет линейной кривизны-кручения, то есть к условиям (24) добавляются равенства

Я]къ = 0, (26) тогда структурные уравнения (163) также упрощаются

Вё] = ак лё'к + ёк л ёк + ё]. л ё', (27)

а дифференциальные сравнения (232) принимают вид:

ЛЯЖ - 0.

Следствие 2 (теор. 2). В пространстве обобщенной проективной связности без линейной кривизны-кручения Р^п тензор

проективной кривизны-кручения Я вырождается в тензор Яцк .

Наконец, пространство проективной связности Лаптева — Остиану без проективной кривизны-кручения Р"п обладает нулевым тензором Я, то есть к условиям (24, 26) нужно добавить

Яж = 0. (28)

Подставим равенства (28) в структурные уравнения (162)

Вё1 = ё] л ё]. (29)

Итак, пространство Р™„ имеет структурные уравнения (2Ь 25, 27, 29). Эти уравнения состоят из структурных уравнений (21) проективного пространства Рп и структурных уравнений (25, 27, 29) проективной группы ОР( т).

Может показаться, что пространство Р^} п есть прямое произведение пространства Рп и группы ОР(т), но это не так. Действительно, уравнения стационарности точки А пространства Рп: о1 = 0 в силу обозначений (131) обращают формы ёг в нуль: тг = 0. Тогда уравнения (27, 29) принимают вид: Оо ) = сок л сОо = С л со

3 3 к г г 3

а это структурные уравнения центропроективной (коаффин-ной) группы ОЛ*(т) = Ст(т+1)> действующей в центрированной плоскости Р°.

т

6. Учитывая уравнения (4) распределения 8п, запишем

подробнее ряд дифференциальных уравнений и сравнений.

Уравнения (6) компонент фундаментального квазитензора

{ Л«} = { л,Л}:

ал; - 0, АЛ - Л с3Р - о г - 0. (30)

Уравнения (151) компонент квазитензора связности

{С)} = { С) ,С;}:

АС) = С)К ок, ас; - С) о; + о; = с; ок; (31) С)к = С)к + с;л;к. (32)

Сравнения (20) компонент тензора невырожденности

{Г} = {Ё],Па}:

АС) - 0, АИа - Г), о«- 0. (33)

Сравнения (23) компонент тензора кривизны-кручения Я = {Щк,Щ;,КР,Щы,Щ;,Щ;Р,Щк,Щ;А;Р}, из которых выпишем лишь те, которые упрощаются уравнениями (4):

ЛЯ]к - 0, ЛЯ]а- Я'к Фка - 0, ЛЯ)и-5Я сот - Щ, О] - 0,

ЛЯ1

]ка Я],Са -3']ЯкаС, - Я\аС1 - 0,

(34)

ЛЯук + Я]кС, - 0, ЛЯуа - ЯкСка + Я]аСк - 0.

Из сравнений и уравнений (30, 31, 33, 34) вытекают:

Утверждение 3. Фундаментальный квазитензор Лк содержит тензор Ла, квазитензор связности С'а включает тензор С], тензор невырожденности имеет подтензор Ь].

Теорема 3. Тензор кривизны-кручения обобщенной проективной связности Я кроме тензоров кручения Я'ж и линейной кривизны-кручения Я содержит другие простые подтензоры: (Цк, Щи, Я]к} — классической кривизны-кручения, (Я]к, ЩЬ, Я]К} —

расширенной классической кривизны-кручения. Тензор Я включает простые подтензоры: Щк, К^} — аффинной кривизны-кручения, (Я]к, Я]Ь} — расширенной аффинной кривизны-кручения. Тензор Я'ж имеет простейший подтензор аффинного кручения Я]к и простой подтензор расширенного аффинного кручения Я]к.

Схема включений всех подтензоров тензора кривизны-кручения Я имеет вид:

Я

]к

с

/7

п

(Я)ьЯ)к} п

с Кк

с (Я]кь,Я'ж}

N

(Яцк,Я]и,Я]к} с (Яук,Я]л,Я]к} с (Яик,Я)кь,Яж}.

Отметим, что из (6, 21, 312) вытекают дифференциальные сравнения [11, с. 63] для пфаффовых производных С'к (32)

тензора связности С'.:

Ас)к + с (Л о; -5'к о к) + Со) - СЛ; о;-81Сао] - 0. (35)

7. Рассмотрим полувырожденный случай обобщенной проективной связности, когда тензор связности С1) является символом Кронекера

С) = 8). (36)

В этом случае подтензор Г) тензора невырожденности (18) обращается в нуль: С) = 0. Квазитензор связности CJ и объект связности П упрощаются:

{С)} = {8),С;}, п = {С),п>К,пи},

где точка над объектами означает их рассмотрение в случае (36). Дифференциальные уравнения (312) принимают вид:

ас; - 0.

Утверждение 4 [11, с. 64]. В полувырожденном случае квазитензор СJ обобщенной проективной связности вырождается в тензор (СJ, который распадается на тензор Кронекера 8') и тензор (С;.

При фиксации (36) дифференциальные сравнения (35) принимают вид: Ас)к = 0; более того, справедливы равенства

С)к = 0, которые в силу обозначений (32) дают [11, с. 64]:

С)к =-С; лк. (37)

В полувырожденном случае (36, 37) значительно упрощается лишь тензор аффинного кручения: Я)к = -С';Ы;, где

Ы; =Л;к] — тензор неголономности распределения 8п. Равенства Я)к = 0 эквивалентны равенствам С;ы; = 0, поэтому справедлива 160

Теорема 4. Отсутствие аффинного кручения у полувырожденной проективной связности Лаптева — Остиану, ассоциированной с распределением Бп, характеризует С'а — полу-голономность [11, с. 53]распределения Бп.

8. Рассмотрим особый случай полувырожденной связности, когда тензор связности С'а обращается в нуль:

са=0. (38)

В этом случае происходит полная фиксация квазитензора связности С'. Формулы (36, 38) можно объединить:

С) = 5'. (39)

Подставляя эти значения в выражение (18), получим

^ = 0. (40)

Определение 2. Обобщенная проективная связность называется вырожденной, если квазитензор связности С) является обобщенным символом Кронекера 5', иначе говоря, тензор невырожденности обращается в нуль.

Сопоставление дифференциальных уравнений (191) и (151) с учетом обозначений (121) приводит к равенствам

С'ж = 0. (41)

Подставляя значения (40, 41) в формулу (171), получим Я'ж = 0. К этому же приводят и структурные уравнения (161), в которых а' = о' - 5)со3 = 0.

Пусть П = (5) ,П]к ,ПЦ } — объект вырожденной проективной связности. Тогда дифференциальные уравнения (153) с учетом значений (40) и обозначений (91, 122) упрощаются:

ЛП'к + о]к =П)кь оЬ, (42)

а уравнения (152) внешне не меняются:

ЛПи + П) о} + =Пик ок. (43)

Структурные уравнения (1623) принимают вид:

Ва) = а) ла[ + Я' ок л оЬ, Ва1 = а) л а + Яико7 л ок, (44) причем формулы (173) становятся проще:

) -ЩкИ^ (45)

а вид формул (172) не меняется:

&ак =ППК] -ЩПк]. (46)

Поскольку формулы (42—46) описывают центропроектив-ную связность [3], то справедлива

Теорема 5. Обобщенная проективная связность с квазитензором связности С), который выродился в тензор — обобщенный символ Кронекера 5), есть центропроективная связность.

9. Рассмотрим канонический случай, когда тензор связности С) обращается в нуль

С) = 0. (47)

Подставляя эти равенства в соответствующую часть обозначений (18), имеем эквивалентное условие — подтензор невырожденности Ь) есть символ Кронекера Ь) = 55.

В этом случае квазитензор связности С) и объект связности П упрощаются:

{С)}={о,Са}, п={С\,п)к,пи},

где кружок над объектами означает их рассмотрение при условии (47). Преобразование (131) базисно-слоевых форм о' производится лишь с помощью форм оа, дополняющих фор-

о

мы о' до базисных форм о1 : а' = ог- С'а оа. Дифференциальные уравнения (312) принимают вид:

ЛСга + оа= Сак ок. (48)

Утверждение 5 [11, с. 68]. В каноническом случае квази-

0

тензор связности С'а сужается до квазитензора С'а .

При фиксации (47) дифференциальные сравнения (35)

принимают вид: АС к = 0. Пфаффовы производные С к нуль-

0 ■ —г

тензора С ] = 0 равны нулю (С к = 0), что в силу обозначений (32) дает [11, с. 68]:

С> = -Са ЛК. (49)

0 ■

Возьмем точки Ба = Ла+ С

а Л,. С помощью деривационных формул (12) найдем

йБа = ЗБа + (шВ + С а а>Ч)Бв + (ша + С а Ш )Л +

а а ' а а i / р

О . О

р с .

J 7 i

+( Аса+®а - саср с р )Ai.

Отсюда видно, что дифференциальные уравнения (48) и уравнения (4) распределения Sn обеспечивают инвариантность плоскости Nnê = [A,Ba ] — нормали 1-го рода [7] для образующей плоскости Pêê распределения Sn.

Теорема 6 [11, с. 69]. Задание поля квазитензора связности

О .

C'a эквивалентно нормализации 1-го рода распределения Sn.

В каноническом случае (47, 49) происходят упрощения выражений компонент тензора кривизны-кручения R, в частности

О i О I О

Rjk = П[Jk] - C a Ncak,

поэтому справедливо

Утверждение 6. Если каноническая связность без аффин-

О .

ного кручения, то альтернации подобъекта Пjk объекта

Пк, входящего в объект обобщенной проективной связности

0

П, являются линейными комбинациями компонент тензора неголономности №кк с коэффициентами — компонентами

0 I

квазитензора связности Са.

Список литературы

1. Кобаяси Ш. Группы преобразований в дифференциальной геометрии. М., 1986.

2. Лаптев Г. Ф. Дифференциальная геометрия погруженных многообразий // Тр. Моск. матем. о-ва. М., 1953. Т. 2. С. 275—382.

3. Омельян О. М., Шевченко Ю. И. Редукции объекта центропро-ективной связности и тензора аффинного кручения на распределении плоскостей // Матем. заметки. 2008. Т. 84, вып. 1. С. 99—107.

4. Шевченко Ю. И. Общая фундаментально-групповая связность с точки зрения расслоений // Диф. геом. многообр. фигур. Вып. 21. Калининград, 1990. С. 100—105.

5. Шевченко Ю. И. Приемы Лаптева и Лумисте задания связности в главном расслоении // Там же. Вып. 37. Калининград, 2006. С. 179—187.

6. Евтушик Л. Е., Лумисте Ю. Г., Остиану Н. М. и др. Дифференциально-геометрические структуры на многообразиях // Пробл. геом. / ВИНИТИ. М., 1979. Т. 9. С. 5—247.

7. Лаптев Г. Ф., Остиану Н. М. Распределения т-мерных линейных элементов в пространстве проективной связности. I // Тр. геом. семинара. М., 1971. Т. 3. С. 49—93.

8. Картан Э. Пространства аффинной, проективной и конформной связности. Казань, 1962.

9. Столяров А. В. Теоретико-групповой метод дифференциально-геометрических исследований и его приложения. Чебоксары, 2002.

10. Шевченко Ю. И. Оснащения центропроективных многообразий. Калининград, 2000.

11. Шевченко Ю. И. Связности, ассоциированные с распределением плоскостей в проективном пространстве. Калининград, 2009.

12. Шевченко Ю. И. Проективная связность Лаптева — Остиану на распределении // Тез. докл. межд. конф. «Геометрия в Астрахани — 2008». Астрахань, 2008. С. 65—67.

13. Shevchenko Yu. I. Tensor of affine torsion-curvature of projective Cartan's connection // Избр. вопр. соврем. матем. Калининград, 2005. С. 49—52.

Yu. Shevchenko

LAPTEV — OSTIANU'S PROJECTIVE CONNECTION, ASSOCIATED WITH PLANE DISTRIBUTION

In many-dimensional projective space the planes distribution is considered. The way of the giving of associated with distribution of the generalised projective connection (Laptev — Ostianu's projective connection) by means of field of connection object containing quasitensor of connection, is offered. It is proved, that the curvature-torsion object of this connection forms tensor, including tensor of linear curvature-torsion with torsion subtensors of projec-tive connection, which contains affine torsion tensor. It is shown, that semidegenerate generalized projective connection without affine torsion characterises semiholonomicity of the distribution. The degeneration of Laptev — Ostianu's projective connection deprives it of projective torsion and transforms it into centroprojec-tive connection. In the canonical case of Laptev — Ostianu's projective connection the giving the field of connection quasitensor is equivalent to normalization of the 1st type of the distribution.