Классификация пространств проективной связности Текст научной статьи по специальности «Математика»

2. Сабитов И. X. Изометрические погружения и вложения плоского листа Мёбиуса в евклидовы пространства // Известия РАН. 2007. Т. 71, № 5. С. 197—224.

3. Чешкова М.А. О бутылке Клейна // Известия Алтайского университета. 2012. № 1/1. С. 130—133.

M. Cheshkova To geometries of the Mobius band and the Klein bottle

We consider in the Euclidean space the Mebius band and the Klein bottle. The examples of these surfaces are constructed using the mathematical paskage Maple.

УДК 514.76

Ю. И. Шевченко

Балтийский федеральный университет им. И. Канта, Калининград

Классификация пространств проективной связности

В п-мерном пространстве проективной связности Картана Рп п из тензора проективной кривизны-кручения выделен тензор аффинной кривизны-кручения, содержащий тензор кручения. Доказано, что аналоги тождеств Риччи — Бьянки инвариантны лишь в пространстве с реальным кручением, когда тензор кручения выражается через одновалентный тензор. При продолжении структурных уравнений гладкого многообразия с помощью леммы Лаптева определены голономные и полу-голономные многообразия. Тождества Риччи — Бьянки позволили показать полуголономность пространства проективной связности Рп п, которая сохраняется в пространстве без кручения Р'п п. Введен тензор неголономности пространства Р'п п,

© Шевченко Ю. И., 2014 144

обращение которого в нуль выделяет голономное пространство НР^„. Произведена классификация пространств проективной связности Картана.

Ключевые слова: проективная связности Картана, тензор кривизны-кручения, тождества Риччи — Бьянки, лемма Лаптева, голо-номность, полуголономность.

§ 1. Тождества Риччи — Бьянки в пространстве проективной связности

Пространство проективной связности Картана Рп п имеет

размерность п как гладкое многообразие и размерность п(п+2) как расслоение центропроективных реперов. Структурные уравнения пространства Рп,п (п > 2) запишем в виде [1; 2]

Ва' = а3 л а'. + Б'® лак , (1)

Ва0 = а® лак + )ак лак + а . л а' + Щк1ак л а1, (2)

Вт = а3 л а. + Ярка3 л ак, (3)

где ',... = 1, п, коэффициенты при внешних произведениях базисных форм а' антисимметричны по двум индексам

Б(зк) = 0 Я(1) = 0 Язкк) = 0 , (4)

где круглые скобки обозначают симметрирование.

Картан ввел пространство проективной связности Рп,п как

обобщение проективного пространства Рп. Действительно, уравнения (1—3) обобщают структурные уравнения проективной группы ОР(п), эффективно действующей в пространстве Рп [1; 2]:

ва = а л®'.,

Daj = аа ло'к + S1jak ло + о, л о', (5)

Da, =а. ла,.

(6)

j

Естественно предполагалось, что объект R = {Sj*, Rjki, R'jk } , называемый кривизной-кручением, является тензором. Тогда при R = 0 структурные уравнения (1—3) пространства Pn,n

становятся уравнениями (5) проективной группы GP(n).

Найдем дифференциальные уравнения компонент объекта кривизны-кручения R и аналоги тождеств Риччи — Бьянки. Продифференцируем внешним образом дифференциальные уравнения (1—3), приведем подобные члены и вынесем произведения базисных форм

[AS'jk + (S'mkSm + S'mjSkd - Rjki W ] ло лок = 0,

[Щи -jmOm - SlOj + (S'jRklm +¿ljRjlm + + RljpISík + RjpkSlm )am ] лО1 Л°= а

[ARjk + RjkO + (R'mkSim + R'mj Ski )al ] лО лО = 0,

где тензорный дифференциальный оператор A действует следующим образом:

ASjk = dSjk + Sjkai - Sik°lj - Sji°k

На основе кубичных уравнений (6) составляем дифференциальные уравнения

ASjk = SjO, ARjk + RjkO = RjO,

ARjk, -j>m - SkOj = Rjk1mOm, ( )

причем в соответствии с условиями (4) пфаффовы производные компонент тензора кривизны-кручения R антисимметричны по двум индексам

Б[]к)1 = 0, Щ(к1 )т = 0, Я(3к)1 = °

Теорема 1. Объект кривизны-кручения Я = (Бд, , Яцк }

пространства проективной связности Картана Ру,п является тензором, компоненты которого удовлетворяют дифференциальным уравнениям (7). Тензор проективной кривизны-кручения Я

содержит тензор аффинной кривизны-кручения Я = {Бд, Я3Ы },

который включает тензор кручения .

Подставим дифференциальные уравнения (7) в кубичные уравнения (6), вынесем базисные формы из квадратных скобок, тогда альтернированные коэффициенты при тройных внешних произведениях базисных форм должны обратиться в нуль

Б13к1 ] + Бт[кБ™] + Бт[3Бк1] ~ Я[3к1] = °, Я3[к1т] +)3Я[к1т] + Я3[1т)к ] + Я3р[1Б!Рк ] + Я3р[кБШ] = °, Я'[ 3к1 ] + Я'т[кБ13] + Я'т[ 3Бк1 ] = °

где квадратные скобки обозначают альтернирование по трем индексам. Во всех квадратных скобках есть антисимметричная пара индексов, поэтому альтернирование преобразуем в цик-лирование, приведем подобные и получим аналоги тождеств

Риччи — Бьянки (см.: [3]):

' ^ ' ' т '

13к1 = Зк1} + 2Бт{3Бк1} ~ Я{3к1} = °

ЩкЫ = Я3{к1т} + )Я{к1т} + Я3{к1)т} + 2ЯЗр{кБ1т} = °, (8)

¿е/ т

111'3к1 = Я'{ 3к1} + 2Я'т{ 3Бк1} = 0,

где фигурные скобки обозначают циклирование по трем индексам.

§ 2. Особенность кручения пространства проективной связности

Для нахождения условий инвариантности тождеств (8) продолжим дифференциальные уравнения (7) компонент тензора кривизны-кручения R. Запишем уравнения (7) подробно, продифференцируем с помощью структурных уравнений (1—3), вынесем базисные формы, приведем подобные и используем оператор А

[ASjkl + (...)'jklmam] л® = 0,

[AR)km - (SR, + S'SkPm, )®p + (Rmkl - Skm )®j + +2R>» + Rjm®k + Rjkm® + (.j® ] Л ^ = 0,

[ARijkl + 3Rijk®l + Rijl®k + Rilk®j +

+ Rljk® + Rm®m + (...)jklm®m ] =

Разрешим квадратичные уравнения по лемме Картана, запишем результат в виде сравнений по модулю базисных форм и опустим невыписанные слагаемые

AS)U = 0 (mod ),

AR'jklm + 2Rjkl®m + Rljml®k + R)kmal -

- (¿'mRfkl + SjSPm, )®p + (Rmkl - Skm )®j = °,

ARijkl + 3Rijk®l + Rijl®k + Rilk®j + Rljk®i + Rijkl ®m = °.

Проциклируем эти дифференциальные сравнения по трем индексам и приведем подобные

= 0,

ARU, -(Rm$U +s^spam})®p + (RU -S!iklmi)®j = 0, (10) AR,{jki} + R,{ jk®D + R jki+ Ктат = 0.

Исходя из тождеств (8), введем обозначения

А' — 2 Я' Ят — Р' С — 2Р Ят

В'/к1т — д)Р{к1т} + Р/[к1^'т} + 2Р/р{кЯ1т} ■

С помощью дифференциальных уравнений (7) получим сравнения

М'/к1 + /БтФт + 8{к10/} = 0, АСт + 2^ /^г = 0,

Щк1т +5)Р{к1т}ар + —

——Ч А®/ =0.

Прибавим эти сравнения к соответствующим сравнения (10) и используем обозначения (8):

А/ +51/Ят1}ют + = 0, (11)

Л/ — Гш® = 0, (12)

+ п;а®т = 0. (13)

Из дифференциальных сравнений (11) видно, что объект 1/к1 образует тензор только в совокупности с тензором кручения Я'/к, поэтому, тождества (8]), вообще говоря, не инвариантны. Но они должны выполняться, так как являются следствиями структурных уравнений (1).

Преобразуем сравнения (11)

Л/ + /} + /7К = 0.

Объект 1/ш будет тензором в пространстве Рп,п лишь при выполнении системы линейных однородных уравнений

/о+—0. (14)

Раскроем циклирование, свернем по индексам I, т и приведем подобные

■ + 3'& + (п -Щк = 0, (15)

= Sjk . (16)

Следовательно,

^ = -^Г ■ -S^kSJ ). (17)

п -1

Получили решение (17) следствия (15) системы уравнений (14). Подстановка выражений (17) в систему (14) приводит к тождествам. Сворачивание уравнений (14) по индексам 1, I приводит к той же формуле (17). Свертки по другим индексам также не дают новых решений системы (14). Значит, (17) — единственное нетривиальное при Sk ^ 0 решение системы (14), которое назовем реальным кручением.

Теорема 2. Аналог тождеств Риччи (81) инвариантен в пространстве проективной связности Рп,п тогда и только

тогда, когда тензор кручения S1jk выражается через одновалентный тензор Sk по формуле (17).

Следствие. В пространстве проективной связности без кручения РП п тождества (81) инвариантны.

Действительно, система (14) удовлетворяется тривиальным решением S1J■k = 0, которое дает формула (17) при Sk = 0.

Вывод. В пространстве проективной связности Картана Рпп справедлива формула (17), поэтому пространство Рпп

может обладать только реальным кручением.

В силу тождеств Риччи I^ = 0 сравнения (12) принимают

тензорный вид Д/Тд^ = 0, поэтому инвариантен аналог тож-

деств Бьянки И^т = 0 . В этом случае сравнения (13) имеют вид АШуц = 0, поэтому инвариантен 3-й аналог тождеств

Риччи — Бьянки 111^1 = 0 .

Теорема 3. В пространстве проективной связности Кар-тана Рп п,обладающем лишь реальным кручением (17), инвариантны три аналога тождеств Риччи — Бьянки (8).

§ 3. Полуголономное и голономное пространства проективной связности

Рассмотрим п-мерное гладкое многообразие Мп со структурными уравнениями Лаптева [4]:

Бт1 = т] Ав) . (18)

Продолжая их, получим

Бв) =в) Ав) + т а), (19)

причем согласно лемме Лаптева [4] выполняется условие

в)к а т А т = 0 ^ в)л ] а т А т=0,

которое раскрывается следующим образом:

ви ] =; Ъ )1 = ^ ] =0 ^ ■ = (20)

В общем случае, когда Ф 0, т. е. формы в^ несимметричны: в,^jk] Ф 0 будем говорить о полуголономном гладком

многообразииМп (ср.: [5; 6]). В особом случае

■ = 0 ^ ] = 0

назовем Мп голономным гладким многообразием нМп. Наконец, если в\к = 0, то будем называть Мп тривиальным гладким многообразием.

Исследуем степень нетривиальности пространства проективной связности Рп,п. Преобразуем структурные уравнения (1) к виду (18), тогда

вв — сС + Я/как . (21)

Найдем внешние дифференциалы этих форм с помощью структурных уравнений (1, 2):

Вв) — а® ла'к + 3'/ак лак + а/ л с +

+Щк — Я'С) л®к + (Щк1 + Я)тЯти)ск л с1. (22)

Преобразуем 1-е слагаемое, выражая формы аС из равенств (21):

„ Л ат » а' г^к . п' ат » С' „1 I „к . с*г , I

с/ лат —в/ лвт — Я/ка лвт —в/ л Ят1с + Я/кс л Ят1а .

Здесь во 2-м и 3-м слагаемых воспользуемся обозначением (21) непосредственно

„к . „г ¿¡к . а' „к . „г ,,т . ог „1 си „к . г<г'

а/ лак —в/ лвк — Я/ка лат —а/ л Ят1с — Я/ка л Ят1с .

Подставим это выражение в формулу (22) и внесем слагаемые с базисными формами и их произведениями в соответствующие скобки

Вв/ — вк лвк + т/ск лак + аС л С + АЯ/к лак +

+ (Р'к1 + Я)тЯк1 — Я%Я'т1С лС.

Воспользуемся дифференциальными уравнениями (71) для компонент тензора кручения Я/к, объединим слагаемые с

к 1 1

внешними произведениями а л а и проальтернируем коэффициенты при них по индексам к, 1:

Ов) — в) лв'к + З'ак лак +а} л С + л а1, (23) — / + Я/Я + яткЯ'т — Я'[к1 ]. (24)

Подставим структурные уравнения (23) в виде (19), где

в = Км® -З'тк -б® . (25)

Произведем альтернирование

в] = ^у®'. (26)

С целью проверки условия (204) проциклируем коэффициенты этих форм

#]'} = 1 {{к]1 + + )=т["2)м' - 1) + 2С%Ыу - ) + + т(Я]к -)] = I{]к1 + + )= ^{]Ы1}.

Эти выкладки показывают, что справедлива

Лемма. Альтернирование по двум индексам внутри цикли-рования по трем индексам можно опустить, если по другой паре индексов имеется антисимметрия.

Циклируем выражение (24) с помощью Леммы:

Я{]к'} = Я{]к'} - Бт{]БЫ1} + Б{]кБ1]т - Б{]Ы) = = Я{]к'} - ^т {]$Ы1} - Б{]к1} = -1]к1 = 0.

Поскольку выполняются тождества

Я{[ ]к ]'} = Я'{]к1} = 0,

доказана

Теорема 4. Пространство проективной связности Кар-тана Рп,п является полугономным п-мерным гладким многообразием.

Используя выражения (24) величин и дифференциальные соотношения (71,3, 91) для компонент тензоров Б'ы, Б'-^ и объекта Я]к1, получим

Ь^М -Щтт - б® = 0,

откуда следуют сравнения для коэффициентов ц из формулы (26):

л^/к ]1 — + / ]1 )а = 0.

Эти сравнения примут тензорный вид Л^'д]1 = 0 лишь в случае

ТО +/к ]1 —

При т — 1 получим

/ ]1 +/ ]1 — 0.

Используя обозначение (16) и антисимметрию компонент

'/к

тензора кручения Я'к , найдем

Я)к — /А ] ——2/—тЯ/ ь

что совместимо с формулой (17), когда Як — 0 « Я)к — 0.

Теорема 5. Равенства Ц'/®]1 — 0 инвариантны лишь в пространстве проективной связности без кручения РП п (Я/ — 0), из которого они выделяют голономное пространство проективной связности нРП п.

§ 4. Классы пространств проективной связности

Среди пространств проективной связности Рп п главное место занимает пространство без кручения Рп, п , в котором

тензор кручения обращается в нуль: Я/к — 0. Дифференциальные уравнения (73) упрощаются

Щы — Щкшат. (27)

Теорема 6. В пространстве проективной связности без кручения Рп п тензор проективной кривизны-кручения Я вырождается в аналог тензора центропроективной кривизны Я' = {Я'м, Я'-ы }, компоненты которого удовлетворяют дифференциальным уравнениям (27, 72), причем тензор Я' содержит аналог тензора аффинной кривизны Я]к1.

В случае Б]ы = 0 уравнения (71) дают = 0, поэтому тождества Риччи — Бьянки (8) принимают вид

Я'']к1} = 0 , ЯЛк1т} = -3)Я{к1т} - Я]{к1^'т} , Я,{]к1} = 0 , (28)

а обозначение (24) становится переобозначением Я']к1 = Я]ш .

Совокупность коэффициентов в формуле (26) назовем объектом неголономности пространства Рп,п , потому что его аннулирование

Я[]к]1 = ЯУк]1 = 0 ^в[]к] = 0

характеризует голономное пространство нРп', п.

Если обращается в нуль тензор аффинной кривизны-кручения

Б]к = 0, Я]к1 = 0 ^ Я]к1т = 0 ,

то упрощаются дифференциальные уравнения (72):

Щы = Ям®. (29)

и тождества Бьянки (282):

ОДыт} + Я^З'т} = 0. (30)

Свертывая их по индексам { и _), получим

Я{к1т} = 0. (31)

Подставим тождества (31) в выражения (30) и раскроем циклирование

Я/ + // + Ям/ — 0. (32)

Положим ' — т и приведем подобные (п — 2)Як, — 0

V > ]Ы . (33)

Другие свертки тождеств (33) приводят к тому же. Тождества (33) при п — 2 пропадают, а при п > 2 дают Я/к1 — 0.

Теорема 7. В пространстве проективной связности без аффинной кривизны-кручения Р"п, тензор проективной кривизны-кручения Я вырождается в тензор Я/к, компоненты

которого удовлетворяют дифференциальным уравнениям (29). При п > 2 имеем Я/к — 0, поэтому тождества Риччи —

Бьянки исчезают, а при п — 2 они принимают вид (31, 283). Наконец, если обращается в нуль тензор проективной кривизны-кручения Я:

Я/к — 0 / — 0 я1]к — 0 ^ я]Ыт — ^

то тождества Риччи — Бьянки исчезают и в случае п — 2.

Утверждение. Пространство проективной связности без проективной кривизны-кручения Р'"п является локально-проективным пространством со структурными уравнениями (5), особым случаем которого служит проективное пространство Рп, в котором эффективно действует проективная группа ОР(п) с теми же структурными уравнениями.

В пространствах Р"П, Р"'П и Рп формулы (25, 26) имеют вид

в/к —3[С/ , в/] — ^

т. е. эти пространства являются нетривиальными голономными гладкими многообразиями.

Изобразим рассмотренные классы пространств проективной связности на схеме

P ^ р< ^ HP2,2 ^ P2,2 ^ P2,2 ^ P2

1 п,п ^ 1 п,п 1 п,п ^ 1 п V" ^

где стрелка показывает переход к особому случаю предшествующего пространства.

Список литературы

1. Cartcm E. Leçons sur la théorie des connection projective. P., 1937.

2. Кобаяси Ш. Группы преобразований в дифференциальной геометрии. М., 1986.

3. Кириченко В. Ф. Дифференциально-геометрические структуры на многообразиях. М., 2003.

4. Лаптев Г. Ф. Основные инфинитезимальные структуры высших порядков на гладком многообразии // Тр. геометрического семинара / ВИНИТИ. М., 1966. Т. 1. С. 139—189.

5. Лумисте Ю. Г. Матричное представление полуголономной дифференциальной группы и структурные уравнения расслоения р-реперов // Там же. 1974. Т. 5. С. 239—257.

6. Шевченко Ю. И. Оснащения голономных и неголономных гладких многообразий. Калининград, 1998.

Yu. Shevchenko The classification of spaces of projective connection

The affine curvature-torsion tensor containing torsion tensor is extracted from the projective curvature-torsion tensor in an «-dimensional space with Cartan projective connection. It is proved that analogs of Ricci — Bianchi identities are invariant in the space with objective curvature, when torsion tensor is expressed in terms of one-valent tensor. Holonomic and semi-holonomic manifolds are defined by prolonging a smooth manifold structure equations by means of Laptev's lemma. The Ricci — Bianchi identities let to show that the space with projective connection P is semi-holonomic

which survive in a torsion-free space P«, n. We introduce tensor of non-holo-

nomicity for the space P«,n, if it vanishes there is holonomic space HP«,« . The classification of Cartan projective connections is accomplished.