CC BY
26
РАЗНОЕ
УДК 514.75
О. О. Белова
НОРМАЛЬНАЯ ОБОБЩЕННАЯ АФФИННАЯ СВЯЗНОСТЬ, АССОЦИИРОВАННАЯ С ГРАССМАНОПОДОБНЫМ МНОГООБРАЗИЕМ ЦЕНТРИРОВАННЫХ ПЛОСКОСТЕЙ
В многомерном проективном пространстве рассмотрено грассманоподобное многообразие центрированных плоскостей. В обобщенном расслоении задана нормальная аффинная связность, ассоциированная с многообразием. Поле объекта аффинной связности определяет тензорами кручения и кривизны, содержащие по одному простейшему и простому подтензору. Рассмотрен канонический случай нормальной обобщенной аффинной связности.
In projective space a Grassman-like manifold of centred planes is considered. The normal affine connection, associated with the manifold, is set in generalized fibering. Field of the affine connection object defines torsion and curvature tensors contained one elementary and one simple subtensor every. A canonical case of normal generalized affine connection is considered.
Ключевые слова: проективное пространство, грассманоподобное многообразие центрированных плоскостей, нормальная обобщенная аффинная связность, тензор кручения, тензор кривизны.
Key words: projective space, Grassman-like manifold, normal generalized affine connection, torsion tensor, curvature tensor.
Отнесем n-мерное проективное пространство Pn к подвижному реперу {A, AI} (I, ... = 1, ..., n) с инфинитезимальными перемещениями dA = 9A + roIAi, dAI =9AI +aJAj +roIA, причем ю1, юI, roJ удовлетворяют структурным уравнениям Картана проективной группы GP(n)
DroI = roJ л ю J, DroI = oJ Afflj, DroJ = люК +5Jюк люк +Oj AroI.
В пространстве Pn рассмотрим грассманоподобное многообразие Gr (m, n) центрированных m-мерных плоскостей Lm. Помещаем вершины A, A„ на плоскость Lm и фиксируем центр А (индексы принимают значения a, ... = 1, m; а, ... = m +1, n). Грассманоподобное многообразие Gr (m, n) [1] центрированных плоскостей задается уравнениями юа =Л^юа +Л0,Ьюа, где ла, —
некоторые функции; формы юа, ®а — базисные формы данного многообразия; dim Gr (m, n) = (n - m)(m + 1). Компоненты фундаментального объекта Л = {ла, Л^} удовлетворяют дифференциальным сравнениям по модулю базисных форм юа, юа :
дЛа+Лаьюь +юа - о, дЛаь - о.
Замечание. ЛаЬ образуют тензор, обращение которого в нуль выделяет особое подмногообразие многообразия Gr (m, n). В нем центры m-мерных плоскостей лежат на (n - m)-мерной поверхности
a Л a г-\а
Ю = Ла® .
Гладкое многообразие со структурными уравнениями
Dn^ = ю р л®а + (Л вю р +Лf юьЬ)люа, Dюа = юв A(5baю а -5 )-юа A®a,
DibJ^ =юв люа -юу л(5^ю р +5|аюу)-5р(Лрю в + Лрью^)люa -юа лю в
назовем обобщенным расслоением [2] нормальных аффинных реперов и обозначим Ah2+[h](Gr (m, n)), где h = n - m.
Для задания аффинной связности в обобщенном расслоении Ah2+[h](Gr (m, n)) распространим на него прием Лумисте задания групповых связностей в главных расслоениях. Преобразуем
Вестник Российского государственного университета им. И. Канта. 2010. Вып. 10. С. 156-159.
базисно-слоевые формы юа и слоевые формы расслоения Ah2 ^(Gr (m, n)) с помощью линейных комбинаций базисных форм юа, roß :
ла _ „а т-aß д/гая„ ß ~ а _ а т^а „у гга®^ Y
СО — Ю Lß© ML ß®^, CD ß — ®ß Г ßy® П Aßy Ю a • (1)
Внешние дифференцируем (1), учтя структурные уравнения [1]:
DOа — (Оß люа +roß л (AL'ß + Mßeюй) +roß лАМ^18 + (Г^ - L^“)roß люу +
+(пау -no^Lß+m^ +5ßA“ - loa“ )roß люа+
+(- м-< -5ал;ь+loa;6 )oß люу,
DdJO — ю“ лю!у +юу л(АГау +Иауйюй -5ал;юй -5^ -5аюß) +
+ ю8 л (АПа; -5алуаюь -5ßroß) -Г^Г>у лю: +
+ (Г^уИр“ -И”ГПу-га,лу)юу лю: + (гаул^ь -<ппуК лю“•
Применим теорему Картана — Лаптева в обобщенном случае:
alo + Мрай юй — LаyЮy + Lßyю!, Ама; — Mß>y + Mß;b юу,
АГОу +Hßy4 -5ал;юй -5ßroy-5ßCTß — Tßy^ + Г0у>:, (3)
Атгая ^а л ba^ sa„a п-ад ■ ттадв„:
AПßy 5ßAy ° a^ß — П“у:ю + П“у:юь •
Утверждение 1. Объект обобщенной аффинной связности Г — {Lß, Mß“, Tßy, nß“}, ассоциированной с грассманоподобным многообразием центрированных плоскостей, содержит простейший подтензор Mß“ простого тензора связности L — {Lß, Mß“}.
Подставим уравнения (3) в структурные уравнения (2):
Droß — roß люО + Sßyroß люу + Sß;raß лю“ + Sß;bю“ люу,
Dñ° — юу л raß + Rß,^ л ю: + Rßy>y л ю“ + RßyJю“ л ю:, (4)
где компонентах объекта кручения S — {Sßy, Sßy, Sßyb} нормальной аффинной связности выражаются по формулам
Sß7 — nß +L” -Lßnß + WTßß -Mß“ +5^a“ -l^a“ ,
(5)
¡C _i?m+4m-«j' sa‘ =M“[;;]-M^[5<]-i|Ac;]+!{/■;],
а компоненты объекта кривизны R _ {Rß^, Rß^, Rß^} имеют виц
Ra ___Г^ гП r*a т^аа __________гаа -^тсса га л а + га ^гПа ■^тссагП
Rßy|a _ г ß[уц] -г ß[у1 Т|Ц]' Rßy^ _ г ßy^ -ilßw -г ßi^vy + г пупвц -iln^r ßy'
г г и г (6)
-пааЪ _ тга | аЪ 1 - i - i ~ u ъ і
rr™ i _ Hr
’]-Пп[ апаЪ ] + га л[а Ъ ]
vßy|a nß[y|aJ nß [уппц J +i ßlrV ^J •
Утверждение 2. В уравнения (4) форм связности (1) входят компоненты объектов кручения и кривизны, выражаемые по формулам (5), (6).
Продолжая уравнения (3) компонент объекта связности Г, получим:
щ +МСЧ +LH +LH -8CLH - о, ^Lca + K^b +L®ß +мса^у - о,
AMßa +Mcab“b -§амц!юц -мса®г +мсс!юв -мглн -мсЪлаюъ - о,
AMßf +МС’юа +Ма!гаЪ -МзаЛуЪюс -МЛЧ - 0,
^Tßm +nCßa®a +rCßiroa +Гйагау +ГСуюв +Г(СУаІі -^сСГ(ПуЮп +^^1^ -S(CAßaffla +••• -0, (7)
Ага+псьа®Ъ +пса^1 +rC“ß +rcY“p -з^г^^а -зала^, +гс,лцаЮЪ+5^лъц +... -о, апо; +пао;ЮЪ +псаюу +пса^з -заппа^п +§ал^^з -паЪлаиЪ -8алЪцЮЪ +••• -о,
ДП^ +П^< +П>? +^8® -ООП“® ^4 +8алЧ -ПОЛ® -Щ^ +•••
Здесь многоточие означает наличие слагаемых, которые различаются в зависимости от способов группировки (см. [3]).
Пользуясь формулами (5) и (6), находим дифференциальные сравнения, которым удовлетворяют компоненты этих объектов:
Д^ру + S[“ß>« - 0, AS” + 2Sß“b4 -0, ASß“f - 0;
ARß“, + Крмю - 0, AR” + 2RjObaю? - 0, ARß“;b - 0.
Теорема 1. Для грассманоподобного многообразия Gr (m, n) центрированных плоскостей объекты кручения S и кривизны R нормальной обобщенной аффинной связности являются тензорами, содержащими простейшие S^*, R^, и простые (S^, S^}, {Rßy,, RO^) подтензоры [4].
Утверждение 3. Дифференциальные сравнения для подтензоров кручения S и кривизны R соответствуют между собой.
Рассмотрим канонический случай нормальной аффинной связности, когда тензор связности L
обращается в нуль. В этом случае юа = юа, то есть преобразование базисно-слоевых форм юа не
0
производится, объект связности упрощается: Г = {0, 0, Г^,, ПО}. Учтем = 0, M“ = 0 в
выражениях (5):
га _ -ра пая т-гаа . еа* a caab _ д їй b П /о\
Sßy [ßy], Sppup^ tor ß, Sßy “ 0[ßyv yj. (8)
Теорема 2. В каноническом случае тензор кручения нормальной аффинной связности содержит компоненты: SO,, равные альтернации по нижним индексам аналогичных компонент объекта связности; S^, равные сумме соответствующих компонент объекта связности и произведений компонент символа
Кронекера на компоненты подобъекта Ла фундаментального объекта Л; SOYab , равные альтернированным по парам индексов произведениям компонент символа Кронекера и компонент фундаментального подобъекта Л0ь .
При Ла? = 0 выражения ( 8! 2 ) компонент тензора кручения останутся прежними, а ( 83 ) примут вид So? = 0.
Замечание. Для особого подмногообразия грассманоподобного многообразия центрированных плоскостей в каноническом случае тензор кручения нормальной аффинной связности содержит нулевые компоненты Sß°;b.
Список литературы
1. Белова О. О. Связность в расслоении, ассоциированном с грассманоподобным многообразием центрированных плоскостей // Вестник ЧГПУ им. И. Я. Яковлева. Чебоксары, 2006. С. 18 — 20.
2. Шевченко Ю. И. Связности, ассоциированные с распределением плоскостей в проективном пространстве. Калининград, 2009.
3. Белова О. О. Тензор кривизны связности в расслоении над грассманоподобным многообразием центрированных плоскостей // Диф. геом. многообр. фигур. Калининград, 2009. Вып. 40. С. 18 — 28.
4. Шевченко Ю. И. Оснащения центропроективных многообразий. Калининград, 2000.
Об авторе
Ольга Олеговна Белова — канд. физ.-мат. наук, доц., РГУ им. И. Канта, e-mail: [email protected]
Author
Dr Olga Belova — assistant professor, IKSUR, e-mail: [email protected]
