CC BY
15
УДК 514.75
О. О. Белова
(Российский государственный университет им. И. Канта, Калининград)
НОРМАЛЬНАЯ ОБОБЩЕННАЯ АФФИННАЯ СВЯЗНОСТЬ, АССОЦИИРОВАННАЯ С ПРОСТРАНСТВОМ ЦЕНТРИРОВАННЫХ ПЛОСКОСТЕЙ
В проективном пространстве рассмотрено пространство П центрированных плоскостей. В обобщенном расслоении задана нормальная аффинная связность, ассоциированная с пространством П. Поле объекта этой аффинной связности определяет объекты кручения и кривизны, которые являются тензорами, содержащими по три простейших и по два простых подтензора. Рассмотрен канонический случай нормальной обобщенной аффинной связности.
Ключевые слова: проективное пространство, пространство центрированных плоскостей, нормальная обобщенная аффинная связность, тензоры кручения и кривизны.
В «-мерном проективном пространстве Рп рассмотрим пространство П [1] всех центрированных плоскостей размерности т. Формы юа, ю", ю" являются базисными формами пространства П .
Гладкое многообразие со структурными уравнениями
Бюа = юь аю" + ю" л с", Бю" =юр лю" + юа лю", Вю" = ю? л (8ьаю" - 8"юъа) -с" лса, Бю" = ю7р лю" -ю7 л (8"юр + 8аюг ) - 8"юа люа -ю" лю"
называется обобщенным расслоением [2] нормальных аффинных реперов и обозначается Ак2+ (П), где к = п — т .
Для задания аффинной связности в обобщенном расслоении Ак2+[к](П) распространим на него прием Лумисте задания групповых связностей в главных расслоениях. Преобразуем базисно-слоевые формы соа и слоевые формы соар расслоения Ак2П) с помощью линейных комбинаций базисных форм соа ,та ,таа
со =с — Ьаю — Ь„со Ь асоа,
а а а а (1) т^а ^а т^а т^аа
СР=СР—ГР"С —ГруС —ГруК-
Возьмем внешние дифференциалы форм (1) с помощью структурных уравнений [1]
БС = Са лСр + С лМаа + С л (Мар+ Ьараса — ьур )+
+Салма; — ь)г;ъСлОъ + +(—ГЬ + Паг+З^а—ЗХ )СлС +
yß a ß ya a ß a ß /
+(t; + rßy - Lyßrra aß л а + ( r; - LßryM'л *" +
+(г;; - r;;Lß + Lyr^ )aß л а + л K, (2)
DZ; =ay^ay+aa л (Г - SZ) +
ß ^ß'^y'^'M^ßa ^ß^ a>
+а л (at; - r;ao; + r;;va - s; а - s; а)+ +Z л(Arßy-syaß) + r;ar;bZ лаь +
+(г;Г-гг -sbr; )za ла; + +(rr -r;ar;7л а +гг»у ла + +(ГГ-Tri)аула +гг<ла£ .
Применяя теорему Картана — Лаптева в обобщенном случае, получим
щ - Lpabab + Гау+ Ы?уь, Al; + Lppaœa - ьуар - ЦУ + L«py + My al; - м;У+ N;ay + Lp;d, (3)
АГ; - sya - г;ау + гру + пру,
ATI - rpy + ГРрУа - Sy - spУ; - rpy + груа + пру,
а т—'ра £Р „а ра „ц . т—тра „Ъ , r->pab^ц
Pr -SrcP- gpC + ПРгьа + г;ц уь • Утверждение 1. Объект обобщенной аффинной связности г={LLa,LL;,LLp, гра, грг, г;}, ассоциированной с пространством центрированных плоскостей, содержит два простейших подтен-зора Lp, Lpp простого тензора связности L — {Lp,Lp,Lpa} и два
простейших подквазитензора гра, г^ простого квазитензо-
~ ~ ~ г ï-p т~< p r^pa )
ра нормальной линейной связности { г ра,1 pr,l pr } .
Подставим дифференциальные уравнения (3) в структурные уравнения (2):
D cp -ср A®p+ Spca лсЪ + Spaap лса + Sppa" л У +
+SPprœP лС + SPparœP л У + Sp;aœp л С , (4)
D Ср -СрлС + RpaaC лсЪ + Rpacr л С + RpC л С + +Rpy лС+ RpC л С + RprC лСЦ , где компоненты объекта кручения
о _ г rrp rrp ripb cip ripa cipab i
S - l Sab, Spa, Sap, S Pr, S Pr , S Pr }
нормальной аффинной связности выражаются по формулам
op _ jp jP j-<p çp _ ï--p . f'p ТГ ТГ fp tp I tp
Sab — L[ab] - Ц[аг pb] , Sра — г ра + г pLa - Црг ra - Lap + Lpa ,
Spp -Mpp -Mpp-грпа + ирц +SbaSp-SbaLpp, (5)
ç^p _ jp . т-p тц r-<p çip _д rpa , j—pa тц т—pa , тца j—p \Jp
SPr~ L[ Pr]+1 [ Pr]~L[ P1 ц] ' SPr~ MPr+1 Pr~ LP цт+ LrA цр-NrP '
ripab _ tp Г ab 7 _i_ 7_,p г a тцЪ y
SPr - L[Pr ] +гц [pL r ] '
а компоненты объекта кривизны
П _ f п a г) a г) ab г> a г> aa г> aab
R _ { Rpab ,Rpya ,Rpay ' RpyM ,RPyM ,RPyM
имеют вид
П a _ pa . pa 7-y r> a _ t-<a a a /"M i ya ум
Rpab 1 p[ab] 1 y [a1 pb] ' RPya ~ 1 Pya ~ 1 pay ~ 1 мa Py МУ Pa '
Г) ab _ t-t ab t-t ab . j-<a умЪ f ab j-<м яЪ f a
Rpay ~ П pay - П Pya + 1 Ma1 Py ~ 1 My 1 Pa ~°a 1 Py ,
Г) a _ ï-r a . ï-r a j-<r¡ r> aab _ ï-> a Г ab . ï-- a Г a j-<rb
RPyM -1 p[ ум] + 1 r[ y1 Pm] ' RPrM _1 P |_ум] + Г r ly1 Pm\' (6)
t\ aa _ T—r aa aa . t—> a yra y aa y r
RPrM ~ 1 PyM - GPMy ry1 Pm~ 1 ГМ1 Py •
Утверждение 2. В структурные уравнения (4) форм связности (1) входят компоненты объектов кручения и кривизны, которые выражаются по формулам (5, 6).
Продолжая уравнения (3) компонент объекта связности Г, получим:
ЛЦ* + L>a - 0 , ALaap-Laabop + Mpb-5pLyaCy- 0, bMp-ôbaLayp -5;Lyaœby - 0, ЛLapa-Labaabp + Mpœb + LaaCp- 0, ЛLapy + Mapayœa + N;yaa + Larœp-5arLMpœ^ - L^y - L^p - 0 , ЛМpy -Myœp + Lpaob + Larœp - 5;L^ + Lpacy - 0 , mpi + Lapaœb -5lLa;œc - 0 ,
д д t a a a a ^b . т aab „ ç» a TMa„ t aa ^ , т a a ^ л
ANPr - Mpbcy + Lpy Cb -5y Lp ®M - LP cr + Lr CP- 0 '
\T aab ç» a TMa^^b . т ab ^a . т a a ^b r\
àLPr -5r LP aM + LP ar + Lr ap- 0 ' (7)
Л^у - rpbfl) + npbyyVb + np^y + nraOp - 510m - 0 ,
л^Ъ +10 +rPbO- 0, ЛПa - 5ъ5;Со - 5ЬГa coc + ra аЪ -5arMab - 0 ,
Pay a p y a pc y ya P y pa m
ЛГум - rpo + npyca - rpOy + Gpyca + rpcy + ГМУуС p +
+г;уСм-5;г;уСг- 0,
аг; — г;С + г;а®г + п;;асъ + г^ - о,
Л Паа т—гаа „Ъ . т-чхЪа „ . т-чха „ . 7-; „а . 7-; „а та т' „а л
А//р — П „, а +1 а а, +г я а + г „ а +г ар — о г р а - 0,
^^ ръя г руя ъ ру Я ^ Г ЯГ р Я рГ ' '
ас;; — пас + г;;Сь+г;с + г;;ср — з;гру% - о, ^ПрУъ +00 оуар—за грус - 0,
АгРгя +гРгся+гРясу +гяусР —0яг1( - 0 •
Пользуясь формулами (5) и (6) выражений компонент объектов кручения и кривизны, находим дифференциальные сравнения, которым удовлетворяют компоненты этих объектов:
аз; - о, аб; + 2Б( — Барс, - 0 , АБ;р - о,
А5ру— БРсЯУ] + Б;Рус(-0, АБру— 2Бръаъ — Б^ар - 0, АБр;ъ - 0;
АЯРаъ - 0 , АЯР;а + 2ЯраъСЬу — Яр^с - 0 , АЯ^ - 0, А^ - 0,
АЯРуя — Яр1+ Яр^яяСа - 0, АЯр;я — 2Яр;( — ЯрУ - 0 .
Теорема 1. В пространстве П центрированных плоскостей объекты кручения Б и кривизны Я нормальной обобщенной аффинной связности являются тензорами, содержащими
с; о аъ о ааъ п; п ;ъ п ааъ
простейшие Баъ, Бар , Бру , Я раъ , Ярау , Яруя и простые
г Г1; о; Г1;ъ ) г г^ааъ ^аа ) г т\; т\; -раъ л г раа рааъ раа )
{Б ра,Баъ,Бар }, {Б ру ,Бур ,Бъу }, { Яруа ,Я раъ ,Ярау} , { Яруя, Яр;у ,Яръ;}
подтензоры.
Утверждение 3. Дифференциальные сравнения для под-тензоров кручения Б и кривизны Я соответствуют друг другу.
Рассмотрим канонический случай нормальной аффинной связности, когда тензор связности Ь обращается в нуль. В
этом случае а; = а;, то есть преобразование базисно-слоевых форм а; не производится, а объект связности упрощается:
0
г = {0,0,0, г;а, г;, г;;}.
Учтем равенства La = 0, Lp= 0 , Lpa = 0 в выражениях (5) компонент тензора кручения, тогда
о а __о а _ Ï-- а о аЪ _ Jvb с a Ça _ Г~а С* aa _ т-<аа о aab _
Sab = 0 , Spa = 1 pa , Sap = ° a° p , Spr = 1 [ f] , Spr = 1 pr , Spr = 0 .
Теорема 2. 5 каноническом случае тензор кручения нормальной аффинной связности содержит нулевые компоненты Sa, Sprb, компоненты Spa, Spf совпадают с соответствующими компонентами объекта связности, компоненты Spr
суть альтернации аналогичных компонент объекта связности, а компоненты Sp равны произведению символов Кронекера.
Следствие. Каноническая нормальная обобщенная аффинная связность, ассоциированная с пространством центрированных плоскостей, всегда с кручением.
Список литературы
1. Belova O. Connections in fiberings associated with the Grassman manifold and the space of centered planes // Journal of Mathematical Sciences, 2009. Vol. 162, № 5. P. 605—632.
2. Шевченко Ю. И. Связности, ассоциированные с распределением плоскостей в проективном пространстве. Калининград, 2009.
O. Belova
NORNAL GENERALIZED AFFINE CONNECTION ASSOCIATED WITH THE SPACE OF CENTERED PLANES
In projective space the space П of centered planes is considered. The normal affine connection, associated with the space П , is set in generalized fibering. Field of this affine connection object defines torsion and curvature objects. These objects are tensors, each of which contains three elementary and two simple subtensors. The canonical case of normal generalized affine connection is considered.
