CC BY
9
УДК 514.75
А. В. Кулешов
(Российский государственный университет им. И. Канта, Калининград)
ОБОБЩЕННЫЕ СВЯЗНОСТИ
НА КОМПЛЕКСЕ ЦЕНТРИРОВАННЫХ ПЛОСКОСТЕЙ В ПРОЕКТИВНОМ ПРОСТРАНСТВЕ
В работе рассматривается комплекс Кт{п т+Х) т-мер-ных центрированных плоскостей в проективном пространстве Рп. Показано, что его фундаментальный объект 1-го порядка состоит из двух псевдотензоров. На рассматриваемом комплексе способом Лумисте заданы: 1) обобщенная аффинная связность, 2) нормальная линейная связность, 3) обобщенная билинейная связность.
Ключевые слова: проективное пространство, центрированная плоскость, связность.
§ 1. Фундаментальный объект комплекса Кт(п_т+1)
Отнесем п-мерное проективное пространство Рп к подвижному реперу {Л,Л/ } (1^,К = 1,п) , инфинитезимальные перемещения которого определяются формулами
ёЛ = вЛ + ®1 Л1, ёЛ1 =вЛ1 ЛJ + а1Л. (1.1)
Структурные уравнения проективной группы ОР(п) запишем в виде:
Ба1 = а ла13 , (1.2)
ВаК =®К ла11 л(-511ЮК), (1.3)
Da¡ =af лск . (1.4)
В пространстве Pn рассмотрим m-мерную центрированную плоскость Lm = (Lm ,C) (1 < m < n) . Произведем специализацию
подвижного репера {A, Aa, Aa} (a,b,c = 1,m; a,p,y = m +1, n) ,
*
помещая вершину А в центр С плоскости Lm, а вершины Aa
Т*
— на плоскость Lm .
m
С учетом разбиения индексов уравнения (1.1) удобнее переписать в виде:
dA = 0A + caAa + caAa, (1.5)
dAa = dAa + 0)bAb + KAa + соaA, (1.6)
dAa=dAa+KAa +cf^A^+CaA . (1.7)
Из формул (1.5) и (1.6) следуют уравнения стационарности
*
плоскости Lm :
m
са = 0, са = Оса = 0.
Будем считать формы са, ®а базисными. Тогда формы са будут линейными комбинациями базисных форм:
са=Л0аса + . (1.8)
Это уравнения комплекса Km(n_m+1) (ср. [2]).
Найдем внешние дифференциалы базисных форм са, С :
Dca = съ лва +са лваь, Dea =cb лва лва , (1.9)
где
ва =СЪ +ЛС , eab =Л^сар ,
вара = Sapcb +Sbc'a -ЛаЬСа, вааЬ = -Льса .
Нам также понадобятся дифференциалы форм с а :
С
Dca =са лсаа+Лааса лса,+Лааасга лс'а . (1.10)
Продолжим систему уравнений (1.8). Для этого продифференцируем ее с учетом уравнений (1.9—1.10):
(ЛЛ? - Лаь Льаъь + ЛаЪЛра аь ) лаа +
Ь Ь Ь (1.11)
+ (ЛЛаа -№ъЖраЬг+ ЩЬЛараЬ)лаЬ-аа ла% = 0.
Полученные уравнения можно разрешить по лемме Картана двумя основными способами [1]:
1-й способ — путем вынесения аа из выражения
аа лааа :
(ЛлЛ - ЛЛааа + ЛаЬЛааь +аа) лаа +
(112)
+ (ЛЛааа - ЛаьЛ^аЬ + ЛЬЬЛа®Ь) л аЬ = 0. Разрешая данное равенство по лемме Картана, получим:
ЛЛаа - ЛЬЛраър +ЛаЬЛраь + ааа = ЛааЪаЬ +Л%а*, (1.13)
лЛ°а - ЛаъЛь;аЬь + Л^ха = л>ь + Л^Ч , (1.14)
-1-1-1 а а к аЬ а аса к ааЬ
причем пфаффовы производные Л Ь, Л а, Л а, Л^ удовлетворяют соотношениям:
д а _ г» а аЬ _ а аЬ а ааЬ _ а аЬа /л
[аЬ] 0, 1 уар~1уа, аь ~ ьа . (1.15)
В самом деле, подставляя (1.13) и (1.14) в (1.12), получим
ЛааЬаЬ лаа + Л*а! лаа + Л^ лар + Л0аЬа1 лаЬ = 0 ,
откуда с учетом линейной независимости базисных форм следуют равенства (1.15).
Уравнения (1.13) удобно переписать в виде:
ЛЛа-ЛЛааър + ЛЬ$Ж аЬ = Л« аЬ+ЛЬаЬ , (1.13')
где
лссЬ _ лаЪ яЪ яа ЛаЬ =ЛаЬ -даОр
2-й способ — путем вынесения а)" из выражения соа л ю" :
(АЛ" - Л"Лс + АаралРюа) люа + + (АЛ - ЛЛ7>ъг - Лав№Ъсъ -5аса) люаа = 0.
Разрешая по лемме Картана, получим
АЛ"-Л" люъ +Л"Ъ ЛЮ = Л>ъ +л% с; (1.15)
АЛ" -ЛаьЛгаЮу - Л7;Л°Ьть -5а"Юа = Лааъюъ + Л^Ю, (1.16)
111 \а \аЪ \аа а ааЪ
причем пфаффовы производные Л ъ, Л аа, Л ^, Л р7 удовлетворяют соотношениям (1.15).
Уравнения (1.16) удобно переписать в виде:
АЛ"-Л"Л7ю7 +Л7ЪЛ7юЪ = Л"ъаъ ^Л^а7, (1.16')
где
Лы каа. са с а
аъ =Лаъ +дадъ.
Замечание. Оба приведенных способа являются эквивалентными, то есть приводят к одним и тем же следствиям. Из полученных уравнений следует
Теорема 1.1. Совокупность функций Л = {Л", Л" } образует геометрический объект, состоящий из двух псевдотензоров [3].
Объект Л = {Л", Л" } называется фундаментальным объектом 1-го порядка комплекса Кт(п-т+Гу
§ 2. Расслоение, ассоциированное с комплексом
Из уравнений (1.2 — 1.4) следует, что с комплексом Кт(„-т+1) ассоциируется главное расслоение (К) со структурными уравнениями (1.9) и следующими:
Баа =асъ лаЧ +аа л\Ь +ас л(-5СаЬ), (2.1)
ааа
Ба^ = аЬ лаЬ + арлаР -аа л а а, (2.2)
Ваа = аГр л аа +аа л (-5рЛ(1аЬ - ЛЪа р ) +
а а I к/ /\| ^ р ь р/ 1
(2.3)
ь л а пла - Яа Л5а,
Баа =аЬ лаЬ + а% л а а, (2.4)
Ва а =а% л а а +арлаа. (2.5)
+ аа л (-5%ар - 5аьЛ^а5 - Лаар ) }Ь
'а
Базой главного расслоения (К) является комплекс Кт(п-т+1), а типовым слоем — 5 -членная подгруппа стационарности 0!1 (5 = п(п +1) - т(п - т)) плоскости Ёт . Число 5
равно количеству форм аЬ, аар ,а^,аа,аа . Структурные
уравнения этой подгруппы получаются из (2.1—2.5) обращением в нуль базисных форм и имеют вид:
тл —.а с Л „а ТЛ—а Ъ л „а . л _а
ПЖь =Жь лЖс , ОП а = Ж%лЖь + ЖаЛЖр,
Вжр = крлж;, Вжа = Ж1 ЛЖь ,
ВЖа=ЖрР лЖр+жь лЖа ,
где Ж = а\а=0 < =0.
§ 3. Обобщенная аффинная связность
Лемма 3.1. Пусть а~1 =а1 -0Ь а~2 =а2 -02. Тогда
а1 ла2 =а1 ла2 +а1 л02 +в1 ла2 -в1 лв2. Доказательство. Из условия имеем:
а л а = (а1 - 01) л (ю2 -02) = = а л а - а л02 -о1 ла2 +о1 л02. Отсюда получаем искомое равенство.
Зададим обобщенную аффинную связность [4] приемом Лумисте с помощью форм:
Ю = ю - съ ю - С" юъ , Юъ = 0ъ -1 ъс ю -1" Юс. (3.1)
Найдем внешние дифференциалы этих форм. Используя уравнения (1.9, 2.1), получим:
В~а = ю ъ л ю; + ю ъ л Лю" + юа л Лаъю" - ,С; л ю ъ -- С; (юс люъ +юс лЛС юъа +юа лЛаасюъа ) - ,С;ъ люъ - (3.2)
-саъщюс -дъсю" +Лаасюъ)люЦ +Лъюа люс),
Вю; =юсъ Лю; +юы Лю; + (д;юс + д;юъ) люс --йгс люс -г;с(юл люсй + юй лЛ"юса + ю а л Л"ю" ) -- сгг" л ю" - гас ((дааюйс - д, ю " +л"юс) люа+Люс лю,).
По лемме 3.1 имеем:
ю л юъ = 0 л (Оъ +ю л (1 ъсю +1 ъаюс ) +
+(съюс + с?ю:) л Ю; - сю + сь:юас) л (гю+го юсь лю; = ¿~ъс л+ юсь л(ГЮй + гса*юай) + (г^у + г^ю,)лю; -
- (г>ё + гю) л (гю+гаю).
Подставляя эти выражения в формулы (3.2) для внешних дифференциалов Вюа и Вю;, получим:
вюа = юъ лю; +юъ л ( ас; +Лаъ ю; - с ;с л юс - с; л юса)+
^аъ + Лъ ю а - Са Лаъюс + Сас Лаъ,
+ю" л(Ас;ъ + л°юар -с;Люса + саасл°юс)+ + (юъ -съюс -съсю?)л(гъасюс +1^), вю; = юс лю; - (гю +г"юЧ) л (гю +гс*ю! )+
+юс л (Агс - г; Л юйа +г" л юа-д;юс-д;юъ) + (3.3) + ю° л(АГъас -г;Лаасюа +гаЛ^ю, -д'ю;).
Исходя из полученных уравнений, применим теорему Картана — Лаптева в обобщенном случае, а именно зададим поле объекта C = Ca, C ab, Гас, Г™ } уравнениями
ACab + Л.wZ - СаасЛаь ®c - СсаЛаь wca = Cabcvc + Саьса^С , АСааь +Л$аар -CZ^tp + Ca^ppwc = CZbtc + CcJpcwp,
л Г^с j—<а л а__d , j—'ad л а__ ос__ ос__ т—'с __d , j—'ad__а
Al ь - Г ь,Л w + Гь Л w, — о. w -о со, = l b w +1 ь со j ,
bc bd с а bа с d b с с b bcd bcа d '
АГас - Га Лрс wd + radЛрс w -0cwa = Гас wd + racdwp
Ш bа 1 Ьйуа COp +1 bp /а COd Oba>а -1 bа^ш +1 bpd .
Подставляя эти дифференциальные уравнения в структурные уравнения (3.3), получим:
Dwа = wb л WZ + QC л W + QZC л сас + Qapwab л wf, DWZ = Wb л WZ + Raw лс" + RlW л wd + RCfw" л wf, (3 4)
где
■Jb с ^ аш '^^d^^b арш с '
Qbc = C[bc] + (°[b - C[ b )Гйс],
rbca=Caca - Cac + (О - Cd C «Гъ,
0аЬс _ ра Г Ьс рйУ с раЬ
ар = С _ ар_| - С _ ар йр _ ,
па = ра - рк ра лЬсй ~ 1 Ь[сй] 1 Ь[с кй]'
пай = рай - рай - рк рай + ркй ра Ьс а ~ Ьс а Ь ас Ьс к а Ь а кс' сй сй к с й
КЬ ар = р Ь _ ар _- р Ь _ ар кр _ .
Квадратные скобки обозначают альтернирование по крайним индексам или парам индексов в них.
Утверждение. Система величин С = Сь , СЬЬ , ГЬЬс, рЬс } задает связность, называемую обобщенной аффинной связностью, причем формы (3.1) этой связности удовлетворяют структурным уравнениям (3.4). Объект С образует геометрический объект лишь вместе с фундаментальным объектом Л комплекса Кт(п-т+1) .
§ 4. Нормальная линейная связность
Зададим нормальную линейную связность приемом Луми-сте с помощью форм
ю'в = ю" -ГЫюъ-гв"7ю7 . (4.1)
Найдем внешние дифференциалы этих форм, используя уравнения (2.3):
Вю" =юТр лю" +юа л(йГ" -дсрЛаю7 -Л"юа +
+г7Люь -гю -г^лью")+
+ ю7 л (йГы - даюа - да"Л^ю5 - Л7аюа -
г^а л" ъ , 7-,aЬЛ1 а гаа„д ± г^аа лдст ) -1 аъЛ7 юа +1 в7юъ -1 адю7 +1 адЛ7 юъ).
(4.2)
а^ 7 ша а7 ъ 1 ад ^ ад 7ш ъ По лемме 3.1 имеем:
юГр лю" = ~Гр + (Г^ю +г7дюд)лю" + + юа л(" + ГыюЪ )-(гю +г*5ю5ъ)л(гaaюc + ГгТюС).
Подставим результат в уравнения (4.2):
Вю" = югр лю" +юа л(АГра -дааЛгаю7 -Лаюа + + Г^Л.юъ -Г""") + ю7 л(АГы -да}юар -
-да"Лд7юд-Л'аюа -гыЛЮР +гд/дюь)-
-(ГРъЮъ +ГР5Ю5Ъ )л(ГЫюс + ГЫсюС ).
(4.3)
аъш ^ * адшъ/'м ± 7сш ^ ± 7С
Исходя из этих уравнений, применим теорему Картана — Лаптева в случае главного расслоения нормальных линей-
Г с т^аа
^ ^ хх^х^хххх^. ^^^ ^ аа и 1 а7 удовлетворяют
уравнениям
р-з;л:аг-л: с*р +г;ьгл:аьрл юЪа =г;аЪтъ +пЫ АГ™ -8?С-5арЛ^с5-ЛЬаср -ГЪ4ааЬр +
i р аа л8с т _ р аа ГЛЬ , р ааЬ т 8
+ 1 8 ь 01Ь ~ 1 ьъ Р8 ъ ■
Подставляя их в структурные уравнения (4.4), получим
а ~ ь ~ а , п а Ъ с , п ас Ъ ь , п аЪс ь 8
Dap=a7pAcb+ ЯрЪсс лю + Я^ю лю7с + ЯРь8югЪ люс
(4.4)
где
па _ ра _ рь ра РЪс ~ р[Ъс] 1 Р[Ъ1 ьс]'
п ас _ г ас - р8 р ас + р8с р а - р ас
лрЪь ~ РЪь РЪ1 8ь Рь 8Ъ РьЪ' п аЪс _ ра I Ъс I , pe I Ъ ра с I *^Рь8 ~ 1 р\_ь8\ PW1 £ 8 J
Утверждение. Объект р_ {рра, } задает связность, называемую нормальной линейной связностью, причем формы (4.1) этой связности удовлетворяют структурным уравнениям (4.5).
§ 5. Обобщенная билинейная связность
Зададим обобщенную билинейную связность приемом Лу-мисте с помощью форм плоскостной и нормальной линейных
связностей С и со? , определяемых равенствами (3.12) и (4.1), а также форм
С -С^ю" -С$юР. (5.1)
Найдем внешние дифференциалы форм ю? :
D&: _ С л С + юР л С + юР л (С + +Саю -саюь + с:;лръюс-л?юа -с;сл?а;) + (5.2)
+с л (de? - люа - сю - салРюР+с%^юс у
По лемме 3.1 имеем:
О л® = &Ь лзъ + 0 А(Съсос + Саъус) +
+(Гьасос +гьсс) л - (Гьасос +Гьсс) л С®* + Съ^),
ол л = яцл&ъ + (сс $ + сс ®а)л + (5 3)
л (Гаръоа + Г^ушуь) - (сс^г + с с соь ) л (Г® +ъ5с). Подставим (5.3) в (5.2):
Бз: = зЬа л3аь + 3 С л 3 С + (-ГЛС1 - ССЬГ%)®Ь л о с +
/ /--¡С у-'Ъс ос а г^ус г-< а ^ а Т"1* С ас оа г-» Ь \ Ь Л \
+( -СаЬГ Л -СаГ РЬ + СаСГ уЬ + Г аЛС*Ь -Г аЬС*Л+Ср1 асл сс +
. / сЬ г^ас г^СЬ г^ас г-чЗЬас А ^у .
+(Са Г Ру - СарГ Су -Г арС*у )оЬ л С с +
+сР л ( ЛСар + Гр о а + С^лус с с - л;с с а - С а ЛУ с у ) + +оЬ л (ЛСЪь + гс - ЛЛс - СОлЛор + Сасрлрсс).
тт /"»а г^ъь
Пусть величины СаЪ , Сар удовлетворяют сравнениям
ЛСЪЬ + СоулЬ® -л£оа -СЪЛ® - о, лсъ -ла® - сОЛЛ® + СалрлЛсс - о.
Тогда из обобщенной теоремы Картана — Лаптева следует
Утверждение. Объект {Г£с, Гас, Г, сЪф , Съь } задает обобщенную билинейную связность.
Список литературы
1. Белова О. О. Тензор кривизны связности в расслоении над грассманоподобным многообразием центрированных плоскостей // Диф. геом. многообр. фигур. Вып. 40. Калининград, 2009. С. 18—28.
2. Близникас В. И. Некоторые вопросы геометрии гиперкомплексов прямых // Тр. геом. семинара. ВИНИТИ. М., 1974. Т. 6. С. 113—133.
3. Шевченко Ю. И. Оснащения центропроективных многообразий. Калининград, 2000.
4. Шевченко Ю. И. Связности, ассоциированные с распределением плоскостей в проективном пространстве. Калининград, 2009.
A. Kuleshov
GENERALIZED CONNECTIONS ON THE COMPLEX OF CENTERED PLANES IN PROJECTIVE SPACE
Complex of centered planes in projective space is investigated. It is shown, that its fundamental object of the 1st order is pseudotensor. On this complex the following connections are given: 1) generalized affine connection, 2) normal affine connection, 3) generalized bilinear connection.
УДК 574.76
В. С. Малаховский
(Российский государственный университет им. И. Канта, Калининград)
ОБ ОСОБЕННОСТЯХ ПРИМЕНЕНИЯ КОВАРИАНТНОГО ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЯ К ОБОБЩЕННЫМ СИМВОЛАМ КРОНЕКЕРА
Показано, что ковариантные дифференциалы символов Кронекера 8^,83 ,8р (1,3,К = 1,п; /,}, к = 1,т;
а , р, у = т +1, п) — тождественные нули, а ковариант-ное дифференцирование безындексных нулей, рассматриваемых как объекты За ,8'а, не имеет смысла. Использование такого дифференцирования приводит к некорректным результатам.
Ключевые слова: дифференциал, обобщенные символы Кронекера, распределение, линейный элемент, аффинная связность.
В работах [1—3] обобщенные символы Кронекера 8'3, 83 используются при исследовании аффинной связности А.В. Столярова [4], ассоциированной с распределением плоскостей.
