CC BY
20
Список литературы
1. Васильев А. Н. Maple 8. М.; СПб.; Киев. 2003
2. Чешкова. М. А. О листе Мебиуса // Вестник Барнаульского гос. пед. университета. 2006. Вып. 6. С. 83—86.
M. Cheshkova TO GEOMETRIES OF KLEIN BOTTLE
In Euclidean space is studied Klein bottle. In the process of study system computer mathematics Maple is used.
УДК 514.76
Ю. И. Шевченко
(Балтийский федеральный университет им. И. Канта, г. Калининград)
ОБОБЩЕННАЯ СВЯЗНОСТЬ КАРТАНА
Введено понятие главного расслоения с полуприкле иванием к базе. Прием Лумисте задания фундаментально-групповой связности в главном расслоении распространен на полуприклеенное главное расслоение. Это привело к обобщению связности Картана. Найдены дифференциальные уравнения объекта этой связности, структурные уравнения форм связности и выражения компонент объекта кривизны-кручения. Определен тензор невырожденности, обращение которого в нуль превращает обобщенную связность в фундаментально-групповую связность. Доказано, что объект кривизны-кручения обобщенной связности Картана образует геометрический объект вместе с тензором невырожденности.
Ключевые слова: фундаментально-групповая связность, приклеивание, связность Картана, объект кривизны-кручения.
§ 1. Главное расслоение с полуприклеиванием к базе
Рассмотрим главное расслоение Ом(Бд) со структурными уравнениями Лаптева [1, с. 51]:
Вт1 =ю7 л ю- ; (1)
Б6л = САс6Б л6е +С л0? , (2)
где индексы I, ... принимают N значений, а индексы А,... — М значений. Уравнения (1) являются структурными уравнениями Д-мерного гладкого многообразия Бд — базы главного расслоения Ом(Бд). Вполне интегрируемая система уравнений
ю1 = 0 фиксирует точку базы БN, тогда уравнения (2) упрощаются:
Бвл = СЛе6Б л 6е (6л =6л\ , ). (3)
I®1 =0
Это структурные уравнения М-членной группы Ли Ом — типового слоя расслоения Ом(Бд).
Постоянные СБл!е удовлетворяют условию антисимметрии
С Л г^Л
БС = —СеБ, которое соответствует антисимметричности внешнего произведения линейных форм. Внешнее дифференцирование уравнений (3) приводит к тождествам Якоби
ел еБ I ел еБ л. ел сб = о сбссэе + сббсес + сбессэ = 0 .
При перестановке множителей и использовании их антисимметрии получаются другие формы тождеств Якоби.
Продолжения структурных уравнений (1; 2) имеют вид [1, с. 52]:
Бю- = а1} люК + юк л ю^, ю^ л® люк = 0,ю®Ж] = 0; (4) Ббл = 6Б л — л ю- +ю7 л б£ , (5)
= 2САсвс, вА ла1 ла: = 0, = 0 , (6)
где символ = означает сравнение по модулю базисных форм
а1.
Предположим, что индексы А, 1 принимают пересекающиеся множества значений, тогда каждый из этих индексов можно разбить на два следующим образом:
А = (а,а), 1 = (а,г); а,... = 1,г; а,... = г + 1,г + т (г + т = М );
г,... = М + 1,М + п (т + п = Ы) . Системы уравнений (1) и (2) разбиваются на подсистемы
Ва1 =а л а + аа ла'а ; (7)
Баа=аг лар+аалар; (8)
Вва = Саввв л ву + 2С в вв л ва + Салва л въ +
в (9)
+аг л ва + тр л вав;
Вва = СаЬсвъ лвс + 2СаЪавъ лва + Саарва лва + а1 л в^. (10)
Пусть выполняются тождества
аа=ва. (11)
Они вызывают совпадение структурных уравнений (8) и (9), что возможно лишь в случае
СОъ = 0, (12)
т. е. в группе ОМ есть подгруппа 0г со структурными формами
ва =ва\ . Назовем (11) условиями полуприклеивания ну-
I®1 =0
левого порядка. В случае (12) уравнения (9) принимают вид
Бва =аг лвр +аа лвр+ва л(Сарувг + 2Сарава) . (13)
Сопоставление структурных уравнений (8) и (13) при тождествах (11) дает условия
ар = вр, аар=вар+ Сарувг + 2Сарава , (14)
которые вместе с (11) назовем условиями полуприклеивания 1-го порядка.
Определение. Главное расслоение 0Г+т(Бт+п) со структурными уравнениями (7—10) назовем расслоением с полуприклеиванием к базе, или полуприклеенным расслоением, и обозначим Сг+[т](Бт+ п), если группа Ли Ог+т содержит подгруппу ог, т. е. выполняются равенства (12), и справедливы условия: нулевого порядка (11), первого порядка (11, 14) и т. д.
Замечания
1. В обозначении полуприклеенного расслоения Gr+[m](Бm+n) буква т вырезана квадратными скобками, так как каждый слой 0Г+т имеет с базой Бт+п т-мерное пересечение.
2. Под структурными уравнениями главного расслоения Ог+[т](Бт+п) с полуприклеиванием к базе Бт+п будем понимать уравнения (1, 9, 10) при условиях (11, 12, 14, ...). Если опустить уравнения (9), то останутся уравнения (1, 10) — структурные уравнения главного подрасслоения Gr(Bm+n), что позволяет называть Сг+[т](Бт+п) обобщенным главным расслоением [2].
3. Если в системе уравнений (1, 9, 10) при условиях (11, 12, 14,...) опустить уравнения (8), то останутся уравнения (7, 9, 10) — подробно записанные структурные уравнения многообразия элементов Лаптева [3, с. 317]. Особый случай многообразия Лаптева — однородное расслоение [4, с. 441], точнее главное расслоение, типовым слоем которого является группа 0Г+т с заданной подгруппой Gг.
4. Полуприклеенное расслоение 0Г+[т](Бт+г) при г =0 есть многообразие Бт+п, при т = 0 — главное расслоение GГ(Бn) (что также оправдывает для GГ+[m](Бm+n) название обобщенного главного расслоения), при п = 0 — главное расслоение ^Г+[т](Бт) с приклеиванием к базе [1, с. 110; 5, 6].
5. Главные расслоения с полуприклеиваниями возникают в дифференциальной геометрии многообразий пар инцидентных линейных фигур, например семейств центрированных плоскостей [7—10].
§ 2. Связность в полуприклеенном главном расслоении
Применим прием Лумисте [11] задания фундаментально-групповых связностей в главных расслоениях к расслоению с
полуприклеиванием. Преобразуем базисно-слоевые формы ва и слоевые формы ва с помощью линейных комбинаций базисных форм а 1 :
ва=ва-Г1аа1, ва =ва-г;®1 . (15)
Дифференцируем эти формы внешним образом:
Вва = 2Саава лва + Сагаа лаг + а1 л (йГ* - Гра'1 +вр ) ,
Вв а = СаЪсвь лвс + 2С'а>ав лва + Сааааа л аа + (16) + а1 л (йГ° - г® + ва ). Внесем преобразованные формы (15) в слагаемые, содержащие слоевые формы ва , затем осуществим частичный возврат к исходным формам:
2С;авв л ва = 2С;а (вв л ва + Г^т1 л ва + + вв л Г°т; - Гвт1 л г;т;), СаЬсвъ л вс + 2СаЬавъ л ва = = СаЪс (въ л вс + Гът1 л вс + въ л Г;т; - Г1ът1 л Г;т;) + +2Съаа (въ л ва + Г/т1 л ва + въ л Гат; - Г1ът1 л Гат;). Подставим эти выражения в формулы (16): Вва = 2Срав а лва +а1 л(АГ* +вр) + + (С^З + 2СраЫ1аГ;а)а1 ла;, Вва = СаЪсвЬ Лвс + 2Саавъ л в а +а1 л (АГ1а + ГаЗаа +
+ва)+(СОа^за -Сагъг;+2Са*гъы;а л а,
где
да = 6?—Г?, (18)
а тензорный оператор А действует следующим образом:
ЛГ? = йГ? — Г?ю- + ГЗТр , ЛГ" = йГ* — гю + Г^З";
% = 2с?а6а, % = 2еаЪс6с, З = 2сааЬ6ъ. (19)
Распространяя теорему Картана — Лаптева [1, с. 63, 82] на полуприклеенное главное расслоение, зададим поле объекта обобщенной связности Г = {Г?, Г1а} на базе Бт+п:
ЛГ? + 6" = Г-ю7, ЛГ а + Г?Заа + 6" =Гю . (20)
Тогда уравнения (17) примут вид
у.
,ю лю
Б6а = 2С36р л6а + В-ю1 лю7,
^ ¡а
в6а = еаЬсеЪ л6с + 2саеъ л6а+ ваю лю7
(21)
где компоненты объекта кривизны-кручения В = {В-, Вц } выражаются по формулам
ваа=г—+с%б? 6$+2саадГ, (22) ва = г— + сазба 6З—съгьг+-].
Теорема 1. Обобщенная связность в главном расслоении с полуприклеиванием 0Г+[т](Бт+п) задается полем объекта Г, компоненты которого удовлетворяют дифференциальным уравнениям (20). Объект обобщенной связности Г определяет формы связности (15), удовлетворяющие структурным уравнениям (21), в которые входят компоненты объекта кривизны-кручения В, выражающиеся по формулам (22).
Замечания
6. В главных полуприклеенных расслоениях аффинных и проективных реперов теорема Картана — Лаптева использовалась для задания обобщенных аффинных и проективных связ-ностей [7—10, 12—16].
7. Уравнения (1, 21) обобщают структурные уравнения для форм связности Картана [6], поэтому рассматриваемую связность можно называть обобщенной связностью Картана.
§ 3. Продолжение объекта связности
Предварительно найдем структурные уравнения для форм 3рр,&а, %,в?,ва , входящих в дифференциальные уравнения (20) компонент объекта связности Г. Дифференцируем формы 3* (19!)
В3р= 2СраСаЬсвЪ лвс +а1 л 31, (23)
за=2Сара&а, ©а=ва+з[(з;+Сав). (24)
Преобразуем внешнее произведение
3р л 3* = 4СрСЬва лвъ = 2СраСЬва лвъ +
+ 2СРъСРавъ лва=-2(СРра СРр + СРрСаг )ва Л въ. Запишем часть тождеств Якоби в виде
а . а . ^ а _г\
СаЪСрС + СЪрСаС + С рСЪС = 0 .
Используя равенства (12), получим
Сс Са + СР Са + СР Са = 0
ъ рс ър р р ър
Учтем эти тождества в выражении (25):
3рл3ау= 2СслСрсвалвъ.
Замена индексов а ^ Ъ ^ с ^ а дает первое слагаемое в формуле (23), поэтому
В3р =3рл3аг +а1 л3р . (26)
Аналогично получим
В3а = 3 л 3а +а л 3аы, 3аы = 2С© . (27)
(25)
Дифференцируем формы Заа (193)
DЗаа = 2CabCbcdec лв + a¡ лЗ^З^ = 2Сал&Ь . (28) Преобразуем сумму внешних произведений
Зв лЗ; + Зьа л за = 4( C ЦъС% + CdbCadc)eb лвс = = 2(С^С% + CdaCadc)eb лв + 2(CpaC%> + С dcCdb)вс лвь =
= 2(CÍC% + C dbCdc + CiC% + CdcaCdb )ва л вс. (29) Воспользуемся следующей частью тождеств Якоби:
fD а . fD а . f D f а _ г\
CabCDc + CbcCDa + CcaCDb = 0 .
Запишем их подробнее и учтем равенства (12):
3 fia ./-^d/^а ./-^d/^а . ¡ /^а . /^d /^а _
CabC¡c CabCdc CbcCda + CcaC¡3b + CcaCdb ~ 0 .
Выразим крайние слагаемые через среднее, подставим в выражение (29), преобразуем и получим первое слагаемое формулы (281). Значит,
D31 = З3лЗ3+Зъа л за + aJ лза . (30)
Уравнения (5) в более подробной записи с учетом равенств (12) принимают вид:
Dвf = в3 л 3a -в? л aj + aJ л в",
Dвa = в f л Заа + в л 3^ - ва л aj + a л ваи; вJ =вj + 25/^/- C аЦ), ва =ва + 25f (С^вв - СовЬ).
(31)
(32)
'и ~ ^и 1 ^^Л ар^1 ^Ъа"I
С помощью структурных уравнений (41, 26, 27, 30, 31) продолжим дифференциальные уравнения (20). Дифференцируем их внешним образом, выносим базисные формы, разрешаем по лемме Картана и записываем результат в виде сравнений
лги —га юК +Грзащ +6и = 0, лги —гКюК +гЬзаи +гизаа+г1азаи +607 = 0.
Альтернируем эти сравнения по индексам I, I с учетом сравнений (43, 63) и обозначений (24, 272, 282, 32)
АГ[аи] + 2СраГ[р1(ва] +3р]3а7) + 28^^ - Саарва]) = 0,
лгыЩ + 2СасГ?1(всл+^3са)+гри]3а + (33)
+ 2СаоЬГр в + 513 ) + 28^ (Савр - С1авъ1] ) = 0.
§ 4. Структурные постоянные, обобщенный символ Кронекера и тензор невырожденности
Лемма 1. Структурные уравнения С^с образуют абсолютный тензор:
ACAc = 0 . (34)
Действительно, запишем уравнения (34) подробнее
dCBC + CBCQD _ CDCQB _ CBDQC = 0 . (35)
Поскольку CBc = const, имеем dCBC = 0 . Подставим также выражения (6i) форм Q B
2(CD CA _ CA CD _ CA CD \Qe = 0
' BC DE DC BE BD CE '
что справедливо в силу тождеств Якоби.
Формы 3^,3^, (19) дополним нулевыми формами
Зр = 2Срьвь = 0 , тогда Q^ = 2CBSaea + 3^ . Подставим эти выражения в уравнения (35):
dCA + CD QA _ С A QD _ С A QD = U^-BC ^^BC^D DC B BD С ~
_ /-iD \f^A /-iD fDfA \nd
= 2'CBDCCa+ CDCCBa_ CBCCDa■
В силу части тождеств Якоби получаем
dCBC + CBC 3D _ CDC 3B _ CBD 3C = 0 (36)
Запишем часть уравнений (36) для индексов а, в, у в подробном виде, используем равенства (12) и тензорный оператор А:
АСрр- С3 - Сара3р = 0. (37)
Аналогично для индексов а, в, а; а, Ъ, с; а, Ъ, а; а, а, в уравнения (36) дают
ACapa = 0, ACabc = 0, ACaba _ CQ + Cbpa3ap = 0,
пЪ пЪ (-<у Qa _ п
ACар _ CаЪ3р _ СЪр3а + Сар3/ = 0■
(38)
Лемма 2. Тензор С^с содержит четыре абсолютных подтензора: два простейших [17] Сара, СОс и два простых [17]
а а 1 /Г^а г^ а a i {С Р/ , Срг/ , {СЪ а , С Pa, СЪс } ■
''Pa* Ъс
- Р/ , С pa } , { СЪ а , С Pa, СЪс}
Лемма 3. Символ Кронекера Sp является абсолютным тензором:
AS J = 0 .
В самом деле, раскроем действие оператора А:
dSj _ SJKaf +Sf®K = 0 . (39)
Учтем, что 5J = const, и осуществим свертки:
0 _ ар + ар = 0 .
Возьмем часть уравнений (39) при J=а
1 с а с а К . ?р а . Ы а л
ао1 -оКю1 +о[С0р+д1а{ = 0 .
Воспользуемся условиями полуприклеивания (14) и обозначением (191)
а8р - 8РсС + Ор(вр + Срувр +3р ) + 8,1вр = 0 . Раскроем скобки и используем тензорный оператор А:
А8р + 8рвр + ОрСрв + 8\вр = 0 .
Объедим два слагаемых в одно и перенесем слагаемое с формами 6$ вправо:
Л6а +6-6- =—бЗса$г6г.
Осуществим свертку с символом Кронекера и используем условие полуприклеивания (11):
лба + 6? = б-ю, 6- = —сааг6?б$. (40)
Лемма 4. Компоненты обобщенного символа Кронекера 6" удовлетворяют дифференциальным уравнениям (40!), т. е. 66 является квазитензором, присоединенным к главному полуприклеенному расслоению Сг+[т](Бт+ п), причем его поле на базе Бт+п характеризуется постоянными пфаффовыми производными 66- (402), которые антисимметричны по нижним индексам.
В силу дифференциальных уравнений (201, 401) величины Да (18) удовлетворяют сравнениям
АД" = 0 , (41)
т. е. образуют тензор, который назовем тензором невырожденности обобщенной связности Картана. Если тензор невырожденности обращается в нуль:
Д" = 0 =6а »6а =6а —6/ ю1 =6а —юа = 0,
то исчезают формы 6 , а объект обобщенной связности Г = {6а, Г" } сводится к объекту фундаментально-групповой связности Г1а в главном расслоении ОГ(Бт+п).
§ 5. Объект кривизны-кручения обобщенной связности
С помощью дифференциальных соотношений (20, 33, 37, 38, 401, 41) найдем сравнения для компонент (22) объекта кривизны-кручения В:
ЛАЯ— + 2саага1(6а] +6$]3$) + 26а7сааа6а1] — — (саЯав + с -3] )6]6$ + 2с ада, (Г/3] +6°) - 0,
Ааи + 2^613 + 2сааьга(6)] + 6-3-) —
1Я а Г* а пЬ . / г^] па пЬ пЬ \ о] Г* а у а у с пЬ
— 26[7сЬа61] + \са]3] — с аЬ3] — сЬ]3а )°1 67 — сЬс1 1 3а —
— сЬСГ—с + 2(сЗаза — сьсхГ^ +
+ 2са( гЗа +661Д] - 0. Подставим выражение (18) тензора невырожденности Д" :
ли + 2с1а( 16$]] + 6 ¡¡г/] —г Г — 616$] )3] - 0, я+¡г— + са]Г6?6$+2сааагЬ16 — га )]заа + + 2^(663] —га6а] —61 +111)31 - 0.
Воспользуемся формулами (221, 18)
ЛЯ— — 2с%Д а1Д]]3] - 0,
АЯаи + Яаи3аа + 2саааДа[1Д]]3Ъа - 0. Теорема 2. Объект кривизны-кручения Я и объект кручения Я— обобщенной связности Картана образуют геометрические объекты в совокупности с тензором невырожденности Д—.
Вывод. В общем случае (с] Ф 0, саа Ф 0) нужно говорить о расширенном объекте кривизны-кручения {Я, Д"} и расширенном объекте кручения {Я—, Д" } .
Список литературы
1. Евтушик Л. Е., Лумисте Ю. Г., Остиану Н. М., Широков А. П. Дифференциально-геометрические структуры на многообразиях // Проблемы геометрии / ВИНИТИ. М., 1979. Т. 9.
2. Шевченко Ю. И. Общая фундаментально-групповая связность с точки зрения расслоений // Диф. геом. многообр. фигур. Вып. 21. Калининград, 1990. С. 100—105.
3. Лаптев Г. Ф. Дифференциальная геометрия погруженных многообразий // Тр. Моск. матем. о-ва. 1953. Т. 2. С. 275—382.
4. Лумисте Ю. Г. Связность в однородных расслоениях // Матем. сб. 1966. Т. 69. № 3. С. 434—469.
5. Лумисте Ю. Г. Связность на многообразии // Матем. энциклопедия. М., 1984. Т. 4. С. 1092—1094.
6. Евтушик Л. Е. Связности Картана и геометрия пространств Ка-вагути, полученные методом подвижного репера // Современная математика и ее приложения / ВИНИТИ. М., 2002. Т. 30. С. 171—204.
7. Белова О. О. Плоскостная обобщенная аффинная связность, ассоциированная с пространством центрированных плоскостей // Геом. многообр. и ее приложения: матер. науч. конф. с междунар. участием. Улан-Удэ, 2010. С. 8—13.
8. Кулешов А. В. Обобщенные связности на комплексе центрированных плоскостей в проективном пространстве // Диф. геом. многообр. фигур. Вып. 41. Калининград, 2010. С. 75—85.
9. Шевченко Ю. И. Проективная связность Лаптева—Остиану, ассоциированная с распределением плоскостей // Там же. С. 150—165.
10. Шевченко Ю. И. Связности, ассоциированные с распределением плоскостей в проективном пространстве. Калининград, 2009.
11. Шевченко Ю. И. Приемы Лаптева и Лумисте задания связности в главном расслоении // Диф. геом. многообр. фигур. Вып. 37. Калининград, 2006. С. 179—187.
12. Лаптев Г. Ф., Остиану Н. М. Распределения т-мерных линейных элементов в пространстве проективной связности. I // Тр. геом. семинара /ВИНИТИ. М., 1971. Т. 3. С. 49—93.
13. Столяров А. В. Проективно-дифференциальная геометрия регулярного гиперполосного распределения т-мерных линейных элементов // Проблемы геометрии /ВИНИТИ. М., 1975. Т. 7. С. 117—151.
14. Поляков Н. Д. Метрические связности на почти контактном многообразии / Деп. в ВИНИТИ. М., 1976. № 3202—76.
15. Ивлев Е. Т. Структуры почти произведения на базах проективных расслоений / Деп. в ВИНИТИ. Томск, 1986. № 2248-В.
16. Соколовская С. И. Реализация связностей с различными размерностями базы и слоя на оснащенных подмногообразиях проективного пространства: дис. ... канд. физ.-мат. наук. М., 2002.
17. Шевченко Ю. И. Оснащения центропроективных многообразий. Калининград, 2000.
Yu. Shevchenko GENERALIZED CARTAN CONNECTION
The notion of a principal bundle with semi-solder to base is introduced. Lumiste's reception of the giving fundamental-group connection on the principal bundle is distributed at semi-solder principal bundle. It is led to a generalization of the Cartan's connection. Differential equations of this connection object, structure equations for the connection forms and expressions for the object curvature-torsion components are found. Nonsingular tensor whose vanishing makes a generalized connection in a fundamental-group connection is defined. It is proved, that the curvature-torsion object of generalized Cartan's connection forms a geometric object with nonsingular tensor.
