CC BY
37
ИЗВЕСТИЯ
IZVESTIA
ПЕНЗЕНСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО ПЕДАГОГИЧЕСКОГО УНИВЕРСИТЕТА имени В. Г. БЕЛИНСКОГО
PENZENSKOGO GOSUDARSTVENNOGO
PEDAGOGICHESKOGO UNIVERSITETA
IMENI V.G. BELINSKOGO
ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ НАУКИ №26 2011
ИМ. В. Г. БЕЛИНСКОГО
ПГПУ
PHYSICAL AND MATHEMATICAL SCIENCES
№26 2011
УДК: 514.76
Шевченко Ю. И. — Обобщенная фундаментально-групповая связность // Известия ПГПУ им. В. Г. Белинского. 2011. № 26. С. 304—310. — Рассмотрено обобщенное главное расслоение, иначе говоря,главное расслоение с полуприклеиванием к базе. Прием Лумисте задания фундаментальногрупповой связности в главном расслоении применен к обобщенному расслоению. Это привело к обобщению фундаментально-групповой связности. Найдены дифференциальные уравнения объекта обобщенной связности, структурные уравнения форм связности и выражения компонент объекта кручения-кривизны. Определен тензор невырожденности, обращение которого в нуль превращает обобщенную связность в фундаментально-групповую связность. Доказано, что объект кривизны-кручения обобщенной связности образует геометрический объект лишь вместе с тензором невырожденности. Показано, что в нормальном случае расширенный объект кручения распадается на тензор кручения и тензор невырожденности, а в редуктивном случае расширенный объект кривизны-кручения состоит из тензоров кривизны, кручения и невырожденности.
Ключевые слова: фундаментально-групповая связность, приклеивание, объект кривизны-кручения.
Shevchenko Yu. I. — Generalized fundamental-group connection // Izv. Penz. gos. pedagog. univ.
im.i V. G. Belinskogo. 2011. № 26. P. 304—310. — Generalized principal bundle (principal bundle with semi-solder to base) is considered. Lumiste’s reception of fundamental-group connection on the principal bundle is applied to generalized bundle. It is led to a generalization of the fundamental-group connection. Differential equations of the generalized connection object, structural equations of the connection forms and expressions of the object torsion-curvature components are found. Nonsingularity tensor whose vanishing turns a generalized connection into a fundamental-group connection is defined. It is proved, that the object of the curvature-torsion of generalized connection forms a geometric object only with nonsingular tensor. It is shown, that in normal case enlargemental torsion object decays to the torsion tensor and nonsingular tensor, in reduction case enlargemental curvature-torsion object consists from the curvature, torsion and nonsingular tensors.
Keywords: fundamental-group connection, solder, curvature-torsion object.
1. Главное полуприклеенное расслоение.
Рассмотрим главное расслоение Gm (Bn ) со структурными уравнениями Лаптева [2]
Duj1 = U!J A uJ,
(1)
ВвА = ОАсвВ Л вС + и1 Л вА, (2)
где индексы I,... принимают N значений, а индексы А,... — М значений. Уравнения (1) являются структурными уравнениями N -мерного гладкого многообразия ВN — базы главного расслоения Ом (Вм). Постоянные САс М— членной группы Ли Ом, служащей типовым слоем главного расслоения Ом(Вм), удовлетворяют условиям антисимметрии САс = —САб и тождествам Якоби
/~чА г^В I А /'уБ I А /~1 В ______
СВС С ВЕ + СВВ С ЕС + СВЕ ССВ = 0
Продолжения структурных уравнений (1,2) имеют вид [2]
Ви33 = ищ Л иЩ + ик Л и3]к, : и3]к Л и3 Л ик = 0, : и33К] = 0; (3)
ВвА = вВ Л ПВ - вА Л и3 + и3 Л вА3, (4)
^А = 2САСвС,: вА3 Л и1 Л и3 =0,: в$3] = 0, (5)
где символ = означает сравнение по модулю базисных форм и1.
Предположим, что индексы А, I принимают пересекающиеся множества значений, тогда каждый из них можно разбить на два следующим образом:
А = (а, а),: I = (а, *);: а = 1, г;: а = г + 1, г + т: (г + т = М);
г = М + 1, М + п: (т + п = N).
Системы уравнений (1) и (2) разбиваются на подсистемы
Ви = и) Л и) + иа Л иа, (6)
Виа = и1 Л иа + ив Л и%, (7)
вва = с°?1 вв л в7 + 2С'равв л ва + С^в“ л вь + и Л ва + ив Л в%, (8)
Вв“ = С“свь Л вс + 2С“авь Л ва + савва Л вв + и1 Л в“. (9)
Пусть выполняются тождества (см. [1])
(10)
Они вызывают совпадение структурных уравнений (7) и (8), что возможно лишь в случае
С°аь = 0, (11)
когда в группе Ли Ом есть подгруппа Ог. Назовем (10) условиями полуприклеивания нулевого порядка. В случае (11) уравнения (8) принимают вид
Вва = и1 Л ва + ив Л в^ + вв Л (С|7в7 + 2С'а“ва). (12)
Сопоставление структурных уравнений (7) и (12) при тождествах (10) дает условия
и? = в«,: иа = ва+с^ в+2^“, (13)
которые назовем условиями полуприклеивания 1-го порядка.
Определение [8]. Главное расслоение Ог+т (В т+п) со структурными уравнениями (6-9) назовем расслоением с полуприклеиванием к базе и обозначим Ог+т] (Вт+п), если группа Ли Ог+т содержит подгруппу
а ____ да
Gr, т.е. выполняются равенства (11), и имеют место условия: нулевого порядка (10), первого порядка (13) и т.д.
Под структурными уравнениями главного полуприклеенного расслоения Gr+[m](Bm+n) будем понимать уравнения (1, 8, 9) при условиях (10, 11, 13,...). Если опустить уравнения (8), то останутся структурные уравнения (1, 9) главного расслоения Gr(Bm+n), что позволяет называть Gr+[m](Bm+n) обобщенным главным расслоением [8].
2. Связность в обобщенном главном расслоении.
Применим прием Лумисте [9] задания фундаментально-групповых связностей в главных расслоениях к обобщенному расслоению Gr+[m](Bm+n). Преобразуем базисно-слоевые формы в? и слоевые формы ва с помощью линейных комбинаций базисных форм и1 :
§<* = еа - Г? и1,: ва = ва - Г^1. (14)
Дифференцируем эти формы внешним образом, вносим преобразованные формы (14) в слагаемые, содержащие слоевые формы ва, затем осуществляем частичный возврат к исходным формам:
Бва = 2С°равв Л ва + и1 Л (ДГ? + в?)+
+ (С^754 5J + 2Сва<г}W Л uJ, (15)
Бва = С^в Л вс + 2Сьаа0ь Л ва + и1 Л (ДГа + Г^а + в?) +
+(Саар5а5в - ССГГ} + 2СааГь1 NJ)uT Л uJ, где 5f — обобщенный символ Кронекера,
NY = 5f - Г?, (16)
а тензорный оператор Д действует следующим образом:
ДГ? = ¿Г? - Г?и} + Гвd?,: ДГа = ¿Г} - Г}uJ + ГЬ^а,
= 2С?ава,: Яаь = 2СаСсвс,: = 2СааЪвь. (17)
Распространяя теорему Картана — Лаптева [2] на полуприклеенное главное расслоение, зададим поле объекта обобщенной связности
ДГ? + вY = Г}uJ,: ДГа + Г?'#? + ва1 = Г}uJ. (18)
Тогда уравнения (15) примут вид
Бв? = 2С°равв Л ва + RJи1 Л uJ,
Бва = СаЬсвЬ Л вс + 2СЬавь Л в? + R}jи1 Л uJ, (19)
где компоненты объекта кривизны-кручения R = {Rfj,: R}j} выражаются по формулам
R°IJ = Г} + С5i 5J + 2С?а < Г} ],
R}j = Гаи + С?в5(}5в, - СЬсГГ} + 2СаЬаГЬ1 N?. (20)
Теорема 1. Обобщенная связность в главном расслоении с полуприклеиванием Ог+[т] (Вт+п) задается полем объекта Г, компоненты которого удовлетворяют дифференциальным уравнениям (18). Объект обобщенной связности Г определяет формы связности (14), удовлетворяющие структурным уравнениям (19), в которые входят компоненты объекта кривизны-кручения К, выражающееся, по формулам (20).
Уравнения (1, 19) обобщают структурные уравнения для форм связности Картана [1], поэтому рассматриваемую связность можно называть обобщенной связностью Картана.
3. Продолжение объекта связности.
Предварительно получим структурные уравнения для форм, входящих в дифференциальные урав-
аа : в“ : в“
7в , Ь, ' ма
нения (18) компонент объекта связности Г. Уравнения для форм в1^,: в“,: ва (17) преобразуются к виду:
где
Вва = в7 Л ва + и1 Л в^,
Вв“ = вс Л в“ + и1 Л в“Т, (21)
вва=ва л вв+вьа л в“+и1 л ваа1,
ва = 2Са в“ : в“ = 2С“ вс : в“ = 2С“ вЬ
вв1 = 2Св“Й1, : вЬ1 = 2СЬсв I, : ва1 = 2СаЬв1,
в“ = в“ + 6] (в“ + С^в6). (22)
Уравнения (4) в более подробной записи с учетом равенств (11) принимают вид
Вва = вв Л в<а - в1} Л и3 + и3 Л §а3,
Вв“ = в‘а Л ваа + в\ Л в“ - в“ Л и3 + и3 Л в“]:з, (23)
где
вЪ = вЪ + 2бв(Сав] - С“вв““),: в“3 = в“3 + 2ба(Саввв - С^в*). (24)
С помощью структурных уравнений (1, З1, 21, 23) продолжим дифференциальные уравнения (18).
Дифференцируем их внешним образом, выносим базисные формы, разрешаем по лемме Картана и записываем результат в виде сравнений
- гк ^ + гв ^ + оъ = 0,
Г“3 - ГКиК + Г1 в“3 + га3ва + гава3 + в“3 = 0.
Альтернируем эти сравнения по индексам I, Т с учетом сравнений (З3, 5з) и обозначений (22, 24)
ДГа.3] + 20%^!(в“] + 3¡в) + 26|3(Сав]} - С“вв“]) = 0,
Г“13] + 2Сь“сГЬ1 3 + бава) + 2ба3(С“вв] - С“авЬ])+ (25)
+Га!3]ва + 2С}ьГ}1 (в3 ] + б^ва) = 0.
4. Структурные постоянные, обобщенной символ Кронекера и тензор невырожденности.
Лемма 1. Структурные постоянные С^с группы Ли Ог+т образуют абсолютный тензор с дифференциальными уравнениями компонент
¿Свс + Свс- СВс^в - СЙп= 0. (26)
Действительно, поскольку = const имеем dC^c = 0. Подставим также в уравнения (26) выражения (5i) форм
О(s~iD s~iA s~iA s~iD s~iA s~iD \nE _____
2(CBC CDE - C DC C BE - CBD CCE )в = 0,
что справедливо в силу тождеств Якоби.
Формы 'д'р, ва, ваа (17) дополним нулевыми формами
ва = 2саьвь = о, (27)
тогда ^А = 2С^ава + вА. Подставим эти выражения в уравнения (26)
jf~<A I r^D aA s-iA qD s~tA aD _ r\(f~<A f~<D . s~tA s~<D s~<D s~<A \ па
dCBC + CBCв D - C DC eB - CBD eC = 2(c BD CCa + C DC CBa - CBC C Du)0 .
В силу части тождеств Якоби получаем
dCBC + Свс вВ - cdc вв - cbd eD = °. (28)
Запишем часть уравнений (28) для индексов а, в, Y в подробном виде, используем равенства (27)
и тензорный оператор Д:
ДС& - cZyвв - саав; = 0. (29)
Аналогично для индексов а, в, а; а, b, c; a, b, а; а, а, в уравнения (28) дают
ДСва = о,: ДСьас = 0,: ДСО, - С^в^ + СвЬавв = о,
дсав - сааьвъв - савв ва+с^ ва = 0. (30)
Лемма 2. Тензор САс содержит 4 абсолютных подтензора: 2 простейших [2] Сра, Сас и 2 простых [2]
а а a а a
{Св!,Сва}, {СЬа,Сва,СЬс}-
Замечание. Уравнения (30з) преобразуются к псевдотензорному [1] виду
ДСЬаа + 2ССв(¿вСаЬ(1 - 5adCeba)uc = 0, поэтому равенства Саа = 0 инвариантны. Они выделяют [3] редуктивное однородное пространство Gr+m/Gr Лемма 3. Символ Кронекера SJJ является абсолютным тензором:
Д531 = 0.
Доказательство. Раскроем действие оператора Д:
dSj - SJKwf + Sf wj = 0. (31)
Учтем, что SJ = const, и осуществим свертки
0 - wj + wj = 0.
Возьмем часть уравнений (31) при J = а
dSf - Sf wf + ¿вw? + Sjw? = 0.
Воспользуемся условиями полуприклеивания (13) и обозначением (171)
(щ - sk wf+¿в +са7 oy+ва)+Sj ва=0.
Раскроем скобки и используем тензорный оператор Д:
дsа+¿в ва+sв сfY вл + sj ва = 0.
Объедим два слагаемых в одно и перенесем слагаемое с формами вY вправо
ДSа + Sj e°j = -¿в са?1 eY.
Осуществим свертку с символом Кронекера и используем условие полуприклеивания (10):
ДS? + ва = Sfj wJ,: Sfj = -С°м Sв SJ. (32)
Лемма 4. Компоненты обобщенного символа Кронекера Sf удовлетворяют дифференциальным уравне-
ниям (32i), т.е. Sа является квазитензором, присоединенным к главному полуприклеенному расслоению Gr+[m](Bm+n), причем его поле на базе Bm+n характеризуется постоянными пфаффовыми производными Sfj (322), которые антисимметричны по нижним индексам.
В силу дифференциальных уравнений (18i, 321) величины Nf (16) удовлетворяют сравнениям
дм? = 0, (33)
т. е. образуют тензор, который назовем тензором невырожденности обобщенной связности. Если тензор невырожденности обращается в нуль:
Nf = 0: ^ : Г? = Sf: ^ : ва = ва - SfwJ = ва - wa =0,
то исчезают формы ва, а объект связности Г сводится к объекту фундаментально-групповой связности
Га в главном расслоении Gr(Bm+n).
5. Объект кривизны-кручения.
С помощью дифференциальных соотношений (18, 25, 29, 30, 32i, 33) найдем сравнения для компонент (20) объекта кривизны-кручения R:
ДЕЬ - 2СааМв1М]]ва = 0,: ДRaJ + Rfjва + 2СааЩМв]вв = 0. (34)
Теорема 2. Объект кривизны-кручения R = {Rfj, R<aJ} и подобъект кручения R?j образуют геометрические объекты в совокупности с тензором невырожденности Nf.
Значит, в общем случае (Сра = 0,: Саа = 0) нужно говорить о расширенном объекте кривизны-кручения {R,Nf} и расширенном объекте кручения {Rfj,Nf}.
Следствие 1. Если подгруппа Gr группы Ли Gr+m нормальна (Сра = 0), т.е. однородное пространство Gr+m/Gr является факторгруппой, то расширенный объект кручения {Rfj,Nf} распадается на тензор кручения Rfj и тензор невырожденности Nf.
Действительно, в этом случае дифференциальные сравнения (34i) принимает вид
ДRаJ = 0, (35)
причем сравнения (342) не упрощаются.
Следствие 2. Если однородное пространство Gr+m/Gr редуктивно (С^а = 0), то расширенный объект кривизны-кручения {RaJ, Rf j,Nf} становится совокупностью тензора кривизны RdJ, тензора кручения Rfj и тензора невырожденности Nf.
В самом деле, сравнения (34i) принимают вид (35), а сравнения (342) упрощаются:
ДR'dJ = 0. (36)
Следствие 3. Если обобщенная связность вырождается в фундаментально-групповую связность Nf = 0, то объект кручения обращается в нуль Rf j = 0, а объект RdJ становится тензором кривизны фундаментальногрупповой связности.
Действительно, если Nf = 0, т.е. Г? = Sf, rfj = Sfj, а в силу формулы (322) имеем rfj = -СSв SJ, поэтому формула (20i) дает Rfj = Г^ + С^SвSj = 0. Дифференциальные сравнения (34i) исчезают, а сравнения (342) принимают вид (36).
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Евтушик Л.Е. Связности Картана и геометрия пространств Кавагути, полученные методом подвижного репера// Современная математика и ее приложения. М.: ВИНИТИ, 2002. Т. 30. С. 171-204.
2. Евтушик Л.Е., Лумисте Ю.Г., Остиану Н.М., Широков А.П. Дифференциально-геометрические структуры на многообразиях // Проблемы геометрии. М.: ВИНИТИ, 1979. Т. 9. С. 1-248.
3. Лумисте Ю.Г. Связность в однородных расслоениях// Математический сборник. 1966. Т. 69, №3. С. 434469.
4. Шевченко Ю.И. Общая фундаментально-групповая связность с точки зрения расслоения// Дифференциальная геометрия многообразий фигур. Калининград: КГУ, 1990. Вып. 21. С. 100-105.
5. Шевченко Ю.И. Оснащения голономных и неголономных гладких многообразий. Калининград: КГУ, 1998. 82 с.
6. Шевченко Ю.И. Оснащения центропроективных многообразий. Калининград: КГУ, 2000. 112 с.
7. Шевченко Ю.И. Приемы Лаптева и Лумисте задания связности в главном расслоении // Дифференциальная геометрия многообразий фигур. Калининград: РГУ им. И. Канта, 2006. Вып. 37. С. 179-187.
8. Schevchenko Ju.I. The semi-solder principal bundle// Abstracts of International Conference "Geometry in Odessa — 2011". Odessa: "Science"Foundation, 2011. P. 90.
