Связности второго порядка на семействе центрированных плоскостей в проективном пространстве Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 514.75

А. В. Кулешов

(Балтийский федеральный университет им. И. Канта, г. Калининград)

Связности второго порядка на семействе центрированных плоскостей в проективном пространстве

В продолжении О2(Вг) главного расслоения О(Вг), ассоциированного с семейством Вг центрированных

плоскостей, способом Лаптева — Лумисте задана фундаментально-групповая связность второго порядка. Найдены уравнения на объект Г2 данной связности и объект Я2 кривизны этой связности. Показано, что связность 1-го порядка Г, заданная в расслоении О(Вг), вместе с

аффинной связностью ГД в пространстве параметров Уг индуцируют однопараметрическую связку связностей Г .

Ключевые слова: семейство центрированных плоскостей, фундаментально-групповая связность, метод продолжений и охватов, кривизна.

1. Главное расслоение, ассоциированное с семейством центрированных плоскостей

Отнесем «-мерное вещественное проективное пространство Рп к подвижному реперу {А, А1} , I, J,... = 1, п , инфините-зимальные перемещения которого определяются деривационными формулами

ёА = 9А + Ю1 А1, ёА1 = 9А1 +&JIAJ + ю1А, где форма 0 играет роль множителя пропорциональности, а структурные формы ю1, ю!, ^ проективной группы ОР(п) удовлетворяют уравнениям Картана [8, с. 121]

Ою1 = ю'/ лю^ , Ою7 = ла3 , (1-1)

Ою^ =аК люК + юк л (-5^ ак-бК ). (1-2)

В пространстве Рп рассмотрим семейство Вг центрированных

*

плоскостей Ьт , где 1 < т < п, 1 < г < т(п - т) + п (см. [2; 4; 6].

Произведем специализацию подвижного репера {А, Аа, Аа}, по*

мещая вершину А в центр плоскости Ьт, а вершины Аа — на

плоскость ¿т . Система уравнений семейства Вг центрированных

*

плоскостей Ьт [4; 6] в параметрической форме имеет вид

юа = ла е', юа = л' е', = ла е', (1.3)

а, Ь, ... = 1, т; а , р,... = т +1, п ; ),... = 1, г ,

где формы Пфаффа е' являются структурными формами г-мерного гладкого многообразия Уг, причем имеют место уравнения

ое' =е] леу, (1.4)

ое) =е) ле'к +ек ле). (1.5)

При этом [1] е[)к] = 0, где символ « = » означает сравнение по

модулю базисных форм е'.

Совокупность функций А = {Аа, А?, Аа1} удовлетворяет уравнениям

дла +л?®а =ла,е], аа? = л". е], ' ' а ' ' (1.6)

дла-л>а =А-а1] е],

ла = 0 Аа =-Аа ла Аа = 0 А[)] = 0 , А[] ] = А['Аа] ] , Аа[у ] = 0 ,

где А — дифференциальный оператор, действующий по закону

АЛ«= ^ -Л>Ъ-Kfii +Лрагш^ ,

а по крайним индексам в скобках производится альтернирование. Таким образом, объект Л = {Л^, Л-, Л^,-} является тензором, содержащим три подтензора Л-, {Л-, Л^ } , {Л-, } . Он

называется фундаментальным тензором многообразия Br при

параметрическом задании.

Уравнения (1.4), (1.5) выступают структурными уравнениями главного расслоения L(Vr) линейных реперов, ассоциированного с многообразием Vr .

Из уравнений (1.1—1.3) следует, что с многообразием Br

ассоциировано главное расслоение G(Br) со структурными уравнениями (1.4), а также

В&а = юсъ л< +ег лшй , (1.7)

ла^, (1.8)

D®aa лаа + ю^лшра +ег лю^,, (1.9)

Da а =юа лю6 +ег л ю а,, (1.10)

Daa =ю^ лЮр +юа люа, (1.11)

где

юа, =Л%юаа-5а(Л>а+ЛСюс)-Лагюъ , (1.12)

юа,=-Ла, юр-5а (л>у+лХ)-л- юр , (1.13)

Юа, =ла,юа , юаш =-Лаюа . (1.14)

Базой главного расслоения G(Br) является многообразие

Br , а типовым слоем — подгруппа стационарности G плос-

*

кости Lm . Ассоциированное расслоение имеет два простейших и два простых фактор-расслоения [2; 4]. По отношению к

расслоению О(Вг) формы 8' выступают базовыми, а юС, Юр ,

юс , юы , — слоевыми [3, с. 52].

Используя (1.4—1.14), мы можем представить внешние дифференциалы форм , юр,-, юар , юС1- следующим образом:

Вюаы =юсЬ1 люы +ЮСЬ люЫ +8/ ЛЮ^ +81 люаЫ], (1.15) Бю^ = ю11 лю^+ю^ лю£. +8/ люр +8] лю^., (1.16)

: ЮР, ЛЮу

БЮш =Юр, ЛЮЬ +Юр ЛЮаь, +Юр, ЛЮр + + Юр лю{, +8/ ЛЮащ +8. ЛЮР/.,

(1.17)

БЮа, =ЮШ ЛЮь +ЮЬ ЛЮь,- +8/ ЛЮа/ +8. Л Ю а,/ , (1.18)

где

Юаы/ =Ку-юР +ЛЬ,-ю^. -5с(4ю7 + ЛьЮь/)-ЛЫЮь -ЛСю^-,

„а да „а „а , да„ \ ла„

ЮР/ =-Лс//Юр -Ла,Юр/ -5р (Л1/Ю +Л,Юа/ )-Л//Юр,

</ = -ЛС/ Юа , Юа/ = ЛЫ/ Юа .

Замечание 1.1. Формы юы. , Юр/ , юы. , юа1/ симметричны по нижним индексам / и/:

<[_//] = 0 ЮР[/] = 0, юЫ[/] = 0, ЮС[//] = 0.

Формулы (1.4, 1.7—1.11, 1.15—1.18) являются структурными уравнениями продолженного главного расслоения

О 2(Вг), ассоциированного с многообразием Вг . Продолжая уравнения (1.6), найдем

АЛЬ/ - ЛЫ8 + льюЫ/ + Л/ЮЫ + ЛюЫ/ = ЛЫ8, (1.19) АЛ// +ЛРюР/-Л8 = Л»8 , (1.20)

АЛЫ// - ЛЫко* - ль,+ ЛЬ,- Л«а - л/«а/ = Л/0к, (1.21)

ЛС[/к] = 0 , Л1[/к] = 0 , ЛЫ1[/к] = 0 .

Из уравнений (1.6, 1.19—1.21) следует, что совокупность

« Ла ла ..

функций Л2 = {Л, Л., Л., Л«. } образует геометрический объ-

ект, содержащий подобъект Л. Систему функций Л2 назовем фундаментальным объектом 2-го порядка многообразия Вг при параметрическом задании.

2

Замечание 1.2. Компоненты Л., Л., Л. объекта Л симметричны по индексам ¡,], к.

2. Ассоциированные связности на многообразиях Вг и Уг

Фундаментально-групповая связность (по Г. Ф. Лаптеву) 1-го порядка

Г = {Га Га Га Г Г }

А V-1- Ы> ^ р А т' х а^ х т> '

т. е. связность в главном расслоении 0(ВГ), задается способом Лаптева — Лумисте [3] с помощью форм

Л а а ™ /V ~ а а -р а пг ~а а Т^а п-

Мы = «Ы - ГЫг° , «р=«р- Гргв , «а = «а - Г шв , (2 1)

со = « -Г .#', со =а> -Г .#',

а а а. ' а а т '

причем компоненты объекта Г удовлетворяют дифференциальным уравнениям [6], полученным с использованием теоремы Картана — Лаптева [3, с. 81—83]:

ДГЫ +«,= г«, е1, Агр + «а = гр- е1, (2.2)

АГа, +ГаЫ «ы + «а, =Га.е1 , (2.3)

АГ« - г«. «а+Г«,-«а+«а, = Га. е1, (2.3)

АГт + Г««а + Грг«р - Га,-«а = Г..е1. (2.4)

Объект Г содержит два простейших и два простых [5, с. 5] по-добъекта [2; 4].

Из форм (2.1) с учетом выражений (2.2—2.4) получаем структурные уравнения для форм связности:

БЮС =Юсь люы + Я^-81 л8], (2.5)

БЮр = Юу л Ю£ + Яра.81 л 81, (2.5)

бю ы=ю а лю а +ю а лю а+яы. 81 л8 ., (2.6)

БЮа =ЮС ЛЮь + Яы1/81 л8., (2.6)

БЮа =Ю а ЛЮ р + Ю а ЛЮ а + Яр/81 л8 1, (2.7)

где компоненты объекта кривизны групповой связности Я = {ЯЫ/, Яр/., ЯЫ,/, Яа/., Яа1/ } выражаются по формулам

па _ Т<Ь _т^ь т-^а па _ га _гУ т^а о\

Яь/ = 1 ь[1/] 1 ь[11 ь/], Яр,] = 1 р[1/] 1 р[11 у/], (2.8)

Ку = Су - ] - Г^Гр] , Яау = Га[1/] - ТЬа[/Гь}] , (2.9)

Яау = Га [у ] - Пф^Ы/ ] - Г^Гр/ ] . (2.10)

Продолжим уравнения (2.2—2.4), в результате чего получим уравнения на продолжения компонент объекта связности 1 :

АГЫу. -ГЫк8ку + ГьЬюСу. -ГЫЮььу +юС/ = ТЫ1]к8к , (2.11)

АГр/у -Гр"8к/ -ГУ/юУ/ + !,< +юа,] = 1/8к, (2.12)

- р,]~ 1 рк^] - ^ 1 шру - ^ р,]к^

д-ра т^а пк . -г-^ь „а га ь та^ь А1 а 1] - 1 ак8// +1 а/Юь/ - 1 ь/]Юа - 1 ь/Юа/ +

+ / + 1,^. -Гра1 ю( +Ю(. =Гаа1]к8к,

(2.13)

АГа,] -Гак8к/. + тЫц Юь +Гаь1Юь; -Г,- юы- +ю =1.8к, (2.14)

- ау 1 ак у ^ аушь ^1 а\шЫ 1 Ыша] ^шау ~ 1 аук^ АГа у -Гак8к/- + Гш] Ю а +Гш Ю а] -Гау юЫ -

-Га,ЮЫ/ + Га/Юр-Гр,юау = Га//к8,

(2.15)

где продолжения компонент объекта Г симметричны по индексам у, к :

т-<а _т-^а т^а _ т^а т-^а _ т-^а т-^ _ т-^ т-^ _ т-^

Г Ыук = Г Ы-к , Г Р1]к = Г ргк] , Г а.к = Г а'к] , Г а']к = Г а'к] , Г а']к = Г а'к] .

Используя формулы (2.11—2.15), найдем дифференциальные сравнения на компоненты объекта кривизны Я групповой связности 1-го порядка:

Я] - 0, АЯра. - 0, (2.16)

АЯ«] - Я«]«а + Яр]«а - 0, АЯа] + ЯЫ]«Ы - 0 , (2.17) АЯа] + я«]са + <Ср - Яа]< - 0 . (2.18)

Из сравнений (2.16—2.18) следует, что объект кривизны Я образует тензор, содержащий четыре подтензора [2; 4].

В пространстве параметров Уг зададим аффинную связность с помощью форм

е ] =е ] -г]к ек, (2.19)

где Г]к — объект аффинной связности, удовлетворяющий дифференциальным уравнениям

Аг]к +е 'к = Гк е1. (2.20)

Структурные уравнения на формы связности имеют вид

яе] = Л ек ек лег,

где ^'к = Г][к/] - ГЦкГ'т1] — компоненты тензора кривизны;

АИ]и - 0.

3. Ассоциированные связности 2-го порядка

Фундаментально-групповая связность 2-го порядка

Г2 = {Г Та Та Т Та }

1 -V1 5 -^Ы]? 1-рц ^а'р а] > '

2

т. е. связность в продолжении G (Вг) главного расслоения G(Вг), задается способом Лаптева — Лумисте с помощью форм (2.1), а также форм второго порядка

~а а та а] ~а а та п]

«Ы' =«Ы, - ТЫ']е , «Р' = «Р' - ТР']е , , ч

. . (3.1)

«ш =««' - -С]е] , «а' =«а' - Та] е] ,

причем компоненты 1Ыц , Тр], Та], Ьаа] объекта Г2 удовлетворяют следующим дифференциальным уравнениям, полученным с использованием теоремы Картана — Лаптева:

мЫ] +Г]««к -Г« «ы +гы] +««] = тЫЫ']кек, (3.2) АТр] +г/ «ак +гр] «« -г>р, +«а, = т] ек, (3.3)

\ Т а I гк.^а га.^Ы та Ы . тЫ „ а . АТа] + Г ] « ак - Г Ы] « а' - ТЫ'] « а + Г а] « Ы' +

+г«] ««+¿а?, «р -гра «а'+<=тш]кек,

(3.4)

АТа] + Г/Шак + ТЫаг]«Ы -ГЫ]«а' +ГЫ«Ы, +Ша] = Аи]*^ . (3.5)

Выражения для внешних дифференциалов (структурные уравнения) форм (3.1) имеют вид

а = ШЫ л«а Ы лШа + е/ лШа + яь^е] лек, (3.6)

£>юа' = Ш^ лш" + Ш^ лШ£ + 6/ лшр] + Яр]е] лек, (3.7)

ш=«а' л««+«а л««+«а' л«а+

+ш ал« а, + е/ лШ а- + Яаа]к е] лек,

(3.8)

£>Ю а' = Ш а, лШ Ы +Ш а лШ Ы' +е/ лш а] + Я^ке] лек , (3.9)

где компоненты 2-го порядка объекта кривизны групповой связности 2-го порядка

_ / г) г>а г>а г>а г> ^

Я = {Я ЯЫук, Яр']к, Яа']к, Яа,]к }

выражаются по формулам

па _ та тс ра т^с та т-7 та i

Kbijk _ Lbi[ jk] — Lbi[ j1 ck] — 1 b[jLcik] — 1 i[ jLblk] 5 (3 •10)

„а _ та L ra Гу л rl т» (311)

„Pijk _ Lpi[jk] " Lpi[j1 yk] " 1 p[jLyik] " 1 i[jLplk], (3 •11)

Ra _ Ta — Г1 Ta — Тв Га — L Га — Гв Ta — Г Ta (3 12)

^aijk ~ ^ai[jk] 1i[j alk] -4a[j1 fik] j1 Jk] 1 a[j^ftik] 1 a[j^blk

Raijk _ Lai[jk] — LCi[j 1bk] — ГаjLbik] — 1i[jLalk] • (3•13)

Продолжая уравнения (3.2—3.5), получим сравнения на продолжения компонент L:

al>bjk+ Tbb7j ®ak— Lа--&bk— La>lj ®\k— Qjk—rc- ®ci— —Hj ®cik +Гa/■k ®ai +гЬ/- &aCik +1 jk ®al +Г-&"blk +&"bijk = °

дга т-y а л y л Ql ra Ql ^a y ATp!jk + Lpj ®yk — Lyij ®pk — Lplj °ik — Lpil ° jk — 1yjk ®pi —

— Гу/ ®y ik + Гp/k ®yi + ^Pj- ®yik + ^/k ш»1 + Г1/ ®plk +(apijk = °

\та ,jb а та P та r\l та r\l , т-l ,,a , a ijk a ij bk Lpij ak Lalpik LaiP jk +1 ijk™ al +

+ Г1/&alk — ^bjk&bai — ^bj&baik — Lbijk — L"bij ^ak +

+ Гj+Г(aj+ Гф ®pi + ГР/ ®pik + Lajk ®а +

+ lLaij ^k — Гpj-k— Груik +<jk = °

ALaijk — Lbij ^ — LaljQlik — Lail 0jk +Гjk ® al +Г- ® alk + L>aijk ®b +

+ L а-®bk —Гbjk®bai ^b^ak + Г—®bi + Г0/®bik +®aijk = °,

где

a _ л» a Tia a Aa а Ла ®bijk _ Abijk®a + 2Лai(j®ak) + Abi®ajk — Aijk®b —

— 2Ла( j®bk) —ла ®bjk —5a (Aljk + 2A<i( j ®ck) + Ac®cjk

„a _ >a a n >a a la^a ®pijk _—Лaijk®p — 2Лai(j®pk) — лai®pjk —

Sa (Л-®J + 2Л<С( j ®ak) +Л<а ® ajk ) — Kjk ®p5

(3.14)

(3.15)

(3.16)

(3.17)

(3.18)

(3.19)

«а']к = -Л']к«а , ша,]к = Ла']к«а , (3.20)

где Л], Л], Л«] — дважды продолженные компоненты

фундаментального тензора Л1, получающиеся из уравнений (1.19—1.21).

Замечание 3.3. Формы (3.18—3.20) симметричны по нижним индексам ] и к:

««[]к] = 0 «а'[]к] = 0 «ш[]к] = 0 «а'[]к] = 0 . (3.21)

Используя формулы (3.2—3.5, 3.10—3.13, 3.14—3.17), найдем дифференциальные сравнения для компонент ЯЫ.к,

Яр]к , Я«ук , Я] объекта кривизны Я2 групповой связности:

АЯа,]к - Яафшсы + Я]«« +К]кШаы - 0, (3.22)

АЯрик - я:,к«р, + -эт;]к«р1 - 0, (3.23)

р,^ ур]-кш у -'Ч.к™ рг

к..к- яр]к «а, + яр,к ««+яЫ1к «ы- яы}к «а

+«а+эт1к «аг -o,

(3.24)

АЯа'1к - ЯЫ]к «а, + Яф«ы + «аг + <к«Ы - 0. (3.25)

Из сравнений (2.16—2.18, 3.22—3.25) следует, что объект кривизны Я образует геометрический объект лишь вместе с фундаментальным тензором Л = {Л«, Л', Л«,-} и тензором кривизны аффинной связности ЭТ—г .

4. Индуцированные связности 2-го порядка

Теорема 4.1. Объекты аффинной связности Г]к и фундаментально-групповой связности 1-го порядка Г индуцируют в

2

главном расслоении

О (Вг) два типа фундаментально-групповой связности 2-го порядка:

1 1 1 1 1 2 2 2 2 2

Г = { Г, Labij, Lp/, Laaij, Laij }, Г = { Г, Labij, Zp ij, Laa /, LaiJ- }. (4Л)

Доказательство. Охваты компонент Lbj, Lpj, Laaij, Laij с помощью Г и rjk имеют вид 1

j-a _Y^a I Y^k^a ^Y^c T^a /л i \

LbiJ = 1 bij + 1iJ 1 bk - 21 b[ii cJ] 5 (4.1)

4 =Г& + Г/ГРк - 2rP[i/ (4.2)

1

Ца/ = Гш/ + Г/' Гак - 2Га[г'ГЬ/] - 2Гр[г'Гр/] , (43) 1

LaiJ = Eaij + Г/ Eak - 2Га[irbJ], (4.4) 22

L =Г/ + Гк Гa Ta = Га + Гк Га (4 5)

Lbij - 1 bji + Li^bk , Lpij - 1 pji+1 ij1 рк , (45)

2 2 Laj = ^a/'i + Г//' Гak , Laij = Го/г + Гг/' Гak . (46)

Замечание 4.1. Охваты (4.1—4.4) являются аналогами формул охватов в работе [7].

Внесем формы связности в уравнения (2.2—2.4):

Via = Vjг/0j , УГрР = VJГр"0j , (4.7)

У!» = V J Г/i 0J, vr/i = V J Г/i 0 J , УГа i = V J Га, 0J, (4.8)

где в левых частях стоят ковариантные дифференциалы компонент объекта связности Г относительно связности

Г2 ©г// :

vr/ = dra +rbs a ra ~ c -1ci sb Г a 0 J - bJ 0i +s a

vrpi = drpP +rpi s - -Г-? s - Га SJ -1PJ 0i +s а

vrai = dEai T- ~ b -rbiS a -Г/ e/ + Eaisb + s ai

vr- = ¿ra +r¿sa -Гр1sа -rayе/ -ras£ +гРsa +sа,

Vrai = ¿Гш -Гр/s Р -Гау е/ + Гш s - + Гш s р -Га1 s a , а в правых частях — ковариантные производные:

vjГаЪ1 = ГаЬ1] + Г,Га, - 2Г6с[гГ*] - Labl], (4.9)

vj ГР1 = ГР1у +Г,Гр" - 2Гр[1 ГУ - LPij, (410)

vjГ-1 = Га,- + Г,Га, - 2ГаЬ[1 Гу] - L-j , (4.11)

v jГа1 = Гау + Г1/ Га, - 2Га[1 ГЬу] - 2Га[1 Гру] - Laij , (4.12)

v jГа, = ^j + Га,Г, - 2ГР[1 Гау] - 2ГаР[1 Гру] . (4.13) Они удовлетворяют следующим сравнениям:

av j ГР - 0, av j Гр«- 0, av j Га, + v j ГаХ - 0, av j ГР + v j Гр1 sj - v j ГР sp - 0, av j Га + v j ГР Юа -v j Гы^а +v y Г^ sp +

+ Cjsp -LbjsP + LP 1jsp -ГауsPí -гРуsaí +груsp1 - 0.

Теорема 4.2. Ковариантные производные (4.9—4.12) образуют тензор {vy-Га , vy-Гр, vy-Га1, vy-Га}, содержащий два

простейших vy-Га , vy-Гр и два простых {vy-Г^ , vy-Га1},

{ vyГьа , vyГр", vyГа} подтензора.

Замечание 4.2. Ковариантные производные (4.9—4.13), вообще говоря, самостоятельного объекта не образуют.

Замечание 4.3. Обращая ковариантные производные (4.9— 4.12) в нуль, получим формулы охвата (4.1—4.4). Из выражений (4.1—4.6, 2.8—2.10) следует, что

та та _ ъ т\а та та _ ^ г>а

Lh1j - Lh1j " 2 КЬу , Lp1j - Lp1j " 2Rpj

та _ та _ 2 па т _ т _ 2 П

ш] ш] ~ ^ ау 1 ^ау ау ~ ^ ау •

Теорема 4.3. Объекты аффинной связности Гд и фундаментально-групповой связности 1-го порядка Г индуцируют в главном расслоении О 2(Вг) однопараметрическую связку фундаментально-групповых связностей 2-го порядка:

Г2(а) _ { Г, ЬаЫ} (а), Ц1} (а), Ьат] (а), Ьа] (а) },

где

1 1

Ц,у (а) _ Ц,у _ а ПЫг] , Цу (а) _ Цг] _ аПр5/ ,

1

1

Кг г] (а) _ К.г} _ а Кгу , Цаг] (а) _ Цаг] _ а Паг] •

2

Список литературы

1. Акивис М. А. О замкнутых О-структурах на дифференцируемом многообразии // Проблемы геометрии / ВИНИТИ. М., 1975. Т. 7. С. 69—79.

2. Бондаренко Е. В. Связности на многообразии центрированных плоскостей в проективном пространстве // Диф. геом. многообр. фигур. Калининград, 2000. Вып. 31. С. 12—16.

3. Евтушик Л. Е., Лумисте Ю. Г., Остиану Н. М., Широков А. П. Дифференциально-геометрические структуры на многообразиях // Проблемы геометрии / ВИНИТИ. М., 1979. Т. 9. С. 5—247.

4. Кулешов А. В. Шесть типов индуцированной групповой связности на семействе центрированных плоскостей // Диф. геом. много-обр. фигур. Калининград, 2009. Вып. 40. С. 72—84.

5. Шевченко Ю. И. Оснащения центропроективных многообразий. Калининград, 2000.

6. Шевченко Ю. И. Об оснащениях многообразий плоскостей в проективном пространстве // Диф. геом. многообр. фигур. Калининград, 1978. Вып. 9. С. 124—133.

7. Шевченко Ю. И. Связность в продолжении главного расслоения // Там же. Вып. 22. C. 117—127.

8. Cartan E. Lecons sur la theorie des espaces a connexion projective. Paris, 1937.

A. Kuleshov

Connections of the 2nd order on a family of centered planes in a projective space

In the prolongation G 2( Br) of the principal bundle G(Br), associated with a family of centered planes Br, by Laptev — Lumiste's way

foundamental-group connection of the 2nd order is given. Equations of

22 the object Г of this connection and the curvature object R of this

connection are found. It is shown that connection of the 1st order Г on the bundle G(Br) together with affine connection Гд in the parameter

space Vr induce one-parameter bunch of the connections Г .

УДК 514.76

Л. А. Лукичева

(Чувашский государственный педагогический университет им. И. Я. Яковлева, г. Чебоксары)

Двойственные нормальные связности на распределении гиперплоскостных элементов в римановом пространстве

Построены основы двойственной теории нормальных связностей, индуцируемых на оснащенном регулярном распределении гиперплоскостных элементов в римановом пространстве Vn .