CC BY
13
УДК 514.75
И. Ю. Бесчастный
(Калининградский государственный технический университет)
СВЯЗНОСТЬ В РАССЛОЕНИИ, АССОЦИИРОВАННОМ С ДВОЙСТВЕННЫМ РАСПРЕДЕЛЕНИЕМ ПЛОСКОСТЕЙ
В многомерном проективном пространстве рассматривается двойственное распределение плоскостей. С помощью приема Лумисте задана связность в ассоциированном с распределением расслоении. Доказано, что объект кривизны данной связности образует тензор, содержащий четыре подтензора.
Ключевые слова: проективное пространство, двойственное распределение, связность, тензор кривизны.
Отнесем «-мерное проективное пространство Рп к подвижному реперу {Л,Л1} (1,... = 1,п), инфинитезимальные перемещения которого определяются формулами:
Структурные уравнения проективной группы ОР(п) запишем в виде:
Рассмотрим «-параметрическое семейство пар плоскостей (Рт, Ьп1), полагая, что т-плоскость Рт принадлежит ги-
йЛ = вЛ + а'Л1; йЛ, = вЛ1 + со^Л} + а ¡Л.
(1) (2)
Ба1 = а3 ла\; Ба^ = ак1 ла'к + 88ак л ак + а} л а,
Бт = а ла}.
(3)
(4)
(5)
перплоскости Ап1. Семейство назовем двойственным распределением, поскольку паре (Рт, Ьп_1) двойственна пара (Рп_т1,А0), причем выполняются условия
А0 е Рп_т_1 , А0 ^ Ап_1, Рт П Рп_т_1 = ^ .
Когда пара (Рт, Ьп_1) описывает п-мерное семейство , двойственная пара (Рп _т _1, А0) также описывает п-семейство, которое является распределением (п-т-1)-плоскостей.
Специализируем подвижный репер, помещая вершины
{А>Аа} (г,... = 1,т +1; а,... = т + 2,п) на гиперплоскость Ьп_1 и предполагая, что плоскость Рт натянута на совокупность точек {} . Тогда уравнения (2) запишутся в виде:
^ = вА{ + а°Аа + а^А^ + а) Л (6)
ёЛа = 6А + аьА + а'А + аА (7)
а а а Ь а г а \ /
Из формул (6, 7) видно, что уравнениями стационарности данной пары являются: а 1 = 0, аа = 0 . Выбирая п форм а 1 в качестве базисных, запишем уравнения распределения 8п в виде:
< =Л а'а,. (8)
Дифференцируя уравнения (8) внешним образом и разрешая по лемме Картана, получим уравнения на компоненты
объекта Л = (ЛЛ):
АЛа' + 3/аа = ЛаЖаК, Ла[ж 1 = 0, (9)
где 3/ — обобщенный символ Кронекера,
Л = ала/ + Лр/ ®а + лаКаК _ л а.
Распишем подробно уравнение (9) с учетом (8):
АЛ] +лаа +53аа=Л'Как , (10)
АЛ*Р = [Л^рк _ Ла]Л?К ) ак
Утверждение. Фундаментальный объект первого порядка Л = {Л*3, Л*3 | распределения Sn является квазитензором, содержащим тензор Л*3.
Исследование распределения Sn в репере нулевого порядка приводит к разбиению структурных форм со1 ,т[ на две совокупности: первичные формы а1 , включающие базисные формы со1, и вторичные формы С,ю'3,®*,С , внешние дифференциалы которых имеют вид:
БС =С л а)\ + Са л сС; (11)
БС =С лСь лс; (12)
БсЗ =С л С + со'К лСк; (13)
БСа = С л С+сС лСь+с л с; (14)
Бс33 =<л С + С л , (15)
(16)
где
= л* С, С = ~(л;кСа + 83Ск + 8кС),
С = ' С* = Л3С* - 83С' - 8С3
Получили структурные уравнения (5, 11—15) главного расслоения Ог (Рп), базой которого является двойственное проективное пространство Рп — пространство гиперплоскостей пространства Рп, а типовым слоем — подгруппа Ог группы ОР(п) — подгруппа стационарности пары плоскостей (Рт,Ьп-1), причем г = п2 + п-(т + 1)(п - т -1) .
Расслоение Ог (Р*п), ассоциированное с распределением Sn, имеет четыре фактор-расслоения над той же базой со следующими структурными уравнениями:
1) (5, 13) — расслоение плоскостных линейных реперов Ь 2(Р ) с типовым слоем Ь 2 = GL(m + 1) — линейной
(т+1)2 4 п ' (т+1)2 4 '
фактор-группой, действующей в пространстве Рт ;
2) (5, 15) — расслоение нормальных линейных реперов Ь 2(Р*) с типовым слоем Ь 2 = ОЬ(п - т -1) — ли-
(п-т-1)2 п ' (п-т-1)2 4 '
нейной фактор-группой, действующей в фактор-пространстве
Р п-т-2 Ьп-1 / Рт ;
3) (5, 12, 15) — расслоение аффинных реперов А (Ря*), где
q = (т - п)(т - п -1) , с типовым слоем Ад = GA(n - т -1) —
аффинной фактор-группой, действующей в аффинном пространстве Р , \ Р 2, где Р , = Р / Р ;
г^ п-т-1 п-т-2 ' ^ п-т-1 п т '
4) (5, 13—15) — линейно-групповое фактор-расслоение Н (Рп ) , где р = п2 - (т + 1)(п - т -1) , с типовым слоем
Нр — линейной фактор-группой группы Ог [1].
Таким образом, справедлива
Теорема 1. С двойственным распределением в проективном пространстве Рп ассоциируется главное расслоение Ог (Р*), которое имеет два простейших [2] фактор-раслоения линейных реперов Ь{ + 2 (Рп*), Ь 2(Рп*) и два простых [2] фактор-раслоения Ад (Рп ) и Н (Рп ).
Зададим фундаментально-групповую связность в расслоении Ог (Р„*) приемом Лумисте [3] с помощью форм:
3' = зг + Г з, 3 а=за+Га1з, 3г. = з1 + ГгКзК
-1' 1' з з з к' (17)
3 =а' +Гиа, 3Р =зр +Гр1з,
а а а , ; а а а I •
Продифференцируем эти формы с помощью структурных уравнений (5, 11—15) и получим:
В3г = з1 лз1 +за лз\ + (йГг + ГгКзК)лз,,
Б3а = зр л за + (йГа1 + Га3 +за1) лзг,
В3) = з3 лз\ + (йГгК + ГгЬзК +згК) лзк, (18)
Б® = ®. л®. + ®Вал®В + (йГиа + ГК®К + ®» )л®
а а . а В V а а К а ' К ,
В =< л®гВ + (Г + Г®8 + ®В)л®.
Выразим вторичные формы из равенств (17) и подставим их в слагаемые (18), не содержащие базисных форм:
7 г а г ~ 7 ~ г ~ а ~ г ~ 7 т—чЪ
со3 л®. + ® л® = ® ^ л® . + ® л® лГ . ®, -
. а . а 3 ь
-ГК®К л® 3 + ГК®К л Га, -ГаК®, лС -
К . К . ь J а
~ а . т^тК . /-»а^ „ л /-»¿К
-® лГаСК +Г ®К лГаСК,
В а ~ В ~ а т—> В1 -"а ~ В т—< аJ
С0илюр=юилюр-Гю1 лЮр-сл1р ®} + +Г"1®1 лГа/®к, (19)
®а лаС+®а ла'Р=®а лСс+®а ла'Р-Гак®К лас -
-®а лГ^ь+Гак®К лГ^ь -Га®, л® --®алГ'К®К +ГКС лГр а к ,
®ал ®а =®ал ®а- гк® л ®а -®ал гГ® +
+Га® лгаа®.
В слагаемых, не являющихся внешними произведениями преобразованных слоевых форм и внешними произведениями базисных форм, вернемся к исходным вторичным формам и подставим результат в структурные уравнения (18):
В& = С л ®С +®а л ®'а - (ГГ + ГаКГ)® л®К +
+(ЛГт -Г,ак + Га®а -ГК®к) л а,,
Б®а =ар л йар- Гр1Г'®1 л а, + (ЛГа1 - Г^1 ар + ®а1) л®, Б®. =®С лак-Г^Га л®ь + (ЛГ* + а®)л®К , (20)
Б®'а =® л а) +®В лаВ - (Г» Г + Г ГВ ® л®К +
. а В V а 1 ар
+(лгк-п®а+ГКК®+®К ) л®,,
О® =®а л - гЦг?®, л а + (Г + ®КК ) л ®.
Согласно теореме Картана — Лаптева формы (17) определяют фундаментально-групповую связность в главном расслоении Ог (Рп) лишь тогда, когда их внешние дифференциалы выражаются через внешние произведения этих же форм и внешние произведения базисных форм. Из структурных уравнений (20) видно, что для задания связности необходимо задать поле
объекта связности г = {г ,Г ,гг ,га } со следующими дифференциальными уравнениями его компонент:
и _ гик + _ гию<х = гика
к а а К ?
Л _ г в ш + Ш — г
Г +шК =г^шь, (21)
ЛГН _гикша + гвш + Ш = гиаКшК, лгв1 +Ш =г£"ш.
Отсюда с учетом (16) вытекает
Теорема 2. Объект фундаментально-групповой связности
г = |гн , га1,г'К, г, гв}, задающий связность в главном
расслоении Ог (Р*), ассоциированном с двойственным распределением , содержит два простейших подобъекта: объект плоскостной линейной связности г1 = {г^}, объект нормальной линейной связности г2 = {гв}, объекты полной аффинной связности гз = {га1 гв} и линейно-групповой связности г4 = {гЦс ,гН ,гв}, задающие связности в фактор-расслоениях соответственно 2 (Р*), Ь _ 2 (Р*),
Л9 (р ), Н (Ря ). Объект связности г образует квазитензор лишь в совокупности с фундаментальным квазитензором Л. Квазитензор {г, Л} содержит четыре простых подквази-
тензора {г1,Л}, {г2,Л}, {гз,Л}, {г4,Л}.
Структурные уравнения (20) с учетом (21) перепишем в виде:
Бсо1 = Ю1 л ю! + юа лсо'а + Я,кю, л юк (22)
БЮ = юР л а>а + Яаиюг л с
'I лЮ, (23)
ОссС = а>) ла>1 + «к-Юк л аь, (24)
=&а л Ю +юРалЮр + яОКю, л Юк , (25)
БсоР =а>7 лссР + Яриюг лю, (26)
а а 7 а I , ; I¿О I
где компоненты объекта кривизны Я = ^ЯЖ, Яаи, Я1^,«а,Яри | выражаются следующим образом:
Я^к = -(г'[, г'к] + га{, г'к] + г'[ ,к]) Яааи =—(гР[ I г ар, ] + га[П ])
ЯК=—(гтк г+г)т), (27)
Яик = — ( г, гк] + гР[, гк] + г,к])
Ла _ У.1 а 1 I "Г 1 а 1 р ^ 1 а > ,
ЯР, = —( г7[1 гР, ] + гР[ I, ])
а У а 7 а ' .
Теорема 3. Задание фундаментально-групповой связности в ассоциированном расслоении Ог (Р*) превращает его в пространство групповой связности Ог п со структурными уравнениями (5, 22—26), которое имеет два простейших фактор-пространства: пространство плоскостной линейной связности Ь )2 п (5, 24) и пространство нормальной линейной связности Ь п—т—1)2 п (5, 26); и два простых фактор-пространства: пространство полной аффинной связности п (5, 23, 26) и пространство линейно-групповой связности Нрп(5, 24—26).
Найдем дифференциальные сравнения для объекта кривизны. Соотношения на обобщенные символы Кронекера на двойственном распределении 8п имеют вид:
Л8] =ЗаЛ*Кюк, (28)
ЛЗ'а =5{®ка . (29)
Раскроем в уравнениях (21) оператор Л , подставим обозначения (16), продифференцируем с помощью структурных уравнений (5, 11—15) и дифференциальных уравнений (8, 9, 28, 29), разрешим по лемме Картана, используем уравнение (8) и результат запишем в виде сравнений по модулю базисных форм ®1:
ЛГКК ги „К , Г» „К , Г'К^К Т-»К1 , гаКК .Л
Л1 -1 ®1 +1 ® +1 ® -1 1 ® +1 ®а -
ГаК гК г-'/КК а , т-ч'К аК г, ®а -1 а ® + 1 а® = 0,
лга1К -гВ®арВ +га1®К +гаК®1 -гВ ®В +г;1®'!К + +Л"®к - о,
л т—'/КЬ Т—'МК ТЬ . Т-'/К тЬ . Т-'/К Ь . Т—'/Ь К лаКЬ г .
Л/ -Г. ®т +Гт ®3 +Г. ® +Г. ® -Л3 ®а
+лкк®К -К л*ь® - о, (30)
ЛГШ -Г1К®'К +ГК®к + Г'К®К + ГВ®^К - ГКК®1 +
а а 1 а а В а 1а
+Г»® +ПКК®В -ГВ® - о,
Г -га® +гВ®аК+Гвк®1 +ГВ®к+Л1К®. -
-лак»+К®ВК - о.
Проальтернируем эти сравнения по двум последним индексам:
ЛГ'[КК] -Г1[К®\К] -Г'/КК]®1 +Га[КК]®'а -Га[К®К] -
-Г'[КК]® а +Г'[К® аК] - о, ЛГа[1К] -г/3[1®арВ] - Г;[1К]®В +Г;[1®в] - о, ЛГ'[КЬ] -Гт[К®^] +Г[К®тЬ] - о
3 3 т т 3 ,
ЛГ'К -Г1[К®К +Г'ВК®Г -Г;[кк]®1 +Г;[к®1к] + +П[кк®в-П[к®В - о,
ЛГВ[1К] -Га1®В] +ГВ[1®а] - о .
а а у у а
Агрегаты, входящие в выражения (27), удовлетворяют дифференциальным сравнениям:
(31)
Л(г[р гк ] +га[р г1К ]) _г,[ ргк ]юа+г[ ]ют —
\ , а I а , т I
—г,[р С] +г;[р г ]юР —юа[р г] —га[ ргрк ]юР —
г ],
л(гР[г;Р]) - —г^СР + гРг[гарР]а7 — юг«/1,
Л( гт[К гЬ] ) _ — Ют[К гЬ] — гт[К Ь] V 1 т ) — 1 т 1 т ,
Л(г,[р гк] +гP[J г'к] )_г'[р гк]ют — С[р г;к] —
\ а , а Р ) т , а а ,
—г,[,СК] —юР[,Г'к] —ГР[,Г7йк]Ю —ГР[,Ю*],
а , Р Р Р Р 7 Р Р '
Л(г7[гР] )_—ю7[гРР] — г7 71 юР,]
\ а 7 ' а 7 а 7.
С помощью этих сравнений и сравнений (31) получим дифференциальные сравнения для компонент (27) объекта
Я = |яж яаи Я1кь ЯрРк Я.Ри |:
ЛЯрК — ЯОКюа — Я1ркЮ + Яаркю'а _ 0 , ЛЯаи — ЯриюР _ 0,
ЛЯК _ 0, ЛЯрК + ЯРикюР — ЯикС _ 0, Яи _ 0. (32) Теорема 4. Объект фундаментально-групповой кривизны Я = {яр, Яш, Як, Яи, Яьрр } является тензором, содержащим два простейших подтензора: тензор плоскостной линейной кривизны Я1 ={Я'К'^, тензор нормальной линейной
кривизны Я2 = {ярр |; и два простых подтензора: тензор полной аффинной кривизны Я3 = {яКр, ЯРр }, тензор линейно-групповой кривизны Я4 = {ЯК, Яррк, Яри |.
Список литературы
1. Шевченко Ю. И. Аффинная, коаффинная и линейная факторгруппы в подгруппе проективной группы// Проблемы мат. и физ. наук: материалы постоянных научных семинаров. Калининград, 2002. С. 38—39.
2. Шевченко Ю. И. Связности, ассоциированные с распределением плоскостей в проективном пространстве. Калининград, 2009.
3. Шевченко Ю. И. Приемы Лаптева и Лумисте задания связности в главном расслоении// Диф. геом. многообр. фигур. Вып. 37. Калининград, 2006. С. 179—187.
I. Beschastnyi
CONNECTIONS ON A BUNDLE, ASSOCIATED WITH DUAL PLANE DISTRIBUTION
In many-dimensional projective space a dual plane distribution is considered. A connection in a bundle associated with given distribution is introduced by Lumiste's way. It is proved, that the curvature object is a tensor, which contains four subtensors.
УДК 514.75
Н. В. Виноградова, О. В. Воротникова, М. В. Кретов
(Балтийский федеральный университет им. И. Канта, г. Калининград)
ОБ ОДНОМ КОМПЛЕКСЕ ЭЛЛИПСОИДОВ В АФФИННОМ ПРОСТРАНСТВЕ
В трехмерном аффинном пространстве продолжается исследование комплексов (трехпараметрических семейств) эллипсоидов. Получены геометрические свойства одного из подклассов рассматриваемого многообразия фигур.
Ключевые слова: эллипсоид, аффинное пространство, комплекс, многообразие, репер, система уравнений Пфаффа, фокальное многообразие, асимптотические линии, индикатриса вектора.
Исследование ведется в репере R = { A,e1,e2,e3}, который характеризуется следующим образом: A — центр эллипсоида q, векторы (i, j, k = 1, 2, 3) направлены по тройке сопряженных
