CC BY
14
Список литературы
1. Шевченко Ю. И. Non-symmetric structure of adjoining spaces of a principal bundle // Proceedings of Joint International Scientific Conference «New Geometry of Nature». Kazan, 2003. P. 187—190.
2. Полякова К. В., Шевченко Ю. И. Способы Лаптева—Лумисте задания связности и горизонтальные векторы // Диф. геом. многообр. фигур. Калининград, 2012. Вып. 43. С. 114—121.
3. Номидзу К. Группы Ли и дифференциальная геометрия / пер. с англ. М., 1960.
K. Polyakova
Analytical and geometrical giving the affine connection
Analytical (by means of forms) and geometrical (by means of horizontal vectors) giving the affine connection are considered. New geometric interpretation of the curvature tensor is given.
УДК 514.76
К. В. Полякова, Ю. И. Шевченко
(Балтийский федеральный университет им. И. Канта, г. Калининград)
Способ Лаптева — Лумисте задания связности и горизонтальные векторы
Описаны два приема задания фундаментально-групповой связности в главном расслоении: способ Лаптева — Лумисте с помощью форм связности и двойственный способ с помощью горизонтальных векторов. Показана универсальность первого способа по сравнению со вторым.
Ключевые слова: фундаментально-групповая связность, формы связности, объект связности, объект кривизны, горизонтальные векторы, геометрическая связность.
Рассмотрим главное расслоение Ог (Мп), базой которого является п-мерное гладкое многообразие Мп, а типовым слоем служит г-членная группа Ли Ог. Структурные уравнения Г. Ф. Лаптева [1] расслоения Ог(Мп) имеют вид
ёю1 = ю} лю} (1,... = 1,п), (1)
Бюа = Сауюа люу + ю1 люа (а,... = п + 1,п + г), (2)
где Б — внешний дифференциал, С^у — структурные постоянные группы Ли Ог, удовлетворяющие условиям антисимметрии Су = -Са и тождествам Якоби
С? Са + С? Са + С? Са = 0
^ аг зе аз еУ а^ уз ~ ■ В главном расслоении Ог(Мп) зададим связность способом Лаптева — Лумисте [2; 3]. Преобразуем слоевые формы юа с помощью линейных комбинаций базисных форм а1
Ю = Ю — 11 Ю . (3)
Используя структурные уравнения (1), (2), дифференцируем формы с5а :
Бюа = Сруюа л юу + ю1 л (ёГа — Г}ю} + ю?). (4)
Преобразуем первое слагаемое, подставляя выражения слоевых форм из обозначения (3):
Сауюа люу = Сару {~а + Гаю1 )л (юу + Гую})=
= Саау{<аа л юу +Гаюг люу+юа лГуу ю} +Га ю' лГуу ю}).
Во втором и третьем слагаемых вернемся к исходным обозначениям и раскроем скобки:
Сару~а л ~у +Цаю1 л юар— СаруЦаГу ю1 л ю},
юар= 2Сауюу. (5)
Подставим результат в формулу (4):
Dcoa = CapYSp лЗг+ а1 л(дГ? + а?)- C^rfrJа1 ла} , (6)
где тензорный дифференциальный оператор действует обычным образом:
АГг а = drа - Г}ат] + Гpœap . (7)
Пользуясь теоремой Картана — Лаптева [2], получим дифференциальные уравнения объекта связности
ДГ?+ а ? = Г? а j . (8)
Подставим эти уравнения в структурные уравнения (6):
D~a = C? ~Р л ~Y + R?а1 л аj, (9)
где компоненты объекта кривизны фундаментально-групповой связности имеют вид
щ = Г«7 - с*гтРТ]. (10)
Утверждение 1. Фундаментально-групповая связность в главном расслоении Ог(Мп) задается полем объекта связности Га на базе Мп, компоненты которого удовлетворяют дифференциальным уравнениям (8). Объект фундаментально-групповой связности Г" определяет формы связности да (3) со структурными уравнениями (9), в которые входят компоненты объекта кривизны связности Щ, выражающиеся по формуле (10).
Расслоение Ог(Мп) есть специальное гладкое (п+г)-мер-ное многообразие, поэтому дифференциал йА точки А е Ог(Мп), описывающий ее смещение (см., напр., [4; 5]), определяется формулой
йА = дiei +даеа , (11)
где ei, еа — векторы подвижного репера 1-го порядка, на которые натянуто касательное пространство Тп+г = ,еа ] к рас-
слоению Ог(М„) в точке А. Из структурных уравнений (1)
видно, что система уравнений со1 = 0 вполне интегрируема. Она фиксирует точку базы Мп, иначе говоря, слой расслоения Ог (Мп ), проходящий через точку А. Формула (11) упрощается:
дА = Шаеа (д = с=о , юа =®"|с=о).
Следовательно, касательное пространство Тп+г содержит вертикальное пространство Тг = [еа ], касательное к слою в точке А .
Рассмотрим голономный случай [5], когда дифференциал йА полный, т.е. Б(йА) = 0. С помощью этого равенства продолжим дифференциальное уравнение (11):
йе, - Сге} - С еа = Сег] + юаеш , (12)
йеа - СУ ев = ш'еа1 + шв еф ; (13)
е[]] = 0 , е[,а] = 0 , е[ ар ] = 0 .
Так появляются векторы 2-го порядка (см., напр., [4; 5]), которые вместе с векторами 1-го порядка определяют соприкасающееся пространство
Т-2(п+г)(п+г+3) = \е1' еа е,], е,а, еар .
Упростим деривационную формулу (13):
йеа - сРЕар = Се а,, Еар = еар + Стареу . (14)
Предполагая полноту дифференциалов йеа, т. е. Б(йеа ) = 0, продолжим дифференциальные уравнения (141) и запишем результат в виде сравнений по модулю базисных и слоевых форм С , са:
йеш = -ю/еа + срЕар, йЕар = 0 . (15)
Рассмотрим геометрическую связность [6; 7] в главном расслоении Ог(Мп) . Преобразуем невертикальные векторы е, с помощью линейных комбинаций вертикальных векторов еа :
Ei = ei + Li е а •
Дифференцируем эти векторы с помощью деривационных формул (12, 14i):
dEt = œjE. + (dL - La œj + œ^ )ea + (16)
+œj (е. + Цеа] ) + са(еш + LßEßa ) •
Совокупность векторов Ei будет инвариантна в каждой точке расслоения Gr (Mn ) , если задать на нем поля r квазитензоров [2, с. 62]:
dLa -Ljaj + < = Lja] + Laßrnß . (17)
Подставим эти дифференциальные уравнения в деривационные формулы (16):
dEt = cjE. + CE. + саEiа ; (18)
Ej = еi. + Lie а + Це,а , E,а = е,а + LßEßa + Lßaeß . (19) Из формулы (18) следует
Утверждение 2. В каждой точке главного расслоения Gr(Mn) инвариантно горизонтальное подпространство Hn = [e, ], дополняющее вертикальное подпространство Tr до касательного пространства Tn+r : Tr © Hn = Tn+r.
Подставляя формы геометрической связности сса = са - La С в уравнения (141), получим
Vea = V,eaС ; (20)
Vea = dea-сßEaß , Ve = eœ + LßEaß . (21)
Учитывая соотношения (15, 17), найдем dVe а = с/V.е а .
Следовательно, ковариантные производные Viea образуют r тензоров, поэтому равенства Viea = 0 инвариантны. Согласно уравнениям (20) и обозначениям (21) они дают частный случай
eai = -L¡ Eap, dea = со pEaP . (22)
Замечание. Равенства (22j) могут выполняться лишь для специального расслоения Gr(Mn).
Удалим векторы Eap (142) из формулы (16):
dE = w]E1 + (dLa - La w] + Le с;y w + w* ) +
+w] (etj + L*ea]) + oa(eia + L^ePa).
Используем равенства (221) и условие симметрии eai = eia :
dEi = wjE] + (dLa - La] wj - 2L]C¡y + wa )ea +
+w] (e] + ). (23)
Если потребовать инвариантность совокупности горизонтальных векторов Ei не только при фиксации точки A е Gr (Mn), а уже при фиксации слоя, проходящего через точку А, то уравнения (17) и (23) дадут условие [2, с. 62]:
Laip= 2СаруЦ, (24)
которое получается также из предположения Eia = y¡ea .
Поскольку дифференциальные уравнения (17) при условии (24) совпадают с уравнениями (8), в которых используются обозначения (5), (7), то справедливо
Утверждение 3. Объект геометрической связности Lf при условии (24) становится объектом фундаментально-групповой связности ria.
Таким образом, справедлива
Теорема. Фундаментально-групповая связность в голо-номном главном расслоении Gr(Mn) задается с помощью горизонтальных векторов Ei = ei + Lfea, если их совокупность инвариантна при фиксации слоя, проходящего через точку А, к которой приложены векторы, и выполняется следующее условие в одной из трех эквивалентных форм:
— вертикальные векторы еа ковариантно постоянны относительно геометрической связности, определенной объектом Еа ;
— имеется зависимость между векторами 2-го порядка, т. е. векторы еа выражаются через векторы Еар по формуле (221);
— при параллельном перенесении вертикальных векторов в геометрической связности их смещения (222) принадлежат вертикальному соприкасающемуся пространству Т±г(г+3) = [ е а . Еар] = [ еа, Е(ар)], точнее, каждый вектор еа
смещается в (г+1)-мерном подпространстве [ еа ,Еар]а=Сот(.
Отметим, что при условиях (24), когда Ь" = Га , из выражений (19) базисных Еу и слоевых Еаа пфаффовых производных векторов Е1 имеем
Е[у] = Щеа , Еа = 0. (25)
Равенства (251) дают новую геометрическую интерпретацию объекта кривизны Еа, а равенства (252) означают задание поля векторов на базе Мп .
Список литературы
1. Лаптев Г. Ф. Структурные уравнения главного расслоенного многообразия // Тр. геом. семин. / ВИНИТИ. М., 1969. Т. 2. С. 161—178.
2. Евтушик Л. Е., Лумисте Ю. Г., Остиану Н. М., Широков А. П. Дифференциально-геометрические структуры на многообразиях // Пробл. геом. / ВИНИТИ. М., 1979. Т. 9. С. 5—247.
3. Шевченко Ю. И. Приемы Лаптева и Лумисте задания связности в главном расслоении // Диф. геом. многообр. фигур. Калининград, 2006. Вып. 37. С. 179—187.
4. Акивис М. А. Многомерная дифференциальная геометрия. Калинин, 1997.
5. Шевченко Ю. И. Оснащения голономных и неголономных гладких многообразий. Калининград, 1997.
6. Близникас В. И. Неголономное дифференцирование Ли и линейные связности в пространстве опорных элементов // Литовский мат. сб. 1966. Т. 6, № 2. С. 141—209.
7. Шевченко Ю. И. Связность в составном многообразии и ее продолжение // Диф. геом. многообр. фигур. Калининград, 1992. Вып. 23. С. 110—118.
K. Polyakova, Yu. Shevchenko Laptev — Lumiste's methods of giving connection and geometrical vectors
Two modes for the giving fundamental-group connection in a principal bundle are described: Laptev — Lumiste's method by means of connection forms and dual method by means of horizontal vectors. Universality of the first method in comparison with the second one is shown.
УДК 514.75
Ю. И. Попов
(Балтийский федеральный университет им. И. Канта, г. Калининград)
Нормальные связности касательно г-оснащенной гиперполосы Нт(Л) аффинного пространства
Дано задание нормальных центроаффинных связ-ностей гиперполосы Н^Л) и ее Л-, L-подрасслоений, а также внутренней (касательной) аффинной связности гиперполосы Н^Л). Построены тензоры кривизны этих связностей.
Ключевые слова: гиперполоса, связность, расслоение, тензор кривизны.
Схема использования индексов: 1^,К = 1,п; ,,],к,1 = 1,т ; р, q,t = 1,г ; а, Ь, с = г + 1,т ;
а,р,а = т +1,п -1; а,¡3 = т +1,п ; А,В = {а;а} ;
= {Р, а} ; А, В = {а,а,п} ; Р,(32 = {р,а,п} ; s = m-г.
