CC BY
28
Тензор кручения аналога связности Нейфельда на многообразии плоскостей
УДК 514.75
О. О. Белова
ТЕНЗОР КРУЧЕНИЯ АНАЛОГА СВЯЗНОСТИ НЕЙФЕЛЬДА
НА ГРАССМАНОПОДОБНОМ МНОГООБРАЗИИ ЦЕНТРИРОВАННЫХ ПЛОСКОСТЕЙ
В n-мерном проективном пространстве рассмотрено грассманоподоб-ное многообразие Gr*(m, n) центрированных плоскостей размерности т. Введен объект кручения индуцированной связности Нейфельда в расслое- jq^
нии над многообразием Gr (m, n). Показано, что данный объект образует тензор, содержащий один простейший и четыре простых подтензора.
This article considers the Grassmanian-like Gr (m, n) manifold of centered m-planes in the projective space Pn. A torsion object of the Neifeld connection is introduced in the fibering over the manifold Gr (m, n). It is shown that this object forms a tensor containing one elementary and four simple subtensors.
Ключевые слова: проективное пространство, грассманоподобное многообразие, связность Нейфельда, тензор кручения.
Key words: projective space, Grassmannian-like manifold, connection, Neifeld connection, torsion tensor.
Отнесем n-мерное проективное пространство Pn к подвижному реперу {A, Aj) (I, ... = 1, ..., n), инфинитезимальные перемещения которого определяются формулами
dA = 9A + ю1 AI, dAI =QAI + ю jAj +roI A,
причем формы Пфаффа raI, юI, raj удовлетворяют структурным уравнениям Картана проективной группы GP(n)
DroI = ю1 А ю j , DroI = ю1 AOj , DroJ = Ю| +SjroK ЛЮК +(Bj AroI . (1)
В пространстве Pn рассмотрим грассманоподобное многообразие Gr (m, n) [1] центрированных m-мерных плоскостей Lm . Помещаем вершины A, An на плоскость Lm и фиксируем центр А (индексы принимают значения: a, ... = 1, m; а, ... = m +1, n ). Уравнения ю" = Ла юа +ла юа являются уравнениями грассманоподобного многообразия Gr (m, n) центрированных плоскостей, причем компоненты Ла, Ла фундаментального объекта Л удовлетворяют дифференциальным сравнениям по модулю базисных форм юа, юа
дла+ла юь +юа - о, Aлаb - о. (2)
© Белова О. О., 2015
Вестник Балтийского федерального университета им. И. Канта. 2015. Вып. 4. С. 103—105.
О. О. Белова
104
Базисные формы удовлетворяют вытекающим из (1) структурным уравнениям
_ шР Л па + (Л яшР + Л йЬШ) л ша
Оюа + (л;юр + ЛрЬюр)лш:,
(3)
где
р _юр / 0йр _ойюр -ОрЮй, _-Ьрюй. (4)
Находим внешние дифференциалы от форм (4)
оца _ ц л^а+шу л^аУ+®а лпау, опар _ п1 лпау+шу л пар,+юу лпару, (5)
о^ар _ пЬр лпаь+прр лпаУ + ®а л©аУ,
где
ру _ЛуПйР -Ьршу -0ушр , пру _Лу пьр -0ушр, 0йРу _-Ау°йР -0й0ушр ,
^аЬс \Ъсг\а ^Ьеа^с ^с^а^Ь /^а
йРу _-Лу 0йр-ЬйЬушр-ЬйОршу , ®Ру _-Оршу .
Над грассманоподобным многообразием центрированных плоскостей От (т, и) возникает главное расслоение О (От ) со структурными уравнениями (3), (5), типовым слоем которого выступает группа Ли О , действующая в касательном пространстве к многообразию От . В главном расслоении О (От ) зададим аналог связности Нейфельда [2; 3]
способом Лаптева — Лумисте. Введем новые формы
Ла _ оа га „у т<м у
0Р _°р - Г руш - ЦуК , О аЬ _ г^аЬ т^аЬ у таЬс у /¿-ч
пйР_пйР Г йРуш ЬйРуюс, (6)
Г)а _ ("ча 1-т-а у /-'аЬ у "яр-^ йР ПйРуы ОйРуыЬ .
Связность Нейфельда в расслоении задается с помощью поля объ-
^а тай т^аЬ таЬс тта г^аЬ л Ру, ЬРу,Г йРу, ЬйРу,П йРу, ОйРу }
екта связности (Г _ (Г?у,ТР,ГйЬ,,Пару,Ой!} на базе От*(т, и) срав-
нениями (см. [4])
дГа - таа пц +па = 0 ДТай +пай =П ДГаЬ - ТаЬс О^ + 0аЬ = П ш Ру гйу Ру _ 0, дьру + 0 Ру 0 , ДГ йРу ЬйРцОсу+ОйРу = 0,
дтаЬс +паЬс = П ДПа - ОаЬ О^ - ГаЬ пц + гц 0а = П (7)
ДЬйРу+ПйРу= 0, йРу ОйРц°Ьу Г йцу°Ьр +Г рупйц = 0, (7)
АС^аЬ _ тасЬ л_7ЦЬг^а . яЬ^а _ ДОйРу Ьйцу0ср + Ьрупйц +°й^Ру = 0 .
Подставляя в структурные уравнения (3) базисных форм юа, ю^
многообразия От формы связности (6), приходим к следующим уравнениям:
Оюа _юрл0а + Б^ю" люу + БЦуюр люй + Б^юй люу,
Оюа _ юЬ лОар +юр лООар + Бйаруюр люу +
+БйарЬуЮРлЮу+ Бару юрлюу,
Тензор кручения аналога связности Нейфельда на многообразии плоскостей где компоненты объекта S выражаются по формулам
са _ -ра сай _ тай . д a caab _ _еа д Ya b П
SPy [Py]' SPy _ TPy+°yyVP' SPy _ °[РЛ у J '
га _ т-та cab _ r^ab _ -раЬ sabe _ та Гbc П
SaPy _ П a[Py]' SaPy _ GaPy 1 ayP ' SaPy _ Ta |_PyJ •
Здесь квадратные скобки означают альтернирование по крайним индексам и парам индексов.
Учитывая дифференциальные сравнения (2), (7) компонент фундаментального объекта Л и компонент объекта Г, приходим к следующим сравнениям по модулю базисных форм
ASPy + S[Py]® a = 0 ' ASPy + 2SPybarob = 0 ' ASPyab = 0' 105
ЛСа _i_cab са _ n iroi , ncacb га^ _ n \cabc cacb _n
ASaPy + Sa[Pyp b SP^ a- 0' ASaPy + 2SaPy ю с SPy ю a~ 0' ASaPy SP^C0 a~ 0.
Теорема 1. Объект кручения S индуцированной связности Нейфельда грассманоподобного многообразия Gr центрированных плоскостей является тензором, содержащим один простейший [5] подтензор S0 _ ^0уйЬ } и четыре
простых подтензора Бг _ [S^' Spa;b}, S2 _ {SOp^C ' Sp^}, S3 _ (Sp' S™, Spаyйb},
S _ (sab sabe sab sabe} S4 _ {SaPy' SaPy ' SPy ' SPy }.
Замечание. Подтензоры тензора кручения S подчиняются следующей схеме включений:
S4 з Si з S0 с S2
п п
S3 с S з S4.
Список литературы
1. Белова О. О. Связность в расслоении, ассоциированном с грассманоподобным многообразием центрированных плоскостей // Вестник ЧГПУ им. И. Я. Яковлева. Чебоксары, 2006. С. 18-20.
2. Норден А. П. Проективные метрики на грассмановых многообразиях // Изв. вузов. Мат. 1981. № 11. С. 80-83.
3. Малахальцев М. А. О внутренней геометрии связности Нейфельда // Там же. 1986. № 2. С. 67-69.
4. Белова О. О. Индуцирование связности Нейфельда на грассманоподоб-ном многообразии центрированных плоскостей // Диф. геом. многообр. фигур. Калининград, 2014. № 45. С. 23 — 29.
5. Шевченко Ю. И. Оснащения центропроективных многообразий. Калининград, 2000.
Об авторе
Ольга Олеговна Белова — канд. физ.-мат. наук, доц., Балтийский федеральный университет им. И. Канта, Калининград.
E-mail: [email protected]
About the author
Dr Olga Belova, Associate Professor, I. Kant Baltic Federal University, Kaliningrad.
E-mail: [email protected]
