CC BY
7
УДК 514.75
О. О. Белова
Балтийский федеральный университет им. И. Канта, Калининград olgaobelova@mail.ru
Тензор кривизны аналога связности Нейфельда на грассманоподобном многообразии центрированных плоскостей
Получены выражения объекта кривизны связности Нейфельда на грассманоподобном многообразии через компоненты объекта связности и фундаментального объекта 1-го порядка, а также пфаффовы производные компонент объекта связности. При нахождении дифференциальных сравнений, которым удовлетворяют компоненты объекта кривизны, учитывались четыре основные способа продолжений уравнений грассманоподобного многообразия центрированных плоскостей и один обобщающий способ. Показано, что в каждом из основных случаев объект кривизны связности Нейфельда является тензором, содержащим 2 простейших и 4 простых под-тензора. При использовании обобщающего способа в дифференциальных уравнениях компонент объекта кривизны связности Нейфельда появляется тензор, названный виртуальным, поскольку он обращается в нуль в основных случаях.
Ключевые слова: проективное пространство, грассманоподобное многообразие центрированных плоскостей, связность Нейфельда, кривизна, тензор, виртуальный тензор.
Отнесем «-мерное проективное пространство Рп к подвижному реперу { А,А1 } (I,... = 1, п), инфинитезимальные перемещения которого определяются формулами
СА = вА + со'А1, СА1 = 0А1 + С А/ + с1А,
© Белова О. О., 2015
причем формы Пфаффа а1, о/, со1 удовлетворяют структурным уравнениям Картана проективной группы ОР(п) (см.: [1]):
В> = > л>,, Ва, =о1 л>,
л 1 1 Л (1)
Ва\ =аК ла1к + 5]ак лак + а1 л С. В пространстве Рп рассмотрим грассманоподобное многообразие Gr*(m,п) [2] т-мерных центрированных плоскостей Ьт , которое задается уравнениями
о" = Л> а+Кьо: , (2)
где Л = {Л а, Л а } — фундаментальный объект 1-го порядка многообразия V* = Gr* (т, п).
Дифференцируя уравнения (2) внешним образом, получим
(ал а+л +>) л > -+лл аЬ л>+л а л; > л > + +ла лъусл>1=о,
где дифференциальный оператор Л действует следующим образом:
ЛЛаЬ =йЛаЬ + ЛсЬаа +Ла>ь -ЛаСас.
а а ас ас С а
В равенствах (3) можно группировать слагаемые четырьмя основными способами (см.: [3]):
Способ 1
(лла + л + - л;л> ) л > а + (ллаь+л ал>с ) л > = о.
При такой группировке после разрешения по лемме Карта-на получаем
ЛЛа +ЛаЬа,+аа -ЛСЛ>с =Л1 а>с +Л1 "С , (41)
а а Ь а ; а Ь а; а; Ь ' \
ЛЛа +ЛаЛъСаС =Л1 аЪ>; + Л1аЪСаС. (5!)
а а С с а; а; с \
Преобразуем уравнения (41, 51)
ал :+л +с=Л1 +(Л1 %+л; л ь с, ал:ь=Л1%с+(лГ;-лааль;)Сс.
Способ 2
(ал : +л +с) л с - + (ал :ь +л : л;с +л : л; с л с = о,
откуда после разрешения по лемме Картана получим
АЛ : +Л аЬс +с =Л2 аС + Л2 "р с; , (42)
а а Ь а ар ар Ь ' \
АЛаЬ + ЛаЛРсор + ЛаЛ;с = Л2аЬяс + Л2 "ре . (52)
а ар ар с ар ар с \ 2/
Можно преобразовать уравнения (52)
Алаь=(Л2ар-Л:Льр)с+(Л2р-л^рс.
Способ 3
(ал :+л :ьс + с - лр лс) л с а+(ал :ь - лр л с ) л с = о.
Разрешаем
ал: + Л:Ьс + с - лрлс = Л31С + Л3% с , (4з)
АЛ :ь-Л"Хс =Л3+Л3"рс . (5з) Преобразуем уравнения (43, 53)
АЛ : +Л+с=Л31У+ (Л3% +лрльаК ,
ал :ь =Л3 (Л3 % + лрл с. Способ 4
(АЛ : +л+с) л с а + (АЛ :ь +л:ЛХ -лрл >р лс; = 0.
Разрешаем
АЛ а +Л аЬа, + аа = Л4 "С + Л4 * ар , (44)
а а Ь а ар ар Ь ' \
АЛаЬ +ЛаЛрар -ЛРЛсЬар = Л4 арар +Л4 аЪрор . (54)
а ар р а с ар ар с \ 4/
Преобразуем уравнения (54)
АЛ аЬ = (Л 4% -Л а Лр)ср + (Л4 % +Л; Л СЬ )а? .
Во всех рассмотренных четырех способах выполняются условия симметрии
л/^ = 0, М%-м;Ьа = о, лгЩ = о. (6)
В равенствах (6) I = 1,...,4 , а квадратные скобки означают альтернирование по крайним индексам или их парам.
Обобщающий случай
Слагаемые, содержащие базисные формы, сразу переносятся в правую часть. Получаем
АЛ а+Л + С=Л %ср+Л % ср ,
ал аЬ=л %а+л ,
где только Л^ = 0 .
Утверждение. Фундаментальный объект 1-го порядка Л = {Л а, Л а} многообразия Gr*(m,п) образует на многообразии квазитензор, содержащий тензор Л а .
Базисные формы удовлетворяют вытекающим из (1) структурным уравнениям
Ваа = С лЖ + (Ла„ар + Лрар) л С,
р у р р Ь' а' (7)
ВСа=арлП ра +арлП;а,
где
о; = ©;, о; = si©; - s;©C, о; = -s;©a. (8)
Находим внешние дифференциалы от форм (8)
do; = о;; л о;: + ©ъ л о; + ©; л о£, (9) do; = Qpa л о* +о; л оаа+©а л 0;,
где
о 1=А.а о; -s;©a-s;©p,
о;а = а; о ; -s;©;, о;Ьа=-Аао;а -sis;©;,
Qabc А Ъо(~\ ; оЪ с ; ^c со о ; ^Ъ /тч ; <? ; ^
;ъа = -Аа о;а - s sа ©; - Sc S; ©ъ , 0;а = -S; ©а . Над грассманоподобным многообразием центрированных плоскостей Gr* (m, n) возникает главное расслоение L ( Gr* ) со структурными уравнениями (7, 9), типовым слоем которого
является группа Ли L, действующая в касательном простран-
**
стве к многообразию Gr . В главном расслоении L ( Gr ) зададим аналог связности Нейфельда [4; 5] способом Лаптева — Лумисте.
Введем новые формы
о; = о;- г;©©а- l;;©;,
о; =о;а - г;©- l%©; (10)
о ; =о ; - п;аа©ъ- g;©.
Связность в главном расслоении L (Ог ) задается с помощью поля объекта связности Г={ Г» , , Гр, Щаг, О^ }
на базе Ог* (т,п) уравнениями (см.: [6])
лг;7 - Lрауа + ару = + грф, лр +ар = La;ry+ L^rt,
д r> ab j abe s-\ ц , /-\ ab _ т~< ab ц , 7-» abe ц
Л рау - Lаац ye ~+^1рау - 1 рауцФ + 1 рауцФ e ,
а 7" abe . abe тabe „ц i 7"abee Л/,- + Ü о = La Ф + La Ф ,
рау рау рауц рауц e '
лп;аГ - ор^ац - гЩурц + Г цац - П^ + нр^,
Aoat - е^ар + + s^ - о^ + о;ьаум фц .
Подставляя дифференциальные уравнения компонент объекта Г в выражения внешних дифференциалов форм (10), получим структурные уравнения форм связности
Dар = ар Л ау+ R^ Лфц + R^ Л ФЦ + Я^ф Л ФЦ ,
dар -ар лау + r^ лфц + ярЩфу лфц + яруф лфц, d а a - а рь л а % +а р л а аа + я^ф у лфц + K ф ' л фц + +кр^ь лф,
na naa naab nab nabe nabee na
где компоненты Яруц , Яруц , Яруц , Ярауц , Ярауц , Ярауц , Ярауц ,
K^bw, объекта кривизны R связности Нейфельда выра-
жаются по следующим формулам:
na _т—a - т—a т—v
Яруц -1 р[уц] +1 ^[у1 рц],
naa _-paa jaa . тца -pia r^V jaa r^a д а
Яруц руц~ Lрцу + /рц1 w-1 ргчц -1 рц1Уу,
naab _ ja Г ab . ja Г a j^b . т-a д lab
Яруц - '^рУуц^ LvlyLPu]+1 р\у1У ц
г> аЪ _т—| аЪ . -р"ас т^'Ъ
КраГМ _ 1 ра[у/] + 1 '[у1 рс/],
П аЪс _1 аЪс таЪс + -цЪс 1 ае таес 1 аЪ а с
рау/л рау/л ра/у ре/ 'ау реу 'а/ ра/ у'
П аЪсе _ таЪ Г се . тай Г с 7"'Ъе П . р<аЪ д
К(ауМ _ Т(а 1у/\+ ЬЩ [у ТРй/ \ + 1 Ра \г_ДД ,
Па _ — а ,-раЪ — ' + — а 1 '
(аул Ра[ул] Г1а\у рЪлЛ] ^у1 (/]■>
к аЪ _— аЪ о аЪ + О' 1 ас р' о аЪ + —Ъ — а
рау/л рау/л ра/у (с/ 'ау ру 'а/ р/л 'ау
тасЪ _ — а дЪ 11 рсу^'а/ 11 ра/ V '
аЪс а ГЪс "I . тае Г Ъ пс т' Г Ъ ас . рг а а \Ъс
аЪс _ а ГЪс!, тае Г Ъ 'с т' Г Ъ ас . рг а д
Крауи _ Ора 1у/\+ Ь'а _ у Оре/ _| _ -р_у ОщМ ] + —ра |уД
/
При нахождении дифференциальных сравнений для компонент объекта кривизны я связности Нейфельда используются продолжения уравнений компонент объекта связности Г, уравнения (4, 5) и учитываются условия симметрии (6). Эти сравнения для случаев 1—4 имеют вид
+ ярук - 0, Аяр/ + 2Я;ЬГ;©Ъ - о, Я/ - о,
мру + Яру^ - о, АЯру + 2Ярауе - 0, Аяру - 0, ^ярат + (крьаш + яру _8ьаярткъ- о, (11)
жру + (2кру + яру _ 5саярьу/к - 0,
Акру+ (яру_з;яук - 0.
Несмотря на различия продолжений уравнений компонент объекта связности Г дифференциальные сравнения компонент объекта кривизны в любом из четырех случаев имеют вид (11), откуда следует
Теорема. Объект кривизны я связности Нейфельда на грассманоподобном многообразии V = Ог (т, п) является тензором, содержащим 2 простейших [7] подтензора {яр/ },
{R;ba;; } и 4 простых подтензора R;, }, {R^, R», },
{ г> аЬc г> аЬec л с г> аЬ г> аЬc г> аЬec л {-"-рауц , Rpay]л } , {'Крауи , ^ауи , ^ауи } .
Для обобщающего случая часть дифференциальных сравнений (11) принимает более общий вид
ar;;+(2r; - ¿Ж: к - о, ar;;; - ¿;m;:k - о,
р; У р; ; ;;> Ь ' ;;; ; ;;
Р; + (R; + к - о, ar;; + ¿;m;k
(12)
где
Л /Т°Ь \ ab \ ab A a А Ь abc a a licn . a А Ьс H
M ар - VV ар ра VVpa , M ар ~ 1V\ap J + VVjaVV ; J •
Компоненты введенного объекта M = [M р,M;} удовлетворяют дифференциальным сравнениям
Ж - 2MрРЬСкс - о, AMp - 0.
Таким образом, М является тензором, содержащим подтен-зор [M apc} • Назовем М виртуальным тензором, так как в каждом из четырех рассмотренных случаев он обращается в нуль. Тогда дифференциальные сравнения (12) превращаются в соответствующие сравнения из системы (11).
Список литературы
1. Шевченко Ю. И. О структурных уравнениях проективной группы // Диф. геом. многообр. фигур. Калининград, 2000. Вып. 31. С. 93—100.
2. Белова О. О. Связность в расслоении, ассоциированном с грассманоподобным многообразием центрированных плоскостей // Вестник ЧГПУ им. И. Я. Яковлева. 2006. № 5 (52) С. 18—20.
3. Белова О. О. Тензор кривизны в расслоении над грассманопо-добным многообразием центрированных плоскостей // Диф. геом. многообр. фигур. Калининград, 2009. Вып. 40. С. 18—28.
4. Норден А. П. Проективные метрики на грассмановых многообразиях // Изв. вузов. Матем. 1981. № 11. С. 80—83.
5. Малахальцев М.А. О внутренней геометрии связности Ней-фельда // Там же. 1986. № 2. С. 67—69.
6. Белова О. О. Индуцирование аналога связности Нейфельда на грассманподобном многообразии центрированных плоскостей // Диф. геом. многообр. фигур. Калининград, 2014. Вып. 45. С. 23—29.
7. Шевченко Ю. И. Оснащения центропроективных многообразий. Калининград, 2000.
0. Belova
The curvature tensor of an analog of Neifeld's connection on the Grassman-like manifold of centered planes
The expression of the curvature object of Neifeld's connection on the Grassman-like manifold of centered planes by the components of the connection object, fundamental object of the 1st order and phaffian derivatives of the components of connection object are obtained. Finding the differential comparisons which components of curvature object satisfy we take into account four basic ways and one generalizing way of continuations of the equations for the Grassman-like manifold of centered planes. It is shown, that in every basic case the curvature object of Neifeld's connection is a tensor. It contains 2 elementary and 4 simple subtensors. Using a generalizing way we have a tensor in the differential equations for the components of curvature object. This tensor is called virtual as it vanishes in the basic cases.
УДК 514.76
К. М. Буданов
Пензенский государственный университет ko13bud@rambler. ш
Инфинитезимальные аффинные преобразования
расслоения Вейля второго порядка со связностью полного лифта над максимально подвижным пространством
Получено каноническое разложение произвольного инфи-нитезимального аффинного преобразования расслоения Вейля второго порядка со связностью полного лифта над максимально подвижным пространством.
© Буданов К. М., 2015
