Индуцированная связность Нейфельда на центрированном многообразии Грассмана Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 514.75

О. О. Белова

Балтийский федеральный университет им. И. Канта, Калининград

Индуцированная связность Нейфельда на центрированном многообразии Грассмана

В п-мерном проективном пространстве рассмотрено центрированное многообразие Грассмана (семейство плоскостей, проходящих через одну точку). Над ним возникает главное расслоение касательных линейных реперов, типовым слоем которого является линейная группа, действующая в касательном пространстве к центрированному многообразию Грассмана. В этом расслоении задается связность Нейфельда. Показано, что объекты кривизны и кручения связности Нейфельда — тензоры. Доказано, что оснащение Бортолотти индуцирует данную связность.

Ключевые слова: проективное пространство, центрированное многообразие Грассмана, главное расслоение, оснащение Бортолот-ти, связность Нейфельда, тензор кручения, тензор кривизны.

Отнесем «-мерное проективное пространство Рп к подвижному реперу { Л,Л1 } (I,... = 1, п), инфинитезимальные перемещения которого определяются формулами

ёЛ = вЛ + а>1Л1, С1Л1 = 9Л1 + a}JIЛJ + т}Л, (1)

причем формы Пфаффа а1, ^ , а1 удовлетворяют структурным уравнениям Картана проективной группы ОР(п) [1]

Вт1 =а л а, Вт1 =а ,

I К I I К I (2)

= т_] лтК + 5_1тК л а + а_1 л а .

В пространстве Рп рассмотрим центрированное многообразие Грассмана V *, то есть многообразие всех га-мерных

плоскостей Ьт , проходящих через фиксированную точку. Произведем специализацию подвижного репера {Л,Ла,Ла} (а,... = 1, т ; а,... = т +1, п), помещая вершину Л в данную точку, а вершины Ла — на центрированную плоскость Ьт = [Л,Ла] . При фиксации точки Л получим тождество С = 0. Из формул (1) следует, что формы с а базисными. Они удовлетворяют вытекающим из выражений (2) структурным уравнениям

Бса = сЦлПаар, (3)

где

^аЪ ей а са,, Ь /л \

ар=3аср~3рса . (4)

Находим внешние дифференциалы от форм (4)

= л и- + % л , (5)

г^аЪс сЪ с а с са сс Ъ

где исфу =~°а -Орда % .

Над центрированным многообразием Грассмана V * возникает главное расслоение касательных линейных реперов L (V *) со структурными уравнениями (3), (5). Типовым слоем расслоения L (V *) является линейная группа, действующая в касательном пространстве к многообразию V*. В главном расслоении L (V*) зададим связность Нейфельда [2; 3] способом Лаптева — Лумисте.

Замечание. Термин «связность Нейфельда» предложен А. П. Норденом [4].

Введем новые формы

иаЬ = иаЬ - гаЬьс %. (6)

ар ар ару с V '

Рассмотрим дифференциалы форм (6)

О и"Ь = л иас + % л (АГаЪс + иаЬс) -

ар ср ау с V ару ару '

-ГПЪс Г% % Л % . (7)

Связность в главном расслоении L (V *) задается с помощью поля объекта связности Г = { Г^ } на базе V * уравнениями

лг^ + q^=ra;d , (8)

где оператор Л действует следующим образом:

л -j-'abc .JT^abc . T^abd c . T^adc b . т-'ubc a ЛГаЦу = drafiy + Гфу юd + Гфу юd + Гфу % -

- Г fof - rabc cfR - nbc % .

ap^ y сщу в dpy a

Осуществим оснащение Бортолотти центрированного многообразия Грассмана V *, которое состоит в присоединении к каждой га-плоскости Lm многообразия V * (n - m-1)-плоскости Pn-m-l, не имеющей общих точек с плоскостью Lm . Плоскость Pn-m-1 зададим системой точек Ba = Aa + AaaAa. Дифференциалы базисных точек оснащающей плоскости Pn _ïï-1 имеют следующий вид:

dBa = (юв + Xba%l)Bp + (ЛГа + юа - л;ы)Aa.

Требуя относительную инвариантность плоскости Pn-m-1, получим

лла + ю; = лав юв. (9)

Оснащение Бортолотти, задаваемое полем квазитензора { Ла } на многообразии V *, позволяет охватить компоненты объекта связности Г

rabc sb s a nc са cc ib

a = —о О Ла — О „О Л .

apy a у в в a у

Эти функции в силу уравнений (9) удовлетворяют дифференциальным уравнениям (8). Таким образом, справедлива

Теорема 1. Оснащение Бортолотти центрированного многообразия Грассмана индуцирует связность Нейфельда в ассоциированном расслоении L (V *).

Подставляя в уравнения (3) базисных форм юаа формы связности (6), получим

Dœaa = оЦлй% + Sfîrf ко*,

<?abc _ т-i aibc где Sapr =V a\Py .

Учитывая дифференциальные сравнения (7) компонент объекта связности Г, приходим к следующим сравнениям по модулю базисных форм:

AS?* - 0 (mod <).

Теорема 2. Объект кручения S = [S"pCr} связности Ней-

фельда Г является тензором.

Учитывая в уравнениях (7) уравнения (8), находим

D QahR = QyhK л Я"* + Rf С л С,

ap cp ay apy/u c d '

Л r>abcd т-< a bVcd где RaPrn ~Г ap\rv

_ r^bVc г aed

e\r aqfi

Продолжая уравнения (8), получим

л yabcd . yabd c . yadc b . yabc d . yabc d АГаРу, + Гсфу + Гсфу + Cy + Гm _

са т-tnbc d cd т-гabc e r\ _дМГавг% _ дa ГеЦу - 0,

л r>abcd p.

поэтому ARa\rM - 0 .

Теорема 3. Объект кривизны R = {RO'pyfl} связности Ней-фельда Г является тензором.

Список литературы

1. Шевченко Ю. И. Оснащения центропроективных многообразий. Калининград, 2000.

2. Норден А. П. Проективные метрики на грассмановых многообразиях // Изв. вузов. Матем. 1981. № 11. С. 80—83.

3. Малахальцев М.А. О внутренней геометрии связности Ней-фельда // Там же. 1986. № 2. С. 67—69.

4. Норден А. П. Теория композиций // Проблемы геом. Итоги науки и техн. ВИНИТИ АН СССР. М., 1978. Т. 10. С. 117—145.

O. Belova

Induced Neifeld connection on the centered Grassman manifold

The centered Grassman manifold (the family of the planes passing through one point) is considered in the и-dimensional projective space. Principal fiber bundle of tangent linear frames is arised above it, typical

fiber of it is the linear group acting in the tangent space to the centered Grassman manifold. Neifeld connection is given in this fibering. It is shown, that the curvature and torsion objects of Neifeld connection are tensors. It is proved, that the Bortolotti's clothing of Grassman manifold induces this connection.

УДК 514.76

М. А. Белозерова, Ю. И. Попов

Балтийский федеральный университет им. И. Канта, Калининград

Соответствия Бомпьяни — Пантази, порождаемые ^-распределением аффинного пространства

Рассматривается гиперполосное ^-распределение аффинного пространства, состоящее из базисного распределения (п-2)-мерных линейных элементов Лп-2 и оснащающего распределения гиперплоскостных элементов Нп-1, с отношением инцидентности их соответствующих элементов в общем центре А следующего вида:

А е Лт с Нп-1. Дано задание ^-распределения в репере 1-го порядка и доказана теорема существования. Установлены соответствия Бомпьяни — Пантази между нормалями 1, 2-го рода основных структурных Л-, Ь-, Н-подрасслоений ^-распределения.

Ключевые слова: аффинное пространство, гиперполосное распределение, оснащение, соответствия Бомпьяни — Пантази, нормаль Алшибая.

Во всей работе придерживаемся следующих обозначений: 1. Индексы принимают значения

I, J,K,... = 1,n ; i, j,k,... = 1,n -2; а,в,у,... = {n-1,n}; a,b,c,... = {i,n -1}. 2. Оператор V действует по следующему закону: