Научная статья на тему 'Параллельные перенесения направлений на грассманоподобном многообразии центрированных плоскостей'

Параллельные перенесения направлений на грассманоподобном многообразии центрированных плоскостей Текст научной статьи по специальности «Математика»

CC BY
86
23
i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.
Ключевые слова
ПРОЕКТИВНОЕ ПРОСТРАНСТВО / ГРАССМАНОПОДОБНОЕ МНОГООБРАЗИЕ / СВЯЗНОСТЬ / КОВАРИАНТНЫЙ ДИФФЕРЕНЦИАЛ / ПАРАЛЛЕЛЬНОЕ ПЕРЕНЕСЕНИЕ / PROJECTIVE SPACE / GRASSMANN-LIKE MANIFOLD / CONNECTION / COVARIANT DIFFERENTIAL / PARALLEL DISPLACEMENT

Аннотация научной статьи по математике, автор научной работы — Белова Ольга Олеговна

В многомерном проективном пространстве рассмотрено грассманоподобное многообразие центрированных плоскостей. Изученыпараллельные перенесения направлений на данном многообразии.

i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.
iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.
i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.

Parallel displacements of directions on the Grassmann-like manifold of centered planes

In projective space the Grassmann-like manifold of centered planes is considered. Parallel displacements of directions on this manifold are studied.

Текст научной работы на тему «Параллельные перенесения направлений на грассманоподобном многообразии центрированных плоскостей»

УДК 514.75

О. О. Белова

ПАРАЛЛЕЛЬНЫЕ ПЕРЕНЕСЕНИЯ НАПРАВЛЕНИЙ

НА ГРАССМАНОПОДОБНОМ МНОГООБРАЗИИ ЦЕНТРИРОВАННЫХ ПЛОСКОСТЕЙ

В многомерном проективном пространстве рассмотрено грассма-ноподобное многообразие центрированных плоскостей. Изучены параллельные перенесения направлений на данном многообразии.

In projective space the Grassmann-like manifold of centered planes is considered. Parallel displacements of directions on this manifold are studied.

Ключевые слова: проективное пространство, грассманоподобное многообразие, связность, ковариантный дифференциал, параллельное перенесение.

Key words: projective space, Grassmann-like manifold, connection, covariant differential, parallel displacement.

Отнесем n-мерное проективное пространство Pn к подвижному реперу {A, AI} (I, ... = 1, ..., n), инфинитезимальные перемещения которого определяются формулами

dA = 9A + roIAI, dAI =9AI +roJAj +roIA,

причем формы Пфаффа ю1, ю1, roJ удовлетворяют структурным уравнениям Картана проективной группы GP(n)

Do1 =roJ лю|, DroI = ю{ aoj, DroJ = Oj лю^ +5jroK люк +Oj лю1.

В пространстве Pn рассмотрим грассманоподобное многообразие Gr (m, n) центрированных m-мерных плоскостей Lm . Помещаем вершины A, An на плоскость Lm и фиксируем центр А (здесь и в дальнейшем индексы принимают значения: a, ... = 1, m; а, ... = m +1, n ). Грассманоподобное многообразие Gr (m, n) [1] центрированных плоскостей задается уравнениями

„я Л a а , a abа Ю =ЛаЮ +ЛаЮЬ ,

где Ла, Л а — некоторые функции; формы юа, юа — базисные формы данного многообразия; dim Gr (m, n) = (n —m)(m+1).

Компоненты фундаментального объекта Л = {Ла, Л'ОЬ} удовлетворяют дифференциальным сравнениям по модулю базисных форм юа, юа

дЛа+Лаь юь +юа - о, дЛаь - о.

57

© Белова О.О., 2013

Вестник Балтийского федерального университета им. И. Канта. 2013. Вып. 10. С. 57-59.

58

Над многообразием Єт (т, и) возникает главное расслоение Є (т (т, и)), типовым слоем которого является подгруппа стационарности Є центрированной плоскости Ьт .

В главном расслоении задается фундаментально-групповая связность по Г. Ф. Лаптеву:

~ а _ а т^а ,а тйс а ~ а _ а у а у таа„ У

СОь шь 1 Ьаш ТЬашс , шр шр 1 руш Труша ,

~ а _ а -ра р таЬ р ~ т а тгЬ а

ша ша 1 ар® ТаршЬ , Ша ша Тааш ПаашЬ ,

ша =®а - ^ар°р - ПЬршЙ .

Связность в ассоциированном расслоении Є (Єт (т, и)) определяется с помощью поля объекта связности

1 {іа тас іа т аа іа таЬ т Ь т а }

1 _ {1 Ьа, тЬа, 1 ру, тру, 1 ар, тар, таа, Паа, тар, Пар }

на базе Єт (т, и).

Осуществим аналог сильной нормализации Нордена [2] данного многообразия полями следующих геометрических образов: (и - т - 1)-плоскостью Си-т-1, не имеющей общих точек с плоскостью

Тт, и (т - 1)-плоскостью Ыт-1, принадлежащей плоскости Тт и не проходящей через ее центр. Плоскость Си-т-1 зададим совокупностью точек Ва _ Аа + ^аАа + ХаА, а плоскость Ыт-1 — точками Вй _ Ай + ХйА .

Теорема 1. Аналог сильной нормализации Нордена грассманоподобного многообразия Єт (т, и) позволяет задать связность в ассоциированном расслоении [1].

Рассмотрим прямую, проходящую через точку А и лежащую в плоскости Ьт . Она пересекает аналог нормали 2-го рода Ыт-1 в точке В _ Ц“Ва _ (Аа + ХяA), причт (см. [3])

дХ а +Оа _Х аа® + ХааООЬ ,

д^а+®а _ ха р®р+хаЬршр, дха +ха ®а+®а _ Хар®р+Х а р®р.

Находим дифференциал точки В

ав _ [е + ((-Ха + цЬ^Ь )®а - ЛаЬХсшЬ)^ в + )аВа + Ца [Ха®а + ®а ] Ва +

+ ^а [(Хаа +ХаХЬЦЬ -ХаХа)ша + (ХЙь -ХаХсЛЬЬ -8Йць)шЬ

А,

где =Х“ -Л®, ца =ха-хйх“.

Так как обращение в нуль ковариантного дифференциала геометрического объекта ц задает параллельное перенесение в некоторой связности Г, определенной этим объектом [4; 5], то справедлива

Теорема 2. Прямая АВ с 1т, определяемая точкой В е Ыт-1, переносится параллельно в плоскостной линейной связности Г = (Г®а, 1аьса} тогда и

только тогда, когда точка В смещается в плоскости Pn-m+1 = Nn-m + В, где Nn-m = A + Cn_m_1 — аналог нормали 1-го рода.

Замечание. Аналогичное перенесение на поверхности рассматривал Норден [2].

Возьмем нормальную прямую АС, пересекающую аналог плоскости

Картана С„_т_1 с Nn_m в точке C = ЦаВа = Ца (А-а +KAa + ХаA) .

Находим дифференциал точки С

dc = [9 - (л;X„+) юр - лЬяхьюЦ ] С+УцаВа +

+н“ [( Р -ХаН| ) +(х0р + ХаЛ рР -Х[5Х а)юЬ \ +

+Ца [( -ХйX^p +X„ХаЦ Яр -ХаХ р ) 0^ + (Х^ -XbXjOP -ХьХаЛ ^ -^Ц рЦ \ .

Теорема 3. Прямая AC с Nn-m, определяемая точкой С е Cn-m-1, переносится параллельно в нормальной линейной связности Г = {Г ау, LаЯ} тогда и

только тогда, когда точка С смещается в плоскости Pm+1 = Lm + C .

Замечание. Аналогичное перенесение на поверхности рассматривал Чакмазян [6].

Список литературы

1. Белова О. О. Связность в расслоении, ассоциированном с грассманопо-добным многообразием центрированных плоскостей / / Вестник ЧГПУ им. И. Я. Яковлева. Чебоксары, 2006. С. 18 — 20.

2. Норден А. П. Пространства аффинной связности. М., 1976.

3. Белова О. О. Связность 2-го типа в расслоении, ассоциированном с грасс-маноподобным многообразием центрированных плоскостей / / Диф. геом. многообр. фигур. Калининград, 2007. № 38. С. 6 — 12.

4. Шевченко Ю. И. Параллельные перенесения на поверхности // Там же. 1979. № 10. С. 154—158.

5. Полякова К. В. Параллельные перенесения направлений вдоль поверхности проективного пространства // Там же. 1996. № 27. С. 63 — 70.

6. Чакмазян А. В. Связность в нормальных расслоениях нормализованного подмногообразия Vm в Pn // Проблемы геометрии / ВИНИТИ. М., 1978. Т. 10. С. 55 — 74.

Об авторе

Ольга Олеговна Белова — канд. физ.-мат. наук, доц., Балтийский федеральный университет им. И. Канта, Калининград.

E-mail: [email protected]

About the author

Dr Olga Belova — Ass. Prof., I. Kant Baltic Federal University, Kaliningrad. E-mail: [email protected]

i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.