CC BY
25
УДК 514.75
О. О. Белова
ПАРАЛЛЕЛЬНЫЕ ПЕРЕНЕСЕНИЯ НАПРАВЛЕНИЙ
НА ГРАССМАНОПОДОБНОМ МНОГООБРАЗИИ ЦЕНТРИРОВАННЫХ ПЛОСКОСТЕЙ
В многомерном проективном пространстве рассмотрено грассма-ноподобное многообразие центрированных плоскостей. Изучены параллельные перенесения направлений на данном многообразии.
In projective space the Grassmann-like manifold of centered planes is considered. Parallel displacements of directions on this manifold are studied.
Ключевые слова: проективное пространство, грассманоподобное многообразие, связность, ковариантный дифференциал, параллельное перенесение.
Key words: projective space, Grassmann-like manifold, connection, covariant differential, parallel displacement.
Отнесем n-мерное проективное пространство Pn к подвижному реперу {A, AI} (I, ... = 1, ..., n), инфинитезимальные перемещения которого определяются формулами
dA = 9A + roIAI, dAI =9AI +roJAj +roIA,
причем формы Пфаффа ю1, ю1, roJ удовлетворяют структурным уравнениям Картана проективной группы GP(n)
Do1 =roJ лю|, DroI = ю{ aoj, DroJ = Oj лю^ +5jroK люк +Oj лю1.
В пространстве Pn рассмотрим грассманоподобное многообразие Gr (m, n) центрированных m-мерных плоскостей Lm . Помещаем вершины A, An на плоскость Lm и фиксируем центр А (здесь и в дальнейшем индексы принимают значения: a, ... = 1, m; а, ... = m +1, n ). Грассманоподобное многообразие Gr (m, n) [1] центрированных плоскостей задается уравнениями
„я Л a а , a abа Ю =ЛаЮ +ЛаЮЬ ,
где Ла, Л а — некоторые функции; формы юа, юа — базисные формы данного многообразия; dim Gr (m, n) = (n —m)(m+1).
Компоненты фундаментального объекта Л = {Ла, Л'ОЬ} удовлетворяют дифференциальным сравнениям по модулю базисных форм юа, юа
дЛа+Лаь юь +юа - о, дЛаь - о.
57
© Белова О.О., 2013
Вестник Балтийского федерального университета им. И. Канта. 2013. Вып. 10. С. 57-59.
58
Над многообразием Єт (т, и) возникает главное расслоение Є (т (т, и)), типовым слоем которого является подгруппа стационарности Є центрированной плоскости Ьт .
В главном расслоении задается фундаментально-групповая связность по Г. Ф. Лаптеву:
~ а _ а т^а ,а тйс а ~ а _ а у а у таа„ У
СОь шь 1 Ьаш ТЬашс , шр шр 1 руш Труша ,
~ а _ а -ра р таЬ р ~ т а тгЬ а
ша ша 1 ар® ТаршЬ , Ша ша Тааш ПаашЬ ,
ша =®а - ^ар°р - ПЬршЙ .
Связность в ассоциированном расслоении Є (Єт (т, и)) определяется с помощью поля объекта связности
1 {іа тас іа т аа іа таЬ т Ь т а }
1 _ {1 Ьа, тЬа, 1 ру, тру, 1 ар, тар, таа, Паа, тар, Пар }
на базе Єт (т, и).
Осуществим аналог сильной нормализации Нордена [2] данного многообразия полями следующих геометрических образов: (и - т - 1)-плоскостью Си-т-1, не имеющей общих точек с плоскостью
Тт, и (т - 1)-плоскостью Ыт-1, принадлежащей плоскости Тт и не проходящей через ее центр. Плоскость Си-т-1 зададим совокупностью точек Ва _ Аа + ^аАа + ХаА, а плоскость Ыт-1 — точками Вй _ Ай + ХйА .
Теорема 1. Аналог сильной нормализации Нордена грассманоподобного многообразия Єт (т, и) позволяет задать связность в ассоциированном расслоении [1].
Рассмотрим прямую, проходящую через точку А и лежащую в плоскости Ьт . Она пересекает аналог нормали 2-го рода Ыт-1 в точке В _ Ц“Ва _ (Аа + ХяA), причт (см. [3])
дХ а +Оа _Х аа® + ХааООЬ ,
д^а+®а _ ха р®р+хаЬршр, дха +ха ®а+®а _ Хар®р+Х а р®р.
Находим дифференциал точки В
ав _ [е + ((-Ха + цЬ^Ь )®а - ЛаЬХсшЬ)^ в + )аВа + Ца [Ха®а + ®а ] Ва +
+ ^а [(Хаа +ХаХЬЦЬ -ХаХа)ша + (ХЙь -ХаХсЛЬЬ -8Йць)шЬ
А,
где =Х“ -Л®, ца =ха-хйх“.
Так как обращение в нуль ковариантного дифференциала геометрического объекта ц задает параллельное перенесение в некоторой связности Г, определенной этим объектом [4; 5], то справедлива
Теорема 2. Прямая АВ с 1т, определяемая точкой В е Ыт-1, переносится параллельно в плоскостной линейной связности Г = (Г®а, 1аьса} тогда и
только тогда, когда точка В смещается в плоскости Pn-m+1 = Nn-m + В, где Nn-m = A + Cn_m_1 — аналог нормали 1-го рода.
Замечание. Аналогичное перенесение на поверхности рассматривал Норден [2].
Возьмем нормальную прямую АС, пересекающую аналог плоскости
Картана С„_т_1 с Nn_m в точке C = ЦаВа = Ца (А-а +KAa + ХаA) .
Находим дифференциал точки С
dc = [9 - (л;X„+) юр - лЬяхьюЦ ] С+УцаВа +
+н“ [( Р -ХаН| ) +(х0р + ХаЛ рР -Х[5Х а)юЬ \ +
+Ца [( -ХйX^p +X„ХаЦ Яр -ХаХ р ) 0^ + (Х^ -XbXjOP -ХьХаЛ ^ -^Ц рЦ \ .
Теорема 3. Прямая AC с Nn-m, определяемая точкой С е Cn-m-1, переносится параллельно в нормальной линейной связности Г = {Г ау, LаЯ} тогда и
только тогда, когда точка С смещается в плоскости Pm+1 = Lm + C .
Замечание. Аналогичное перенесение на поверхности рассматривал Чакмазян [6].
Список литературы
1. Белова О. О. Связность в расслоении, ассоциированном с грассманопо-добным многообразием центрированных плоскостей / / Вестник ЧГПУ им. И. Я. Яковлева. Чебоксары, 2006. С. 18 — 20.
2. Норден А. П. Пространства аффинной связности. М., 1976.
3. Белова О. О. Связность 2-го типа в расслоении, ассоциированном с грасс-маноподобным многообразием центрированных плоскостей / / Диф. геом. многообр. фигур. Калининград, 2007. № 38. С. 6 — 12.
4. Шевченко Ю. И. Параллельные перенесения на поверхности // Там же. 1979. № 10. С. 154—158.
5. Полякова К. В. Параллельные перенесения направлений вдоль поверхности проективного пространства // Там же. 1996. № 27. С. 63 — 70.
6. Чакмазян А. В. Связность в нормальных расслоениях нормализованного подмногообразия Vm в Pn // Проблемы геометрии / ВИНИТИ. М., 1978. Т. 10. С. 55 — 74.
Об авторе
Ольга Олеговна Белова — канд. физ.-мат. наук, доц., Балтийский федеральный университет им. И. Канта, Калининград.
E-mail: olgaobelova@mail.ru
About the author
Dr Olga Belova — Ass. Prof., I. Kant Baltic Federal University, Kaliningrad. E-mail: olgaobelova@mail.ru
