CC BY
8
УДК 514.75
О. О. Белова
(Российский государственный университет им. И. Канта, Калининград)
ПУЧОК СВЯЗНОСТЕЙ 1-го ТИПА, ИНДУЦИРОВАННЫЙ АНАЛОГОМ СИЛЬНОЙ НОРМАЛИЗАЦИИ НОРДЕНА ГРАССМАНОПОДОБНОГО МНОГООБРАЗИЯ ЦЕНТРИРОВАННЫХ ПЛОСКОСТЕЙ
В проективном пространстве рассмотрено грассма-ноподобное многообразие центрированных плоскостей. В главном расслоении задана фундаментально-групповая связность. Доказано, что аналог сильной нормализации Нордена индуцирует пучок связностей 1-го типа.
Ключевые слова: грассманоподобное многообразие центрированных плоскостей, проективное пространство, связность, нормализация Нордена.
Отнесем п-мерное проективное пространство Рп к подвижному реперу {А, Л]} (I, ...= 1, п), инфинитезимальные перемещения которого определяются формулами [1]
dA = вA + О AI, dAI = 6AI + coJIAJ + со^ ,
причем формы Пфаффа о1 удовлетворяют структур-
ным уравнениям Картана для проективной группы ОР(п):
DюI =С ло>\, DоI =0 ла}, DюIJ =0 лО лск лС.
В пространстве Pn рассмотрим грассманоподобное многообразие Ог (m,n) [2] центрированных т-мерных плоскостей Ьт . При помещении вершин A, Aа на плоскость Ьт и фиксации центра А (а, ... = 1,т ;а,...= т + 1,п) уравнения грассма-
ноподобного многообразия центрированных плоскостей выглядят следующим образом:
(О = Л (О + Л (О, ,
a a b ~
где Л = {Лаа, Лааь} — фундаментальный объект 1-го порядка многообразия V* = Gr* (m,n), причем
^ЛОа +Л^(ь +(aa - 0 , Л - 0 . Групповая связность в главном расслоении G (V ), возникающем над многообразием V , задается способом Г. Ф. Лаптева [3] с помощью форм:
~a a j—'a Tac ^ a ~a T^a Y Taa ^ v
&b =(b ~Гba( - Lba(c , &р=(р-Гpr°' - Lpr('a ,
~a = (a -ГС((p - l^ в & = - l (a -ПЬ a ,
a a ap ap b ' a a aa aa b '
&a=(a- Lap( - Пар( >
где Г = {Г , LZ , Г ,L7r , Г , L% , Ka , nL ,Lap ,Пав } — объект групповой связности, компоненты которого удовлетворяют сравнениям, найденным в статье [2].
Осуществим аналог сильной нормализации Нордена [4] данного многообразия полями следующих геометрических образов: (п-т-1)-плоскостью Pn-m-1, не имеющей общих точек с
плоскостью Lm, и (т-1)-плоскостью Pm-1, принадлежащей плоскости Lm и не проходящей через ее центр. Плоскость Pn-т-1 зададим совокупностью точек Ba = Aa+ ЛааАа + ÁaA, а плоскость Pm-1 — точками Ва = Аа + Ла A .
Преобразуем дифференциалы точек Ba, Ba, подставляя вместо дифференциалов компонент оснащающего квазитензора Л = {Лаа,Ла,Ла} их выражения через ковариантные дифференциалы [5]:
ул=ara-л;&р+&а,
УЛ = йЛ + Ла& -ЛО + & , УЛ = йЛ -Ль&ь + & .
a a a a p а а ' a a b a a
Тогда
dBa = (,..)ъаВъ + (...): Ba + (VAa + Ь + /К^,
dßa=(...raBß+(vä:++aa A +
+(VÄa+ lay + maaßaß)A,
где
laa = Laa - АъГЬЬь - ККК - AaAa + KK^a ,
L=nia - ¿л: - кклаь - SÄ+^¿л ,
lbß = rbß + КЛ - Krbß - KKß + Karbß , Ь = L% + Aatfß -K,L% -Ы +KaL% , (1)
laß = Laß - Kr^aß - AaAß + AaLaß ,
mbß =naß -Kb -KK +Kniß .
Дифференцируя величины (1), находим сравнения
Alaa + Ь - 0, Alba - 0 , + - 0 , Al% - 0 , Alaß + (laaß + maaß )aa - 0, Ambß + lb:ßab- 0,
то есть объект l = (laa, lb , lbß , Ь , laß , mbß J является тензором.
Приравнивая компоненты тензора l нулю, получим следующие равенства:
i ъ
Laa = ¿Гь + + KK - ККК ,
1b
ПЪьь = KcLt + ККЛ + SÄ - 8ЪаКХь ,
1 а
Гaß = -КЛ + КГЬ + KKp - biß ,
Lbß=-калЛ++bß- atß, (2)
1 ъ ъ ъ
Laß = КГЬ + KaKß -Ka( КГ\ß + КАЪЛъъ + KA ß - КАЪАъъ ) , 1
nbß = + AbAß - Ka(AAbß + ККЛ7 + 5lAß - SlKKß ) .
Таким образом, групповая связность Г может быть сведена к подсвязности
7-г _ г т-<а тае т-<а таа 1
Г 1 = { Г Ьа'ЬЬа'Г Рг'ЬРг } ,
значит, возникает {(п - т)(т + 1)(т2 + (п - т)2)} -параметрический пучок групповых связностей 1-го типа.
Теорема. Аналог сильной нормализации Нордена грассма-
ноподобного многообразия центрированных плоскостей инду-1
цирует пучок Г групповых связностей 1-го типа.
Следствие. Аналог нормализации Нордена грассманопо-
добного многообразия центрированных плоскостей индуциру-
01
ет связность 1-го типа Г.
Доказательство. Для выделения в пучке групповых 1 01 связностей 1-го типа Г единственной подсвязности Г подставим в равенства (2) выражения компонент объекта
0 0 а 0ае 0 а 0 аа
Г1 = {Гьа,Ььа,ГрГ'Ьрг} и получим формулы для компонент
01
объекта связности 1-го типа Г, причем они совпадут (см. [2]) с выражениями:
ка=-51Ха +(К -ЮК +5КК -КЖ ,
0 ае
ьаа=8еък - (зак,
грг = -8К - 8;К+8(К - К Ж, 17а = -8а К - 8Р КЬакь; 01 01 ъ
Ьаа =ЛаК(К-К ) , ПЬаа=8ЪаК - К КК , 01
Г ар = -ЛаЛР -(КР -ЛР 10 °Ь
01аЬ ъ ъ ь
ЬаР = -КаЛР + Кр ККе - КрК ,
ЬаР = -ККР +ККа (КР-ЛР) -ККК(КР-ЛР) ,
'а р '"а'Ъ I -'р/ '^а'ъа I 'р
01 а
Пар = -Лр"- ЛрКа + ЛраКаЛьЛс .
Список литературы
1. Шевченко Ю. И. О структурных уравнениях проективной группы // Диф. геом. многообр. фигур. Вып.31. Калининград, 2000. С. 93—100.
2. Белова О. О. Связность в расслоении, ассоциированном с грасс-маноподобным многообразием центрированных плоскостей // Вестник ЧГПУ им. И. Я. Яковлева. Вып. 5 (52). Чебоксары, 2006. С. 18—20.
3. Евтушик Л. Е., Лумисте Ю. Г., Остиану Н.М., Широков А. П. Дифференциально-геометрические структуры на многообразиях // Пробл. геом. М., 1979. Т. 9.
4. Норден А. П. Пространства аффинной связности. М., 1976.
5. Белова О. О. Связность 2-го типа в расслоении, ассоциированном с грассманоподобным многообразием центрированных плоскостей // Диф. геом. многообр. фигур. Вып.38. Калининград, 2007. С. 6—12.
O. Belova
BUNCH OF CONNECTIONS OF THE 1ST TYPE INDUCED
BY THE ANALOG OF NORDEN'S NORMALIZATION OF GRASSMAN-LIKE MANIFOLD OF CENTERED PLANES
Grassman-like manifold of centered planes is considered in the projective space. A fundamental-group connection is given in the principal bundle. It is proved, that analog of Norden's normalization induces bunch of connections of the 1st type.
УДК 514.75
С. Ю. Волкова
(Балтийский военно-морской институт, Калининград)
ПОЛЯ ПЛОСКОСТЕЙ, ПАРАЛЛЕЛЬНЫЕ В НОРМАЛЬНЫХ СВЯЗНОСТЯХ S-РАСПРЕДЕЛЕНИЯ
Выясняются аналитические и геометрические признаки полей плоскостей, параллельных в нормальных связно-стях S-распределения [1], оснащенного в смысле Нордена — Картана [1—2] и Нордена — Бортолотти [3—5].
Ключевые слова: нормальная связность, распределение, подрасслоение, поле плоскостей, оснащение.
