Средняя связность в расслоении над грассманоподобным многообразием центрированных плоскостей Текст научной статьи по специальности «Математика»

ИЗВЕСТИЯ

ПЕНЗЕНСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО ПЕДАГОГИЧЕСКОГО УНИВЕРСИТЕТА имени В. Г. БЕЛИНСКОГО ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ НАУКИ №26 2011

IZVESTIA

PENZENSKOGO GOSUDARSTVENNOGO PEDAGOGICHESKOGO UNIVERSITETA IMENI V.G. BELINSKOGO PHYSICAL AND MATHEMATICAL SCIENCES №26 2011

УДК: 514.75

СРЕДНЯЯ СВЯЗНОСТЬ В РАССЛОЕНИИ НАД ГРАССМАНОПОДОБНЫМ МНОГООБРАЗИЕМ ЦЕНТРИРОВАННЫХ

ПЛОСКОСТЕЙ

© О. О. БЕЛОВА Балтийский федеральный университет имени И. Канта, Калининград, кафедра компьютерной безопасности и прикладной алгебры e-mail: [email protected]

Белова О. О. — Средняя связность в расслоении над грассманоподобным многообразием центрированных плоскостей // Известия ПГПУ им. В. Г. Белинского. 2011. № 26. С. 35—38. —

В проективном пространстве исследуется грассманоподобное многообразие центрированных плоскостей. Доказано, что аналог сильной нормализации Нордена данного многообразия индуцирует связности трех типов в ассоциированном расслоении. Показано, что связность первого типа является средней по отношению к связностям второго и третьего типов.

Ключевые слова: проективное пространство, грассманоподобное многообразие центрированных плоскостей, нормализация Нордена, объект групповой связности, средняя связность.

Belova O. O. — The average connection in the over grassman-like manifold of the centered planes // Izv. Penz. gos. pedagog. univ. im.i V. G. Belinskogo. 2011. № 26. P. 35—38. — The Grassman-like manifold of the centered planes is considered in the projective space. It is proved, that analog of Norden’s normalization of this manifold induces the connections of the 3 types in associated fibering. It is shown, that the 1st type connection is average in relation to the connections of the 2nd and 3d types.

Keywords: projective space, Grassman-like manifold of the centered planes, Norden’s normalization, object of group connection, average connection.

В n-мерном проективном пространстве Pn, отнесенном к подвижному реперу {A, Л[} (I, ■ ■ ■ = 1,n) с инфинитезимальными перемещениями

dA = в A + uj А/, dAI = eAI + uj Aj + uI A

и формами Пфаффа и1, uj, и/, удовлетворяющими структурным уравнениям Картана

Du1 = uJ A uj, Duj = uK A uJK + 6juK A uK + uJ A u1, DuI = uJ A uJ

проективной группы GP(n), действующей в проективном пространстве Pn, исследуется грассманоподобное многообразие Gr* (m,n) [8] центрированных плоскостей размерности m. Многообразие задается уравнениями

ua = A0,u“ + A^fu^ (а,... = 1, m; а,... = m +1, n),

причем компоненты фундаментального объекта первого порядка Л = {Л^, ЛО1} удовлетворяют дифференциальным уравнениям

дла+лааьиь+шаа — лаав шв+лааь0 ^, Алааь — л ав шв+лаьсшвс.

Над многообразием От*(т, п) возникает главное расслоение О* (От* (т, п)), типовым слоем которого является подгруппа стационарности О* центрированной плоскости Ь^- В главном расслоении задается связность по Г-Ф- Лаптеву:

Объект связности

, ,а ра а т ас а шЬ — Г Ьаш — ЬЬаШс ,

ра ,7 Т аа д

— 1 в-у Ш — Ь^Ш,-,

' ві Ша

— Г1вШв — ЬсфШЫ, Ша — ша — Ьаашв — ^аа^Ъ ,

ша — Ьавшв — Па.вшв ■

■р __ УТ^а т ас т^а т аа т^а т аЬ т ттЬ Т тта \

г — Iі Ьа, ЬЬа, г в1, Ьв1, ав, Ьав, Ьаа, Паа, ьав, Пав }

удовлетворяет следующим сравнениям

д т^а і т ас . а _ п т ас ас _ п А т^а , т аа . а _ п

ДГ Ьа + ЬЬаШс ШЬа = °, ЬЬа Ьа = °, ДГ в-у + Ь 8-а а 8-у = °,

дьааа—шва = °, дгав+ьаЬвшь+(загів — заПвк—<в = °, дьав + (баьаЬв — заь%к—шаы = °, дь^+(пЬа+гран = °,

ДПЪаа + ЬЬЫШс + 3І ша = °, дЬав + (Па.в + Га.в )ша — Ьавш8. + ГИвШ~< = °

дП-аав + Ь8,в ШЬ — П<ав ш8 + ЬТв Ш1 = °

где

ШЬа. — ЗаЛ>с + 3Ьіша + Л>Ь, шь8 — 3Ь ЛИШе — 3Ьш1 + Л1l'ШЬ,

— з^Ша + з^ + зашв, ш<аа — з^шь + зувр,

а _ \а аЬ д аЬ

шав ЛвШа, шав Лв Ша.

Осуществлен аналог сильной нормализации Нордена данного многообразия, состоящий из полей плоскостей Сп-т-1 : Ь^ П Сп-т-\ = 0, Жт_1 : А Жт_! С Ь^- Плоскость Сп-т-\ зададим совокупностью точек Ва = Аа + \0xAa + АаА, а плоскость Жт_1 — точками Ва = Аа + \аА.

Данная нормализация индуцирует связности двух типов в расслоении, ассоциированном с многообразием От* (т,п) [8], [9]:

01 0 0 0 0 01 01 , 01 01 , 01 01

____ Гт-л а т ас р а т аа р а т аь т -р-г Ь т -р-г а \

1 \1 Ьа, ь Ьа, г ві, Ь ві, Г ав, Ь ав, Ь аа, п аа, ь ав, п ав }

02 0 0 0 0 02 02 , 02 02 , 02 02

__ Г■р' а т ас р а т аа р а т аь т -р-г Ь т -р-г а \

1 \1 Ьа, ь Ьа, г ві, Ь ві, ав, Ь ав, ьаа, П аа, ьав, п ав} ,

причем

— —За^а + ^Ь + 3aH‘Cа^c, Ь — ЗСсК — (3ЪЛИ + 3bЛаC)^e,

в7

а а а а аа а а а Ьа

— —З1 Лв — зв Л-у + зв ^7 Аа, ь в-у — —З-у Лв — Зв л7 ЛЬ;

а

а

а

Ь

а

а

ш

а

а

а

а

и

а

01 01

Г аав — —ЛвПа — ЛвЛЬЛа, Ь Ъы — —Лв Па — Ла,

01 ь 01 ь ь ь

Ь аа = МУАаАЬ: П аа = $ аАу Лу АаАс:

01 Ь 01

Ь ав = — АаПв — ЛвАаПа — АаАЬАрАУ7 П Ур = — ЛвАЬПа — Ав АУ;

02 ,, 02 , , , ,

Га __ \а а\Ь \ \а\ т аЬ __ \аЬ , \аЬ\с\ 0\а\Ь

ав = Аав - МвЛаЛЬ — Ка, Ь ав = Аав + Лв АуАс — 2АрКу,

02 02

Ь а у = Аа у — АаАа + 2МУАаАЬ, П а у = А а у + 6а АсАУ — 2ЛУ А аАс,

02 Ь

Ь ав = Аав — 2АаАв + М%АаАа — 2АУМвАаАЬ — АУАа@ + АУАаАв,

02

п Ур = хУ/3 — лв АЬ(Аа— 2АаАс)— Ав ау — А<ав Аа— АаАв аь>

где введены обозначения

МУ = АУ — ЛУл Па = Аа — АУАа .

Построим третий охват компонент объекта связности Г. Учтем продолженные дифференциальные

сравнения компонент оснащающего объекта А [9], дифференциальные уравнения, которым удовлетворяют

0 ,0 0 0 0

у-у7 Ь в! }

компоненты объекта связности Г [8], и охват подобъекта Г= {Г аа,Ь аУ, Г уу1 ,Ь уа}. С учетом дифференциальных сравнений компонент Ау оснащающего квазитензора А [8] получим:

Г03 а _ \ а а \ Ь \ , а \ \ а \ 03 а Ь _ \ а Ь.да Ь л ^ л ода Ь\

ав = —Аав — МвАаАЬ + МвАа — ЛвАа7 Ь у@ = -Ау@ + Лв АаАс — 2Лв Аа7

03 03

Ь а а = А а а + АаАа, П а у = -Аа у — 5а АсАУ + 26а Ау,

03 а

Ь ав = —Аав + АаАав + Мр АаАа — АуАа Ав7

03

П У[3 = -хУв - Лв АЬ Аа + Аав Аа - Ав АУ + АУАв АЬ.

Теорема 1. Аналог сильной нормализации Нордена индуцирует связность третьего типа

03 0 0 0 0 03 03 03 03 03 03

тл__ г■р' а т аЬ -гл а т аа а т аЬ т -р-г Ь т -р-г а ^

1 {1 Ьу, Ь са, 1 @7, Ь @7, 1 ав, Ь а@, Ь аа, П аа, Ь ав, П а@ }.

Найдем условия, при которых совпадают построенные охваты трех типов. Для этого приравниваем соответствующие компоненты объекта связности Г по парам и учитываем формулы, по которым выражаются компоненты подобъекта объекта Г, охваченные тремя разными способами.

Теорема 2. Связности любых двух типов совпадают тогда и только тогда, когда выполнены условия:

\а \ ,а \аЬ \^\Ь \аЬ\

Аав = АаМв, Аав = АвАа - Аа,

Ааа = АаАа — мУ АаАЬ, АаУ = ЛУЬ АаАс + ^Пул (1)

Аа@ АУАав + паАв + Аа АЬАУМв АаАв7

хУр = -лЬр АаАУАс + АавАУ + АУАраь (= АвАУ.

Замечание. Связность первого типа является средней [1] по отношению к связностям второго и третьего типов, т.е.

01 1 02 03

г= ^(г + г).

Исследуем смещения оснащающих плоскостей при совпадении связностей. Для этого рассмотрим дифференциалы точек Ву и Ва, которыми задаются оснащающие плоскости Сп-т-1 и Жт_ 1:

(1Ву = (. . . )УВв + [(АУр + АаЛ@ — АУА<а)ив + (АУЬв + АУЛв — АвАЬу)шЬ\Аа +

+ [(Аав - АаАв )ив + (хУв - Ав}А,

<^Ва = (. . . )ЬаВЬ + (Шу + АаШУ)Ву + [(Аау — Аа АЬЛУ — АаПу)^У +

+ (ААаа - АаАсЛУЬ - 5Ьа

При совпадении связностей данные равенства примут вид

в.Ву = (... )УуВв 7 <1Ва = (... )ЪаВь + (*У + АаШУ)Ву.

Таким образом, справедлива

Теорема 3. При совпадении связностей аналог плоскости Картана Сп-т-1 неподвижен, а аналог нормали второго рода Жт_1 смещается в гиперплоскости Рп-1 = ^т_1 ® Сп-т-1.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Белова О. О. Связность в расслоении, ассоциированном с грассманоподобным многообразием центрированных плоскостей// Вестник ЧГПУ им. И.Я. Яковлева. Чебоксары: ЧГПУ, 2006. № 5 (52). С. 18-20.

2. Белова О. О. Связность 2-го типа в расслоении, ассоциированном с грассманоподобным многообразием центрированных плоскостей// Дифференциальная геометрия многообразий фигур. Калининград: РГУ им. И. Канта, 2007. № 38. С. 6-12.

3. Норден А.П. Пространства аффинной связности. М.: Наука, 1976. 432 с.