CC BY
11
УДК 514.75
О. О. Белова
(Балтийский федеральный университет им. И. Канта, г. Калининград)
ТЕНЗОР КРУЧЕНИЯ ПОДСВЯЗНОСТИ В РАССЛОЕНИИ НАД ГРАССМАНОПОДОБНЫМ МНОГООБРАЗИЕМ ЦЕНТРИРОВАННЫХ ПЛОСКОСТЕЙ
В п-мерном проективном пространстве исследуется
*
грассманоподобное многообразие Ог (т,п) центрированных плоскостей размерности т. Введен объект кручения подсвязности в расслоении, ассоциированном с
*
многообразием Ог (т,п). Показано, что данный объект образует тензор, содержащий один простейший и четыре простых подтензора.
Ключевые слова: проективное пространство, грасс-маноподобное многообразие центрированных плоскостей, связность, тензор кручения.
Отнесем я-мерное проективное пространство Рп к подвижному реперу {А, А1} (I, ... = 1, ..., я), инфинитезимальные перемещения которого определяются формулами
ёА = 0А + со1 А1, ёА1 = 0А1 + С А3 + с1А ,
причем формы Пфаффа С,а1,т13 удовлетворяют структурным уравнениям Картана проективной группы ОР(п)
О® =С А С, Ою1 = Ю3 АЮт,
3 1 1 3 (1) I К I I К I
Оа3 =а3 аюк + 53ак а а + а3 а а . В пространстве Рп рассмотрим грассманоподобное многообразие От*(т,п) [1] центрированных т-мерных плоскостей
* *
Ьт . Помещаем вершины А, Аа на плоскость Ьт и фиксируем центр А (индексы принимают значения: а, ... = 1,т;
а, ... = т + 1,п ). Уравнения аа = Л®" + Л""а" являются
*
уравнениями грассманоподобного многообразия От (т,п) центрированных плоскостей, причем компоненты фундаментального объекта Л = {Л",Л""} удовлетворяют дифференциальным сравнениям по модулю базисных форм а", а"
л + л""аь + - 0; л - 0 . (2)
При указанной специализации подвижного репера структурные уравнения (1) базисных форм принимают вид:
Оа" =ар а а" + л® а а" + л%ь® а а";
Ос" = аа а ®с + ®с а а® + ®а а а" . (3)
* *
Над многообразием V = От (т,п) возникает главное рас* *
слоение О (V ), типовым слоем которого является подгруппа
* *
стационарности О центрированной плоскости Ьт . Главное расслоение О* (V*) содержит следующие фактор-расслоения: плоскостных линейных реперов со слоевыми формами аа, нормальных линейных реперов (слоевые формы а"), центро-проективных реперов (,®а) и аффинное фактор-расслоение
(а", а", ®а), типовым слоем которого служит аффинная
*
фактор-группа [2] группы О . 8
В главном расслоении О (V ) задается фундаментально-групповая связность по Г. Ф. Лаптеву:
Тас • Ла „7 таа „7 ■
®Ъ = СЪ -1 ЪаС - ЧаСс ; С0р=ср~1 рус' - Ьргс'а ,
^а ,,а га В таЪ в . ~ т а гтЪ а .
аа=Са-1 аВС - ЬарСЪ ; ®а = Са - ТааС - ПааСЪ ;
®а=Са- КрсР - ПаарСа .
Согласно теореме Картана — Лаптева [3] связность в ассоции-
* *
рованном расслоении О (V ) определяется с помощью поля объекта связности
г _ / га тас га таа га таЪ т гтЪ т гта 1
1 -I1 Ъа ,тЪа, В7 В7 аВ ,ТаВ ,таа,11 аа,таВ,11 аВ } *
на базе V следующими сравнениями:
ЛГЪа + ЦРс Сс -СЪа- 0 , ^а - СьР = 0 ,
лгаР7+сс -саР7=о, льа - сара7- о, лгаа + свс + (3ъ г7аа - ¿ПС - С - о,
ЛСаВ + (5°с - 57% (7 - 0 , Л1аа + (Па + гЬа )сЪ - 0 ,
ЛПа + 1% С с +3ЪС а - 0 , (4)
ЛСаВ + (Паа+ ПаС - СаВ< + Г®7 - 0 , лпаа + ЬъВ®Ъ -ЩаС + 7 - 0,
где введены обозначения:
„а ?а лс „ . са„ . ла,, , ас ?а лвс ,, . лас,,
СЪа =5Ъ ЛаСс +5Ъ Са + ЛаСЪ , СЪа = 5Ъ Ла Се -5ЪСа + Ла СЪ ,
С
В7
? а л а „ . с а ,, . с а „ ,, аа с а лЪа ,, . с а „а
= SаЛ7Сa+5а(a7 + 57Са, Са7=5аЛ7 съ +57са
^-.а и а,, ,,аЪ лаЪ ^^
СаВ = ЛаС а , ( =ЛВ®а .
Объект связности содержит подобъект
г = { га тас га таа т пЪ } 1 1 - I1 Ъа ,тЪа а7,ЬВ7,Ьаа ,1Ааа } ,
состоящий из объектов центропроективной и нормальной линейной связностей.
Подставляя в структурные уравнения (3) базисных форм
а", а" многообразия О* формы связности соа, со", ®а,
приходим к следующим уравнениям:
Оа" = аР а С" + Б"® а а7 + Б"® а а7а + Б^а? а а7 , = сС" аю" + ®а АсСр +сСа А а" + аР а а 7 + +"а Р а ®7+ "аР А С7, где компоненты объекта 8 выражаются по формулам:
п" _ _ тта <" л а ^аЪ _ <" л [а Ъ
БР7 = 1 [Р7] , БР7 = ЬР7 + °7 ЛР , БР7 = ~0\Р_Л 7
К" — т " _ Ъ яЪ г-:"х _ я^ггЪ
БаР7 = ~°[РЬа7] , БаР7 =°7 1 аР ~°а1 7Р ~°РПа7,
^"е _ я\Ъ т" с я" т\Ь с БаР7 - °аЧР 7 J °\Р^а 7
здесь квадратные скобки означают альтернирование по крайним индексам и парам индексов.
Учитывая дифференциальные сравнения (2) компонент фундаментального объекта Л и сравнения (4) компонент по-добъекта 1 1 , приходим к следующим сравнениям по модулю базисных форм:
АБ" + S'а'p7]юa = 0, кЗ" + 2БСр7асъ = 0, = 0 ,
АБаР7 + Ба[Р7]СЪ ~ БР7Са = 0 , АБаР7 + 2Б'а/С7'Сс ~ БРг<Са = 0 ,
д п"Ъс п"Ъс _ г. АБаР7 ~ БР7 Са = 0 .
Теорема. Объект кручения Б подсвязности Г1 грассма-
*
ноподобного многообразия О центрированных плоскостей является тензором, содержащим один простейший [2] под-
тензор Б0 = {Б0аЪ} и четыре простых подтензора 10
С _ гпаа (¡ааЦ с _ г саЬе саЬе ^ с _ г га паа оааЬ ^
а1 = гйа7 ,ав7 }, й2 = ,йа7 }, йз = г^ ,йа7 ,йа7 },
С _ /срЬ саЬе саЬ саЬе ^ й4 = , , } .
Следствие. Подтензоры тензора кручения Б подчиняются следующей схеме включений
Б1 3 Б0 с Б2 п п
Б3 с Б з Б4,
причем Б1 с 84 .
Список литературы
1. Белова О. О. Связность в расслоении, ассоциированном с грассманоподобным многообразием центрированных плоскостей // Вестник ЧГПУ им. И. Я. Яковлева. 2006. № 5 (52). С. 18—20.
2. Шевченко Ю. И. Оснащения центропроективных многообразий. Калининград, 2000.
3. Евтушик Л. Е., Лумисте Ю. Г., Остиану Н.М., Широков А. П. Дифференциально-геометрические структуры на многообразиях // Проблемы геометрии / ВИНИТИ. М., 1979. Т. 9.
O. Belova
THE TORSION TENSOR OF THE SUBCONNECTION IN THE FIBERING OVER GRASSMAN-LIKE MANIFOLD
OF CENTERED PLANES
*
Grassman-like manifold Gr (m,n) of centered m-planes is considered in the projective space Pn. The torsion object of the subconnection are introduced. It is shown, that torsion object of the subconnection is a tensor. It contains one elementary and four simple subtensors.
