CC BY
14
УДК 514
О. О. Белова
(Балтийский федеральный университет им. И. Канта, г. Калининград)
Кручение групповой подсвязности в пространстве центрированных плоскостей
В п-мерном проективном пространстве исследуется пространство П центрированных да-мерных
*
плоскостей Ьт . Тремя способами введены объекты кручения групповой подсвязности в расслоении, ассоциированном с пространством П. Показано, что в двух случаях объекты кручения образуют квазитензоры, а в третьем случае введенный объект — тензор. Этот тензор кручения, как и квазитензоры кручения, не может быть равен нулю, т. е. подсвязность всегда с кручением.
Ключевые слова: проективное пространство, пространство центрированных плоскостей, связность, квазитензор кручения, тензор кручения.
Отнесем п-мерное проективное пространство Рп к подвижному реперу {А, А} (I,... = 1, п ), инфинитезимальные перемещения которого определяются формулами
ёА = О А + со1 А1, ёА1 = вА1 + С А3 + со ¡А ,
причем формы Пфаффа С с1 удовлетворяют структурным уравнениям Картана проективной группы ОР(п)
бС = С л С, =С л с,
I К I I К I
Бс=С лтК +5-,тК лс +слс .
-К
К
3
I
(1)
В пространстве Рп рассмотрим пространство П [1] центрированных га-мерных плоскостей ¿т = {А, Ьт}, где Ьт — га-мерная плоскость, А — точка подвижного репера, помещенная
в центр плоскости. Производя дальнейшую специализацию
*
подвижного репера (помещая вершины Аа на плоскость Ьт), получаем уравнения стационарности плоскости Ьт : са = 0, соа = 0, = 0. Здесь и в дальнейшем индексы принимают
значения: а,... = 1, т; а,... = т +1, п .
При указанной специализации подвижного репера структурные уравнения (1) для базисных форм принимают вид
вюа=с л с+с л^,
г\ а Ь а , Р а , а
Бса = Са ЛСЬ + Са лСр+Са лс , (2)
Оса = сЬ л Съ + са л юаа . Над пространством П возникает главное расслоение
*
О (П), типовым слоем которого является подгруппа стацио-
* *
нарности О центрированной плоскости Ьт . Главное расслоение содержит некоторое максимальное фактор-расслоение [1], составленное из фактор-расслоения коаффинных реперов и
аффинного фактор-расслоения.
*
В главном расслоении О (П) задается фундаментально-групповая связность по Г. Ф. Лаптеву:
~а а та ^а та с тас а СЬ = СЬ - ЧаС - ЬЬсС -1ЬаСс ,
~а а та у та „а раа„7
~а „а та В та Ь таЬ В а = Са — ЬарС - ЬаЬС - 1 арСЬ ,
- т-1 а т-" Ь т-гЬ а
с°а = са -1аас - 1 аЬС - ПааСЬ ,
®а=Са -1арсР -ГаЬсЬ -ПарсР .
Согласно теореме Картана — Лаптева [2], связность в ассо-
*
циированном расслоении G (П) определяется с помощью поля объекта связности
г = {Г1, Г' ар, ТаЪ, П^} ,
т^ _(та та -г-аа та та р аа та та т^аЪ р р р-гЪ ^ г 1 = {ьЪа,ьЪа,г Ъа,Цру, Цра,г ру,ьар,ьаЪ,г ар,г аа,г аЪ,Паа }
на базе П следующими сравнениями:
АЦ - КС-8С + П> - 0, АЦ -8СЪ-8С - 0,
Ъа Ъа а Ъ а Ъа а ' Ъа а Ъ Ъ а '
АГЪС + 8Са- 0, АГ -Г С + (ПЪ + Ц С - 0,
Ъа Ъ а ' аа аЪ а V а а а а' Ъ '
АГ„Ъ + КС - 0, АПЪа +8ЬСа +Г1 С - 0,
АЦрр -ЦаСр+ГарС -ЦррС + ЦрСу - 0 ,
АЦ* - КаЪС + ЬрьСр-8Са - 0,
АГ %-Г%Са +ГУС - 0, (3)
АЦру - ЦрС + ГарСа - 8арСу -8ауСр- 0 ,
АЦа-8;®а- 0, АГру-8>р- 0, АГ р-Г С+П аС + Цс -Г С + ЦС - 0,
ар аа р ар а ар а ар а ар у '
АГ -Г сОъ + Ц СО, + К с- 0,
аа Ъа а аа Ъ аа р '
АПар + Гс - Па С + Гс - 0 .
ар ар Ъ ар а ар у
Подобъект Г определяет связность в максимальном фактор-расслоении.
Подставляя в структурные уравнения (2) базисных форм
а а а п 1 ~
со , со , со а пространства П формы связности со, , со р , С, ¿оа, приходим к следующим уравнениям:
г\ а В ~ а а а , оа р у , оа р а ,
Ою =с лсор+а лс + Ьруюи лс + Ьраюи л а +
. о аа „р . „у
+^руС л с а,
D¿ = ¿ л&$ - ¿ л ba -aa л a>a + SS ла1 + (4) +SaaPb¿P A¿b + л¿ + s%¿b л¿ + Saabpyb лa/,
тл a b ~a , a ~a , oa a b , oa a b ,
Da = a лсоь + a лсоа+ Sap(a л a + Sabco ла +
i ^ab a . „Й i ta b . „c . ^acb. „a +Sab¿ A¿b + Sbc¿ ла + Sba¿ A¿c >
где компоненты объекта неполного кручения S [3] выражаются по формулам
na _ ra na _ ra <^aa _ -r^aa
Sbl = Hbl]' Sba = Lba , Sbi = 1 bi,
oa _ cor i ' oa _
Sabi = ~°[bV ai], Sabb = -°b1 ab ,
cab _ ca тb cb ra b vac _ ca тc cc ra
Sabl=°l Lab °aLib °bL a/, Sabb=°bLab °aLbb '
c<abc _ S
аЬг ~°а 1 |Ь Г ] ¡¡/Га ^ ] ,
оа _ та _ та _ та <?аЪ _ т-^аЪ па _ та <?ас _ т-^ас
Ба/ ~ На//]' БаЪ " ^аЪ _ ^Ъа , Ба/? " 1 а/? , БЪс " ^[Ъс], БЪа ~ 1 Ъа ,
здесь квадратные скобки означают альтернирование по крайним индексам и парам индексов.
Подчеркнутое слагаемое в уравнении (4]) можно представить несколькими способами. 1-й способ:
„а . „а са,,а .
СО АЮа = °/0 А СО а . Тогда уравнение (41) примет вид
ва>а =С а С + Бю аю/+ б^ю ? ас + б^с? а са +
+ас[,
где к объекту неполного кручения Б добавятся компоненты
аа
бр=°р .
Учитывая дифференциальные сравнения (3) компонент подобъекта связности Г, приходим к следующим сравнениям по модулю базисных форм:
Щ - 0 , АБру - ^раЮу + ЯруСа - 0 , АБра - БрСа - 0 ,
\с<аа с<а а _ л до а о а Ъ . о аЪ о а _ л
^ру Буа>р = 0, ^ару ¿а[рЪс°у] + ^а[ру]0}Ъ Бруюа = 0,
АЯарЪ - ЗаЪрЮе - БрЪСа - 0 ,
ДО аЪ О аЪ с , ^ ОасЪ о аЪ _ л
^ару Басу р 2 Бару с Б рую а= 0,
аЪр - 8<Ъ^рта - 0 , АЯар'у - 0 , АЯар - ] + ^[арСь + ^арСг - 0 ,
АЯаЪ + 2БЫсСа + БрьСр - ^Са - 0 ,
мар - яарса+Бру - 0, - 0, ^аа+« - 0.
Введем обозначение
_ го а с/ а с/ а а о а о а о аЪ о ас о аЪс <?а <?а &аЪ па &ас Б = {лру, Бра, лру, Бару, ларЪ, Бару, БарЪ, Бару,Б ар,Б аЪ, Б ар, БЪс, БЪа } •
Теорема 1. Объект кручения Б' = {Бр =8р, Я} подсвязности Г образует квазитензор, содержащий один простейший [4] подквазитензор {БЪС}, три простейших подтензора {Бр}1, {Бару }, {БЪа } и пять простых подтензоров {Бр, Бра },
(о а о аа | го а о ас ^ т а о а о а ал /о а о ас о а ^ {Бр, Бру} , {Бр, БаЪр} , {SРу, Бра, Бру} , {БрЪ, БаЪр, БарЪ } •
2-й способ:
„а . ,,а га пЪ А ,,а
с лса =8, с лса . Тогда уравнение (41) примет вид
тл а р ~ а , га Ъ а , га р у , оа р а , оаа р у
Ос = с лсор + Б, с лса + БрС л С + Брас лс + Sруюr лса, где к объекту неполного кручения Б добавятся компоненты
оа са
Бь =8ь .
1 ¿-символ (символ Кронекера) является примером смешанного тензора [5, с. 11; 6, с. 59—60; 7, с. 4—5; 8, с. 167; 9, с. 50; 10, с. 19, 113; 11, с. 76; 12, с. 14—15].
Учитывая дифференциальные сравнения (3) компонент объекта связности Г, приходим к следующим сравнениям по модулю базисных форм:
ASb¡ = о , Л^ - Sapaai + S\pr\(aa = 0 , AS'aa - °a¿a = 0 ,
\c<aa <a a _n * oa na b . c<ab na _ <->
bl i b = 0, abl Sa[bb /]+ Sa[bl] b S bl a = 0,
AS'apb - Saaab¿c - Sbab¿¿a = 0 , *<r<ab t^ab c ^ t^acb ^ab _ n.
Sabl Sacya>b 2 Sabl c S bl a=0, AS'abb - °aSbaa = 0 , AS'aPY - 0 ,
ASaab- S[ab®bbb ] + S[aab]¿b + Sabai-0, Aa + 2Sbc¿a + Síbab - Saac = 0 , ASabb - S>a + Sbl - 0, ASI - 0, ASa + Sfá - 0 .
Теорема 2. Объект кручения S'' = {Sa =°a, S} подсвязно-сти 1 образует квазитензор, содержащий два простейших подквазитензора {S^a }, {Sb/ }, три простейших подтензора
{Sba }, {Sbl}, {Sac}, три простых подтензора {Sba, S^},
{Sa,Sac} и три простых подквазитензора {Sb,S^a,Sapr},
tcac сф oa > f^/b cab r*ab л
{Sba ,S ab, Sbc,S ab h {Sab, Scb,Sab } '
3-й способ:
,,a . ,,a <;a ra nb A ,,b ¿ A¿a = °b°b ¿ A¿a .
Тогда уравнение (41) примет вид
а „/ . ~а . о ааЬ. „/ . о а „/ . „г . о а „/ . „а . ^й =С А СО/ + Б/ъЮ Аюа + Б/С АС + Б/аС АЮ +
+Б/С АЮ*,
где к объекту неполного кручения Б добавятся компоненты
с<аа _ яа а Б/Ъ =°/°Ъ .
Учитывая дифференциальные сравнения (3) компонент объекта связности Г, приходим к следующим сравнениям по модулю базисных форм:
ASßr ~ S[ßaar] + S[ßr]aa = 0 , ASßa - Sßa®b = 0 ,
а о oca ç*aa b n a çaa n
ASßr - Srb aß- 0, ASßb - 0 , ^Saßr - Sa[ßb®r] + Sa[ßr]®b - Sßr®a = 0 ,
ASaßb - Sabß®c - Sßb®a = 0 ,
до ab о ab c , 9 оacb о ab _ л
ASaßr Sacraß+ 2 Saßrmc Sßrma = 0,
AS"bß - Sßbaa = 0 , aßr - 0 , AS aß - S[ab®ß] + S[aß]®b + ^ß^r - 0 ,
ASab + 2Sbc®a + Sab®ß - Sba®c = 0 ,
ASaß -S$»ca + Sraßvar -0, ASbc -0, ASac + Sßßlaß -0 .
Теорема 3. Объект кручения S ''' = {Sß =Sßöa, S} подсвязности Tj образует тензор, содержащий три простейших подтензора {Sß }, {Saß }, {Sa} и четыре простых подтензо-
глп /С aa о a ^ îo a a о a a л fо a a о a a л fo a a ç*ra) ра {Sßb , Sßa } , {Sßb , Srß } , {Sßb , Scbß}, {Sßb , Sbß} ■
Вывод. Связность в максимальном фактор-расслоении над пространством центрированных плоскостей будет всегда с кручением, так как квазитензоры S ', S '' и тензор кручения S ''' нельзя обратить в нуль■
Список литературы
1. Belova O■ O■ Connections in fiberings associated with the Grass-man manifold and the space of centered planes // Journal of Mathematical Sciences. 2009. Vol. 162, № 5. P. 605—632.
2. Евтушик Л. Е., Лумисте Ю. Г., Остиану Н. М., Широков А. П. Дифференциально-геометрические структуры на многообразиях // Проблемы геометрии / ВИНИТИ. М., 1979. Т. 9.
3. Белова О. О. Квазитензор кручения групповой подсвязности в пространстве центрированных плоскостей // Лаптевские чтения : сб. тр. междунар. геом. семинара им. Г. Ф. Лаптева. Пенза, 2004. С. 5—8.
4. Шевченко Ю. И. Оснащения центропроективных многообразий. Калининград, 2000.
5. Александров В. А. Тензоры для физика-первокурсника. Новосибирск, 2011. URL: http://www.phys.nsu.ru/ok03/doc/tensor.pdf.
6. Жилин П. А. Векторы и тензоры второго ранга в трехмерном пространстве : учеб. пособие. СПб., 2001.
7. Иванов М. Г. Введение в тензоры в теории поля : учеб. пособие. М., 2011. URL: http://theorphys.mipt.ru/courses/a_00zil/tensor09w-arpgl3e7yg9.pdf.
8. Катанаев М. О. Геометрические методы в математической физике : конспект лекций. М., 2011. URL: http://www.mi.ras. ru/noc/10_11/ lectures.16.05.11.pdf.
9. Мак-Коннел А. Дж. Введение в тензорный анализ (с приложениями к геометрии, механике и физике). М., 1963.
10. Рашевский П. К. Риманова геометрия и тензорный анализ. М., 1967.
11. Сокольников И. С. Тензорный анализ (с приложениями к геометрии и механике сплошных сред). М., 1971.
12. Топоногов В.А. Тензорная алгебра и тензорный анализ : метод. указания. Новосибирск, 1995.
O. Belova
Torsion of the group subconnection in the space of the centered planes
*
The space П of the centered m-planes Lm is considered in the projective space Pn. By three ways the torsion objects of the subconnection are introduced. It is shown, that in two cases the torsion objects of the subconnection are quasi-tensors and in the third case this object is a tensor. Both the quasi-tensors and this torsion tensor cannot be vanish. This connection is always with torsion.
